Modelo de riscos proporcionais - Proportional hazards model

Modelos de riscos proporcionais são uma classe de modelos de sobrevivência nas estatísticas . Os modelos de sobrevivência relacionam o tempo que passa, antes que algum evento ocorra, a uma ou mais covariáveis que podem estar associadas a essa quantidade de tempo. Em um modelo de risco proporcional, o efeito único de um aumento de unidade em uma covariável é multiplicativo em relação à taxa de risco . Por exemplo, tomar um medicamento pode reduzir pela metade a taxa de risco de um acidente vascular cerebral ou, mudar o material do qual um componente fabricado é construído pode dobrar sua taxa de risco de falha. Outros tipos de modelos de sobrevivência, como modelos de tempo de falha acelerado , não apresentam riscos proporcionais. O modelo de tempo de falha acelerado descreve uma situação em que a história de vida biológica ou mecânica de um evento é acelerada (ou desacelerada).

Fundo

Os modelos de sobrevivência podem ser vistos como consistindo em duas partes: a função de risco de linha de base subjacente , freqüentemente denotada , descrevendo como o risco de evento por unidade de tempo muda ao longo do tempo em níveis de linha de base de covariáveis; e os parâmetros de efeito, descrevendo como o perigo varia em resposta a covariáveis ​​explicativas. Um exemplo médico típico incluiria covariáveis, como atribuição de tratamento, bem como características do paciente, como idade no início do estudo, sexo e a presença de outras doenças no início do estudo, a fim de reduzir a variabilidade e / ou controle de confusão. ${\ displaystyle \ lambda _ {0} (t)}$

A condição de risco proporcional afirma que as covariáveis ​​estão multiplicativamente relacionadas ao risco. No caso mais simples de coeficientes estacionários, por exemplo, um tratamento com um medicamento pode, digamos, reduzir pela metade o risco de um sujeito em um determinado momento , enquanto o risco de linha de base pode variar. Observe, entretanto, que isso não dobra a vida útil do sujeito; o efeito preciso das covariáveis ​​no tempo de vida depende do tipo de . A covariável não se restringe a preditores binários; no caso de uma covariável contínua , é normalmente assumido que o perigo responde exponencialmente; cada aumento de unidade nos resultados em escala proporcional do perigo. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ lambda _ {0} (t)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

O modelo Cox

A probabilidade parcial de Cox, mostrada abaixo, é obtida usando a estimativa de Breslow da função de risco da linha de base, conectando-a à probabilidade total e observando que o resultado é o produto de dois fatores. O primeiro fator é a probabilidade parcial mostrada abaixo, em que o risco da linha de base foi "cancelado". O segundo fator está livre dos coeficientes de regressão e depende dos dados apenas por meio do padrão de censura . O efeito das covariáveis ​​estimadas por qualquer modelo de risco proporcional pode, portanto, ser relatado como razões de risco .

Sir David Cox observou que, se a suposição de riscos proporcionais for válida (ou, presume-se que seja válida), então é possível estimar o (s) parâmetro (s) de efeito sem qualquer consideração da função de risco. Esta abordagem aos dados de sobrevivência é chamada de aplicação do modelo de riscos proporcionais de Cox , às vezes abreviado para o modelo de Cox ou para o modelo de riscos proporcionais . No entanto, Cox também observou que a interpretação biológica da suposição de riscos proporcionais pode ser bastante complicada.

Seja X _i = ( X _{i 1} ,…, X _ip ) os valores realizados das covariáveis ​​para o sujeito i . A função de risco para o modelo de riscos proporcionais de Cox tem a forma

${\ displaystyle \ lambda (t | X_ {i}) = \ lambda _ {0} (t) \ exp (\ beta _ {1} X_ {i1} + \ cdots + \ beta _ {p} X_ {ip} ) = \ lambda _ {0} (t) \ exp (X_ {i} \ cdot \ beta).}$

Essa expressão fornece a função de risco no tempo t para o sujeito i com vetor de covariável (variáveis ​​explicativas) X _i .

