Paradoxo de São Petersburgo - St. Petersburg paradox
O paradoxo de São Petersburgo ou loteria de São Petersburgo é um paradoxo relacionado à probabilidade e à teoria da decisão em economia . É baseado em um jogo de loteria teórico que leva a uma variável aleatória com valor esperado infinito (isto é, payoff esperado infinito), mas, no entanto, parece valer apenas uma quantia muito pequena para os participantes. O paradoxo de São Petersburgo é uma situação em que um critério de decisão ingênuo, que leva em conta apenas o valor esperado, prevê um curso de ação que, presumivelmente, nenhuma pessoa real estaria disposta a seguir. Várias resoluções para o paradoxo foram propostas.
O paradoxo leva o nome de sua análise por Daniel Bernoulli , ex -residente da cidade de mesmo nome na Rússia , que publicou seus argumentos nos Comentários da Academia Imperial de Ciências de São Petersburgo ( Bernoulli 1738 ). No entanto, o problema foi inventado pelo primo de Daniel, Nicolas Bernoulli , que o declarou pela primeira vez em uma carta a Pierre Raymond de Montmort em 9 de setembro de 1713 ( de Montmort 1713 ).
O jogo de São Petersburgo
Um casino oferece um jogo de azar para um único jogador em que uma moeda justa é lançada em cada fase. A aposta inicial começa com 2 dólares e é dobrada sempre que aparece cara. A primeira vez que coroa aparece, o jogo termina e o jogador ganha o que quer que esteja no pote. Assim, o jogador ganha 2 dólares se coroa aparecer no primeiro lance, 4 dólares se cara no primeiro lance e coroa no segundo, 8 dólares se cara nos primeiros dois lances e coroa no terceiro, e assim por diante. Matematicamente, o jogador ganha dólares, onde é o número de jogadas de cabeça consecutivas. Qual seria o preço justo a pagar ao cassino por entrar no jogo?
Para responder a isso, é preciso considerar qual seria o pagamento esperado em cada estágio: com probabilidade 1/2, o jogador ganha 2 dólares; com probabilidade1/4o jogador ganha 4 dólares; com probabilidade1/8o jogador ganha 8 dólares e assim por diante. Supondo que o jogo possa continuar enquanto o lançamento da moeda resultar em cara e, em particular, que o cassino tenha recursos ilimitados, o valor esperado é, portanto,
Essa soma cresce sem limites e, portanto, o ganho esperado é uma quantidade infinita de dinheiro.
O paradoxo
Considerando nada além do valor esperado da mudança líquida na riqueza monetária de alguém, deve-se, portanto, jogar o jogo a qualquer preço, se tiver a oportunidade. Ainda assim, Daniel Bernoulli , após descrever o jogo com uma aposta inicial de um ducado , afirmou "Embora o cálculo padrão mostre que o valor da expectativa [do jogador] é infinitamente grande, deve-se ... admitir que qualquer homem razoavelmente razoável venderia sua chance, com grande prazer, por vinte ducados. " Robert Martin cita Ian Hacking dizendo "poucos de nós pagariam até US $ 25 para entrar em um jogo desses" e diz que a maioria dos comentaristas concordaria. O paradoxo é a discrepância entre o que as pessoas parecem dispostas a pagar para entrar no jogo e o valor infinito esperado.
Soluções
Várias abordagens foram propostas para resolver o paradoxo.
Teoria da utilidade esperada
A resolução clássica do paradoxo envolveu a introdução explícita de uma função de utilidade , uma hipótese de utilidade esperada e a presunção de utilidade marginal decrescente do dinheiro.
Nas palavras do próprio Daniel Bernoulli:
A determinação do valor de um item não deve ser baseada no preço, mas sim na utilidade que ele produz ... Não há dúvida de que um ganho de mil ducados é mais significativo para o pobre do que para um rico, embora ambos ganhe a mesma quantia.
