Distribuição sub-gaussiana - Sub-Gaussian distribution

Na teoria da probabilidade , uma distribuição sub-Gaussiana é uma distribuição de probabilidade com forte queda na cauda. Informalmente, as caudas de uma distribuição sub-gaussiana são dominadas (ou seja, decaem pelo menos tão rápido quanto) as caudas de uma gaussiana.

Formalmente, a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é chamada de sub-gaussiana se houver constantes positivas C ,  v tais que para cada  t  > 0,

${\ displaystyle \ operatorname {P} (| X |> t) \ leq Ce ^ {- vt ^ {2}}.}$

As variáveis ​​aleatórias sub-Gaussianas com a seguinte norma formam um espaço de Birnbaum-Orlicz :

${\ displaystyle \ | X \ | _ {\ psi _ {2}} = \ inf \ {s> 0 \ mid \ operatorname {E} e ^ {(X / s) ^ {2}} - 1 \ leq 1 \}.}$

Propriedades equivalentes

As seguintes propriedades são equivalentes:

• A distribuição de X é sub-gaussiana
• ${\ displaystyle \ psi _ {2} {\ text {-condição:}}}$ ${\ displaystyle \ exists a> 0 \ \ operatorname {E} e ^ {aX ^ {2}} <+ \ infty.}$
• Condição de transformação de Laplace : ${\ displaystyle \ exists B, b> 0 \ \ forall \ lambda \ in \ mathbb {R} \ \ \ operatorname {E} e ^ {\ lambda (X- \ operatorname {E} [X])} \ leq Be ^ {\ lambda ^ {2} b}.}$
• Condição do momento : ${\ displaystyle \ exists K> 0 \ \ forall p \ geq 1 \ \ left (\ operatorname {E} | X | ^ {p} \ right) ^ {1 / p} \ leq K {\ sqrt {p}} .}$
• União condição limite: onde são iid cópias de X . ${\ displaystyle \ exists c> 0 \ \ forall n \ geq c \ \ operatorname {E} [\ max \ {| X_ {1} - \ operatorname {E} [X] |, \ ldots, | X_ {n} - \ operatorname {E} [X] | \}] \ leq c {\ sqrt {\ log n}}}$${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$

Veja também

• Distribuição platicúrtica

Referências

• Kahane, JP (1960). "Propriétés locales des fonctions à séries de Fourier aléatoires". Studia Mathematica . 19 . pp. 1-25. [1] .
• Buldygin, VV; Kozachenko, Yu.V. (1980). "Variáveis ​​aleatórias sub-gaussianas". Matemática Ucraniana. J . 32 . pp. 483–489. [2] .
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probabilidade em espaços de Banach . Springer-Verlag.
• Stromberg, KR (1994). Probabilidade para analistas . Chapman & Hall / CRC.
• Litvak, AE; Pajor, A .; Rudelson, M .; Tomczak-Jaegermann, N. (2005). "Menor valor singular de matrizes aleatórias e geometria de politopos aleatórios" (PDF) . Avanços em Matemática . 195 . pp. 491–523.
• Rudelson, Mark; Vershynin, Roman (2010). "Teoria não assintótica de matrizes aleatórias: valores singulares extremos". arXiv : 1003.2990 .
• Rivasplata, O. (2012). "Variáveis ​​aleatórias subgaussianas: uma nota expositiva" (PDF) . Não publicado .