A probabilidade de o evento a ser observado ocorrer para o sujeito i no momento Y _i pode ser escrita como:

${\ displaystyle L_ {i} (\ beta) = {\ frac {\ lambda (Y_ {i} \ mid X_ {i})} {\ sum _ {j: Y_ {j} \ geq Y_ {i}} \ lambda (Y_ {i} \ mid X_ {j})}} = {\ frac {\ lambda _ {0} (Y_ {i}) \ theta _ {i}} {\ sum _ {j: Y_ {j} \ geq Y_ {i}} \ lambda _ {0} (Y_ {i}) \ theta _ {j}}} = {\ frac {\ theta _ {i}} {\ sum _ {j: Y_ {j} \ geq Y_ {i}} \ theta _ {j}}},}$

onde θ _j = exp ( X _j ⋅ β ) e a soma é sobre o conjunto de sujeitos j onde o evento não ocorreu antes do tempo Y _i (incluindo o próprio sujeito i ). Obviamente, 0 <  L _i (β) ≤ 1. Esta é uma probabilidade parcial : o efeito das covariáveis ​​pode ser estimado sem a necessidade de modelar a mudança do perigo ao longo do tempo.

Tratando os sujeitos como se fossem estatisticamente independentes uns dos outros, a probabilidade conjunta de todos os eventos realizados é a seguinte probabilidade parcial, onde a ocorrência do evento é indicada por C _i  = 1:

${\ displaystyle L (\ beta) = \ prod _ {i: C_ {i} = 1} L_ {i} (\ beta).}$

A probabilidade parcial logarítmica correspondente é

${\ displaystyle \ ell (\ beta) = \ sum _ {i: C_ {i} = 1} \ left (X_ {i} \ cdot \ beta - \ log \ sum _ {j: Y_ {j} \ geq Y_ {i}} \ theta _ {j} \ right).}$

Esta função pode ser maximizada sobre β para produzir estimativas de máxima verossimilhança parcial dos parâmetros do modelo.

A função de pontuação parcial é

${\ displaystyle \ ell ^ {\ prime} (\ beta) = \ sum _ {i: C_ {i} = 1} \ left (X_ {i} - {\ frac {\ sum _ {j: Y_ {j} \ geq Y_ {i}} \ theta _ {j} X_ {j}} {\ sum _ {j: Y_ {j} \ geq Y_ {i}} \ theta _ {j}}} \ right),}$

e a matriz Hessiana da probabilidade logarítmica parcial é

${\ displaystyle \ ell ^ {\ prime \ prime} (\ beta) = - \ sum _ {i: C_ {i} = 1} \ left ({\ frac {\ sum _ {j: Y_ {j} \ geq Y_ {i}} \ theta _ {j} X_ {j} X_ {j} ^ {\ prime}} {\ sum _ {j: Y_ {j} \ geq Y_ {i}} \ theta _ {j}} } - {\ frac {\ left [\ sum _ {j: Y_ {j} \ geq Y_ {i}} \ theta _ {j} X_ {j} \ right] \ left [\ sum _ {j: Y_ { j} \ geq Y_ {i}} \ theta _ {j} X_ {j} ^ {\ prime} \ right]} {\ left [\ sum _ {j: Y_ {j} \ geq Y_ {i}} \ theta _ {j} \ right] ^ {2}}} \ right).}$

Usando esta função de pontuação e matriz Hessiana, a probabilidade parcial pode ser maximizada usando o algoritmo de Newton-Raphson . A inversa da matriz de Hessian, avaliada na estimativa de β , pode ser usada como uma matriz de variância-covariância aproximada para a estimativa e usada para produzir erros padrão aproximados para os coeficientes de regressão.

Tempos empatados

Diversas abordagens têm sido propostas para lidar com situações em que há empates nos dados de tempo. O método de Breslow descreve a abordagem em que o procedimento descrito acima é usado sem modificações, mesmo quando empates estão presentes. Uma abordagem alternativa considerada para dar melhores resultados é o método de Efron . Seja t _j denotar os tempos únicos, seja H _j o conjunto de índices i tais que Y _i  =  t _j e C _i  = 1, e seja m _j  = | H _j |. A abordagem de Efron maximiza a seguinte probabilidade parcial.

${\ displaystyle L (\ beta) = \ prod _ {j} {\ frac {\ prod _ {i \ in H_ {j}} \ theta _ {i}} {\ prod _ {\ ell = 0} ^ { m-1} \ left [\ sum _ {i: Y_ {i} \ geq t_ {j}} \ theta _ {i} - {\ frac {\ ell} {m}} \ sum _ {i \ in H_ {j}} \ theta _ {i} \ right]}}.}$