Um modelo de utilidade comum, sugerido pelo próprio Bernoulli, é a função logarítmica U ( w ) = ln ( w ) (conhecida como utilidade log ). É uma função da riqueza total w do jogador , e o conceito de utilidade marginal decrescente do dinheiro está embutido nela. A hipótese de utilidade esperada postula que existe uma função de utilidade que fornece um bom critério para o comportamento de pessoas reais; ou seja, uma função que retorna um valor positivo ou negativo indicando se a aposta é uma boa aposta. Para cada evento possível, a mudança na utilidade ln (riqueza após o evento) - ln (riqueza antes do evento) será ponderada pela probabilidade desse evento ocorrer. Seja c o custo cobrado para entrar no jogo. A utilidade incremental esperada da loteria agora converge para um valor finito:
Essa fórmula fornece uma relação implícita entre a riqueza do jogador e quanto ele deveria estar disposto a pagar (especificamente, qualquer c que forneça uma mudança positiva na utilidade esperada). Por exemplo, com a utilidade do log natural, um milionário ($ 1.000.000) deve estar disposto a pagar até $ 20,88, uma pessoa com $ 1.000 deve pagar até $ 10,95, uma pessoa com $ 2 deve pedir emprestado $ 1,35 e pagar até $ 3,35.
Antes de Daniel Bernoulli publicar, em 1728, um matemático de Genebra , Gabriel Cramer , já havia encontrado partes dessa ideia (também motivada pelo Paradoxo de São Petersburgo) ao afirmar que
os matemáticos estimam o dinheiro em proporção à sua quantidade, e os homens de bom senso em proporção ao uso que podem fazer dele.
Ele demonstrou em uma carta a Nicolas Bernoulli que uma função de raiz quadrada que descreve o benefício marginal decrescente dos ganhos pode resolver o problema. Porém, ao contrário de Daniel Bernoulli, ele não considerava a riqueza total de uma pessoa, mas apenas o ganho na loteria.
Essa solução de Cramer e Bernoulli, no entanto, não é totalmente satisfatória, pois a loteria pode ser facilmente alterada de modo que o paradoxo reapareça. Para isso, precisamos apenas mudar o jogo para que ele dê retornos cada vez mais rápidos. Para qualquer função de utilidade ilimitada, pode-se encontrar uma loteria que permite uma variante do paradoxo de São Petersburgo, como foi apontado pela primeira vez por Menger ( Menger 1934 ).
Recentemente, a teoria da utilidade esperada foi estendida para chegar a modelos de decisão mais comportamentais . Em algumas dessas novas teorias, como na teoria da perspectiva cumulativa , o paradoxo de São Petersburgo aparece novamente em certos casos, mesmo quando a função de utilidade é côncava, mas não se for limitada ( Rieger & Wang 2006 ).
Ponderação de probabilidade
O próprio Nicolas Bernoulli propôs uma ideia alternativa para resolver o paradoxo. Ele conjeturou que as pessoas irão negligenciar eventos improváveis ( de Montmort 1713 ). Como na loteria de São Petersburgo apenas eventos improváveis geram os altos prêmios que levam a um valor infinito esperado, isso poderia resolver o paradoxo. A ideia de ponderação de probabilidade ressurgiu muito mais tarde no trabalho sobre a teoria da perspectiva de Daniel Kahneman e Amos Tversky . Paul Weirich, de forma semelhante, escreveu que a aversão ao risco poderia resolver o paradoxo. Weirich continuou a escrever que aumentar o prêmio na verdade diminui a chance de alguém pagar para jogar o jogo, afirmando que "há um certo número de pássaros nas mãos que vale mais do que qualquer número de pássaros no mato". No entanto, isso foi rejeitado por alguns teóricos porque, como eles apontam, algumas pessoas gostam do risco do jogo e porque é ilógico supor que aumentar o prêmio levará a mais riscos.
A teoria da perspectiva cumulativa é uma generalização popular da teoria da utilidade esperada que pode prever muitas regularidades comportamentais ( Tversky & Kahneman 1992 ). No entanto, o peso excessivo de pequenos eventos de probabilidade introduzidos na teoria da perspectiva cumulativa pode restaurar o paradoxo de São Petersburgo. A teoria da perspectiva cumulativa evita o paradoxo de São Petersburgo apenas quando o coeficiente de potência da função de utilidade é inferior ao coeficiente de potência da função de ponderação de probabilidade ( Blavatskyy 2005 ). Intuitivamente, a função de utilidade não deve ser simplesmente côncava, mas deve ser côncava em relação à função de ponderação de probabilidade para evitar o paradoxo de São Petersburgo. Pode-se argumentar que as fórmulas para a teoria do prospecto são obtidas na região de menos de $ 400 ( Tversky & Kahneman 1992 ). Isso não se aplica a somas infinitamente crescentes no paradoxo de São Petersburgo.
