Otimização de cenário - Scenario optimization

A abordagem de cenário ou abordagem de otimização de cenário é uma técnica para obter soluções para otimização robusta e problemas de otimização restrita ao acaso com base em uma amostra das restrições . Também se relaciona com o raciocínio indutivo na modelagem e tomada de decisão. A técnica existe há décadas como uma abordagem heurística e, mais recentemente, recebeu uma base teórica sistemática.

Na otimização , os recursos de robustez se traduzem em restrições que são parametrizadas pelos elementos incertos do problema. No método de cenário, uma solução é obtida olhando apenas para uma amostra aleatória de restrições ( abordagem heurística ) chamada de cenários e uma teoria profundamente fundamentada informa ao usuário o quão “robusta” a solução correspondente está relacionada a outras restrições. Essa teoria justifica o uso de randomização em otimização robusta e restrita ao acaso.

Otimização baseada em dados

Às vezes, os cenários são obtidos como extrações aleatórias de um modelo. Mais frequentemente, entretanto, os cenários são instâncias das restrições incertas que são obtidas como observações ( ciência baseada em dados ). Neste último caso, nenhum modelo de incerteza é necessário para gerar cenários. Além disso, o mais notável é que também neste caso a otimização de cenário vem acompanhada por uma teoria completa, porque todos os resultados de otimização de cenário são livres de distribuição e podem, portanto, ser aplicados mesmo quando um modelo de incerteza não está disponível.

Resultados teóricos

Para restrições que são convexas (por exemplo, em problemas semidefinidos envolvendo LMIs, Desigualdades de matriz linear ), foi estabelecida uma análise teórica profunda que mostra que a probabilidade de que uma nova restrição não seja satisfeita segue uma distribuição que é dominada por uma distribuição Beta . Esse resultado é justo, pois é exato para toda uma classe de problemas convexos. De modo mais geral, vários níveis empíricos mostraram seguir uma distribuição de Dirichlet , cujas marginais são a distribuição beta. A abordagem de cenário com regularização também foi considerada, e algoritmos úteis com complexidade computacional reduzida estão disponíveis. Extensões para configurações mais complexas e não convexas ainda são objetos de investigação ativa. ${\ displaystyle L_ {1}}$

Ao longo da abordagem de cenário, também é possível buscar um trade-off risco-retorno. Além disso, um método completo pode ser usado para aplicar essa abordagem ao controle. As primeiras restrições são amostradas e, em seguida, o usuário começa a remover algumas das restrições em sucessão. Isso pode ser feito de diferentes maneiras, mesmo de acordo com algoritmos gananciosos. Após a eliminação de mais uma restrição, a solução ótima é atualizada e o valor ótimo correspondente é determinado. À medida que este procedimento avança, o usuário constrói uma “curva de valores” empírica, ou seja, a curva que representa o valor obtido após a remoção de um número crescente de restrições. A teoria do cenário fornece avaliações precisas de quão robustas são as várias soluções. ${\ displaystyle N}$

Um avanço notável na teoria foi estabelecido pela recente abordagem esperar e julgar: avalia-se a complexidade da solução (conforme definido com precisão no artigo referenciado) e, a partir de seu valor, formula avaliações precisas sobre a robustez da solução. Esses resultados lançam luz sobre ligações profundamente enraizadas entre os conceitos de complexidade e risco. Uma abordagem relacionada, denominada "Design de cenário repetitivo" visa reduzir a complexidade da amostra da solução, alternando repetidamente uma fase de design de cenário (com número reduzido de amostras) com uma verificação aleatória da viabilidade da solução resultante.

Exemplo

Considere uma função que representa o retorno de um investimento ; depende do nosso vetor de escolhas de investimento e do estado do mercado que será vivenciado ao final do período de investimento. ${\ displaystyle R _ {\ delta} (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ delta}$

Dado um modelo estocástico para as condições de mercado, consideramos os estados possíveis (aleatorização da incerteza). Alternativamente, os cenários podem ser obtidos a partir de um registro de observações. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ delta _ {1}, \ dots, \ delta _ {N}}$${\ displaystyle \ delta _ {i}}$

Decidimos resolver o programa de otimização de cenário

${\ displaystyle \ max _ {x} \ min _ {i = 1, \ dots, N} R _ {\ delta _ {i}} (x). \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)}$

Isso corresponde à escolha de um vetor de portfólio x de forma a obter o melhor retorno possível no pior cenário.

Depois de resolver (1), uma estratégia de investimento ideal é alcançada juntamente com o retorno ótimo correspondente . Embora tenha sido obtido olhando apenas para os estados de mercado possíveis, a teoria do cenário nos diz que a solução é robusta até um nível , ou seja, o retorno será obtido com probabilidade para outros estados de mercado. ${\ displaystyle x ^ {\ ast}}$${\ displaystyle R ^ {\ ast}}$${\ displaystyle R ^ {\ ast}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle R ^ {\ ast}}$${\ displaystyle 1- \ varepsilon}$

Em finanças quantitativas, a abordagem do pior caso pode ser excessivamente conservadora. Uma alternativa é descartar algumas situações estranhas para reduzir o pessimismo; além disso, a otimização do cenário pode ser aplicada a outras medidas de risco, incluindo CVaR - Valor condicional em risco - aumentando assim a flexibilidade de seu uso.

Campos de aplicação

Os campos de aplicação incluem: previsão , teoria de sistemas , análise de regressão ( modelos de preditor de intervalo em particular), ciência atuarial , controle ótimo , matemática financeira , aprendizado de máquina , tomada de decisão , cadeia de suprimentos e gerenciamento .

Referências