A probabilidade parcial logarítmica correspondente é

${\ displaystyle \ ell (\ beta) = \ sum _ {j} \ left (\ sum _ {i \ in H_ {j}} X_ {i} \ cdot \ beta - \ sum _ {\ ell = 0} ^ {m-1} \ log \ left (\ sum _ {i: Y_ {i} \ geq t_ {j}} \ theta _ {i} - {\ frac {\ ell} {m}} \ sum _ {i \ in H_ {j}} \ theta _ {i} \ right) \ right),}$

a função de pontuação é

${\ displaystyle \ ell ^ {\ prime} (\ beta) = \ sum _ {j} \ left (\ sum _ {i \ in H_ {j}} X_ {i} - \ sum _ {\ ell = 0} ^ {m-1} {\ frac {\ sum _ {i: Y_ {i} \ geq t_ {j}} \ theta _ {i} X_ {i} - {\ frac {\ ell} {m}} \ soma _ {i \ in H_ {j}} \ theta _ {i} X_ {i}} {\ sum _ {i: Y_ {i} \ geq t_ {j}} \ theta _ {i} - {\ frac {\ ell} {m}} \ sum _ {i \ in H_ {j}} \ theta _ {i}}} \ right),}$

e a matriz Hessiana é

${\ displaystyle \ ell ^ {\ prime \ prime} (\ beta) = - \ sum _ {j} \ sum _ {\ ell = 0} ^ {m-1} \ left ({\ frac {\ sum _ { i: Y_ {i} \ geq t_ {j}} \ theta _ {i} X_ {i} X_ {i} ^ {\ prime} - {\ frac {\ ell} {m}} \ sum _ {i \ em H_ {j}} \ theta _ {i} X_ {i} X_ {i} ^ {\ prime}} {\ phi _ {j, \ ell, m}}} ​​- {\ frac {Z_ {j, \ ell, m} Z_ {j, \ ell, m} ^ {\ prime}} {\ phi _ {j, \ ell, m} ^ {2}}} \ right),}$

Onde

${\ displaystyle \ phi _ {j, \ ell, m} = \ sum _ {i: Y_ {i} \ geq t_ {j}} \ theta _ {i} - {\ frac {\ ell} {m}} \ sum _ {i \ in H_ {j}} \ theta _ {i}}$

${\ displaystyle Z_ {j, \ ell, m} = \ sum _ {i: Y_ {i} \ geq t_ {j}} \ theta _ {i} X_ {i} - {\ frac {\ ell} {m }} \ sum _ {i \ in H_ {j}} \ theta _ {i} X_ {i}.}$

Observe que quando H _j está vazio (todas as observações com tempo t _j são censuradas), os somatórios nessas expressões são tratados como zero.

Preditores e coeficientes variáveis ​​no tempo

Extensões para variáveis ​​dependentes do tempo, estratos dependentes do tempo e vários eventos por assunto podem ser incorporados pela formulação do processo de contagem de Andersen e Gill. Um exemplo do uso de modelos de risco com regressores variáveis ​​no tempo é a estimativa do efeito do seguro-desemprego sobre os períodos de desemprego.

Além de permitir covariáveis ​​variáveis ​​no tempo (ou seja, preditores), o modelo de Cox também pode ser generalizado para coeficientes variáveis ​​no tempo. Ou seja, o efeito proporcional de um tratamento pode variar com o tempo; por exemplo, um medicamento pode ser muito eficaz se administrado dentro de um mês após a morbidade e tornar-se menos eficaz com o passar do tempo. A hipótese de nenhuma mudança com o tempo (estacionariedade) do coeficiente pode então ser testada. Detalhes e software ( pacote R ) estão disponíveis em Martinussen e Scheike (2006). A aplicação do modelo de Cox com covariáveis ​​que variam no tempo é considerada em matemática de confiabilidade.

Neste contexto, também pode ser mencionado que é teoricamente possível especificar o efeito das covariáveis ​​usando riscos aditivos, ou seja, especificando

${\ displaystyle \ lambda (t | X_ {i}) = \ lambda _ {0} (t) + \ beta _ {1} X_ {i1} + \ cdots + \ beta _ {p} X_ {ip} = \ lambda _ {0} (t) + X_ {i} \ cdot \ beta.}$

Se tais modelos de riscos aditivos forem usados ​​em situações em que o objetivo é a maximização da probabilidade (log-), deve-se tomar cuidado para restringir a valores não negativos. Talvez como resultado dessa complicação, esses modelos raramente são vistos. Se o objetivo for, em vez disso, quadrados mínimos, a restrição de não negatividade não é estritamente necessária. ${\ displaystyle \ lambda (t \ mid X_ {i})}$

Especificando a função de risco de linha de base

O modelo de Cox pode ser especializado se houver uma razão para supor que o risco de linha de base segue uma forma particular. Nesse caso, o perigo da linha de base é substituído por uma determinada função. Por exemplo, assumir que a função de risco é a função de risco Weibull fornece o modelo de risco proporcional de Weibull . ${\ displaystyle \ lambda _ {0} (t)}$

Incidentalmente, usar o risco de linha de base Weibull é a única circunstância em que o modelo satisfaz tanto os riscos proporcionais quanto os modelos de tempo de falha acelerado .