Loterias finitas de São Petersburgo
O clássico jogo de São Petersburgo pressupõe que o cassino ou banqueiro tenha recursos infinitos. Essa suposição há muito foi desafiada como irreal. Alexis Fontaine des Bertins apontou em 1754 que os recursos de qualquer potencial patrocinador do jogo são finitos. Mais importante ainda, o valor esperado do jogo só cresce logaritmicamente com os recursos do cassino. Como resultado, o valor esperado do jogo, mesmo quando jogado contra um cassino com a maior banca realisticamente concebível, é bastante modesto. Em 1777, Georges-Louis Leclerc, o conde de Buffon calculou que após 29 rodadas de jogo não haveria dinheiro suficiente no Reino da França para cobrir a aposta.
Se o cassino tiver recursos finitos, o jogo deve terminar assim que esses recursos se esgotarem. Suponha que os recursos totais (ou jackpot máximo) do cassino sejam W dólares (mais geralmente, W é medido em unidades de metade da aposta inicial do jogo). Então, o número máximo de vezes que o cassino pode jogar antes de não poder mais cobrir totalmente a próxima aposta é L = floor (log 2 ( W )). Supondo que o jogo termine quando o cassino não puder mais cobrir a aposta, o valor esperado E da loteria torna-se:
A tabela a seguir mostra o valor esperado E do jogo com vários banqueiros em potencial e seu bankroll W :
Banqueiro | Bankroll | Valor esperado de um jogo |
---|---|---|
Milionário | $ 1.050.000 | $ 20 |
Bilionário | $ 1.075.000.000 | $ 30 |
Jeff Bezos (janeiro de 2021) | $ 179.000.000.000 | $ 37 |
PIB dos EUA (2020) | $ 20,8 trilhões | $ 44 |
PIB mundial (2020) | $ 83,8 trilhões | $ 46 |
Bilionário | $ 10 18 | $ 59 |
Googolionaire | $ 10 100 | $ 332 |
Nota: De acordo com as regras do jogo que especificam que se o jogador ganhar mais do que o bankroll do cassino, ele receberá tudo o que o cassino tem, o valor adicional esperado é menor do que seria se o cassino tivesse fundos suficientes para cobrir mais uma rodada, ou seja, menos de $ 1.
A premissa de recursos infinitos produz uma variedade de paradoxos aparentes na economia. No sistema de apostas martingale , um jogador que aposta em uma moeda lançada dobra sua aposta após cada derrota para que uma eventual vitória cubra todas as perdas; este sistema falha com qualquer bankroll finito. O conceito de ruína do apostador mostra que um apostador persistente que aumenta sua aposta para uma fração fixa de seu saldo quando ganha, mas não reduz sua aposta quando perde, acabará e inevitavelmente quebrará - mesmo se o jogo tiver um valor esperado positivo .
Rejeição da expectativa matemática
Vários autores, incluindo Jean le Rond d'Alembert e John Maynard Keynes , rejeitaram a maximização da expectativa (até mesmo da utilidade) como uma regra de conduta adequada. Keynes, em particular, insistia que o risco relativo de uma alternativa poderia ser suficientemente alto para rejeitá-la, mesmo que sua expectativa fosse enorme. Recentemente, alguns pesquisadores sugeriram substituir o valor esperado pela mediana como valor justo.
Discussões recentes
Embora esse paradoxo tenha três séculos, novos argumentos ainda foram introduzidos nos últimos anos.
Lenhador
Uma solução envolvendo amostragem foi oferecida por William Feller . A resposta intuitiva de Feller é "realizar este jogo com um grande número de pessoas e calcular o valor esperado a partir da extração da amostra". Nesse método, quando os jogos de número infinito de vezes forem possíveis, o valor esperado será infinito, e no caso do finito, o valor esperado será um valor bem menor.
Samuelson
Paul Samuelson resolve o paradoxo ( Samuelson (1960) ) argumentando que, mesmo que uma entidade tivesse recursos infinitos, o jogo nunca seria oferecido. Se a loteria representa um ganho infinito esperado para o jogador, também representa uma perda infinita esperada para o anfitrião. Ninguém pôde ser visto pagando para jogar porque ele nunca seria oferecido. Como Samuelson resumiu o argumento: "Paul nunca estará disposto a dar tanto quanto Peter vai exigir por tal contrato; e, portanto, a atividade indicada ocorrerá no nível de equilíbrio de intensidade zero."
Peters
Ole Peters ( Peters 2011a ) resolveu o paradoxo calculando o desempenho médio do tempo da loteria, argumentando que a produção esperada deve ser avaliada no período limitado em que provavelmente podemos fazer nossas escolhas. Esta solução possui recursos não ergódicos .
Veja também
Notas e referências
- Citações
- Trabalhos citados
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