O termo genérico modelos de riscos proporcionais paramétricos pode ser usado para descrever modelos de riscos proporcionais nos quais a função de risco é especificada. O modelo de riscos proporcionais de Cox às vezes é chamado de modelo semiparamétrico, por contraste.

Alguns autores usam o termo modelo de risco proporcional de Cox mesmo ao especificar a função de risco subjacente, para reconhecer a dívida de todo o campo para com David Cox.

O termo modelo de regressão de Cox (omitindo riscos proporcionais ) às vezes é usado para descrever a extensão do modelo de Cox para incluir fatores dependentes do tempo. No entanto, esse uso é potencialmente ambíguo, uma vez que o modelo de riscos proporcionais de Cox pode ser descrito como um modelo de regressão.

Relacionamento com modelos de Poisson

Há uma relação entre modelos de riscos proporcionais e modelos de regressão de Poisson que às vezes é usado para ajustar modelos de riscos proporcionais aproximados em software para regressão de Poisson. A razão usual para fazer isso é que o cálculo é muito mais rápido. Isso era mais importante na época dos computadores mais lentos, mas ainda pode ser útil para conjuntos de dados particularmente grandes ou problemas complexos. Laird e Olivier (1981) fornecem os detalhes matemáticos. Eles observam: "não presumimos que [o modelo de Poisson] seja verdadeiro, mas simplesmente o usamos como um dispositivo para derivar a probabilidade." O livro de McCullagh e Nelder sobre modelos lineares generalizados tem um capítulo sobre a conversão de modelos de riscos proporcionais em modelos lineares generalizados .

Sob configuração de alta dimensão

Em dimensão alta, quando o número de covariáveis ​​p é grande em comparação com o tamanho da amostra n, o método LASSO é uma das estratégias clássicas de seleção de modelo. Tibshirani (1997) propôs um procedimento Lasso para o parâmetro de regressão de risco proporcional. O estimador Lasso do parâmetro de regressão β é definido como o minimizador do oposto da probabilidade logarítmica parcial de Cox sob uma restrição do tipo norma L ¹ .

${\ displaystyle \ ell (\ beta) = \ sum _ {j} \ left (\ sum _ {i \ in H_ {j}} X_ {i} \ cdot \ beta - \ sum _ {\ ell = 0} ^ {m-1} \ log \ left (\ sum _ {i: Y_ {i} \ geq t_ {j}} \ theta _ {i} - {\ frac {\ ell} {m}} \ sum _ {i \ in H_ {j}} \ theta _ {i} \ right) \ right) + \ lambda \ | \ beta \ | _ {1},}$

Recentemente, houve progresso teórico neste tópico.

Veja também

• Modelo de tempo de falha acelerado
• Regra de uma em dez
• Distribuição Weibull

Notas

Referências

• Bagdonavicius, V .; Levuliene, R .; Nikulin, M. (2010). "Critérios de adequação para o modelo de Cox a partir de dados truncados à esquerda e censurados à direita". Journal of Mathematical Sciences . 167 (4): 436–443. doi : 10.1007 / s10958-010-9929-6 .
• Cox, DR; Oakes, D. (1984). Análise de dados de sobrevivência . Nova York: Chapman & Hall. ISBN 978-0412244902.
• Collett, D. (2003). Modeling Survival Data in Medical Research (2ª ed.). Boca Raton: CRC. ISBN 978-1584883258.
• Gouriéroux, Christian (2000). "Modelos de duração" . Econometria de variáveis ​​dependentes qualitativas . Nova York: Cambridge University Press. pp. 284–362. ISBN 978-0-521-58985-7.
• Singer, Judith D .; Willett, John B. (2003). "Adaptando modelos de regressão de Cox" . Análise de dados longitudinais aplicada: modelagem de mudanças e ocorrência de eventos . Nova York: Oxford University Press. pp. 503–542. ISBN 978-0-19-515296-8.
• Therneau, TM; Grambsch, PM (2000). Modelando Dados de Sobrevivência: Estendendo o Modelo de Cox . Nova York: Springer. ISBN 978-0387987842.