POVM - POVM

Na análise funcional e na teoria da medição quântica , uma medida com valor de operador positivo ( POVM ) é uma medida cujos valores são operadores semi-definidos positivos em um espaço de Hilbert . POVMs são uma generalização de medidas de valor de projeção (PVM) e, correspondentemente, medições quânticas descritas por POVMs são uma generalização de medidas quânticas descritas por PVMs (chamadas de medições projetivas).

Em uma analogia aproximada, um POVM é para um PVM o que um estado misto é para um estado puro . Os estados mistos são necessários para especificar o estado de um subsistema de um sistema maior (ver purificação do estado quântico ); analogamente, POVMs são necessários para descrever o efeito em um subsistema de uma medição projetiva realizada em um sistema maior.

POVMs são o tipo mais geral de medição na mecânica quântica e também podem ser usados ​​na teoria quântica de campos . Eles são amplamente usados ​​no campo da informação quântica .

Definição

No caso mais simples, de um POVM com um número finito de elementos atuando em um espaço de Hilbert de dimensão finita , um POVM é um conjunto de matrizes semi-definidas positivas em um espaço de Hilbert que somam à matriz de identidade , ${\ displaystyle \ {F_ {i} \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} = \ operatorname {I}.}$

Na mecânica quântica, o elemento POVM está associado ao resultado da medição , de modo que a probabilidade de obtê-lo ao fazer uma medição no estado quântico é dada por ${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle {\ text {Prob}} (i) = \ operatorname {tr} (\ rho F_ {i})}$,

onde está o operador de rastreamento . Quando o estado quântico sendo medido é um estado puro, esta fórmula se reduz a ${\ displaystyle \ operatorname {tr}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle {\ text {Prob}} (i) = \ operatorname {tr} (| \ psi \ rangle \ langle \ psi | F_ {i}) = \ langle \ psi | F_ {i} | \ psi \ rangle }$.

O caso mais simples de um POVM generaliza o caso mais simples de um PVM, que é um conjunto de projetores ortogonais que somam à matriz de identidade : ${\ displaystyle \ {\ Pi _ {i} \}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ Pi _ {i} = \ operatorname {I}, \ quad \ Pi _ {i} \ Pi _ {j} = \ delta _ {ij} \ Pi _ {i}.}$

As fórmulas de probabilidade para um PVM são as mesmas do POVM. Uma diferença importante é que os elementos de um POVM não são necessariamente ortogonais. Como consequência, o número de elementos do POVM pode ser maior do que a dimensão do espaço de Hilbert em que atuam. Por outro lado, o número de elementos do PVM é no máximo a dimensão do espaço de Hilbert. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle N}$

Em geral, POVMs também podem ser definidos em situações onde o número de elementos e a dimensão do espaço de Hilbert não são finitos:

Definição . Deixe ser espaço mensurável ; isto é, uma σ-álgebra de subconjuntos de . Um POVM é uma função definida em cujos valores são operadores auto-adjuntos não negativos limitados em um espaço de Hilbert de forma que e para cada , ${\ displaystyle (X, M)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle F (X) = \ operatorname {I} _ {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle \ psi \ in {\ mathcal {H}}}$

${\ displaystyle E \ mapsto \ langle F (E) \ psi \ mid \ psi \ rangle \ ({\ text {para cada}} E \ em M)}$

é uma medida aditiva contável não negativa na σ-álgebra . ${\ displaystyle M}$

Sua propriedade principal é determinar uma medida de probabilidade no espaço de resultado, de modo que pode ser interpretada como a probabilidade (densidade) de resultado ao fazer uma medição no estado quântico . ${\ displaystyle \ langle F (E) \ psi \ mid \ psi \ rangle}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

Esta definição deve ser contrastada com a da medida com valor de projeção , que é semelhante, exceto que para medidas com valor de projeção, os valores de devem ser operadores de projeção. ${\ displaystyle F}$

Teorema da dilatação de Naimark

Nota: uma grafia alternativa para isso é "Teorema de Neumark"

O teorema da dilatação de Naimark mostra como POVMs podem ser obtidos a partir de PVMs agindo em um espaço maior. Este resultado é de importância crítica na mecânica quântica, pois dá uma maneira de realizar fisicamente as medições POVM.

No caso mais simples, de um POVM com um número finito de elementos agindo em um espaço de Hilbert de dimensão finita, o teorema de Naimark diz que se é um POVM agindo em um espaço de Hilbert de dimensão , então existe um PVM agindo em um espaço de Hilbert de dimensão e uma isometria tal que para todos${\ displaystyle \ {F_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A}}$${\ displaystyle d_ {A}}$${\ displaystyle \ {\ Pi _ {i} \} _ {i = 1} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A '}}$${\ displaystyle d_ {A '}}$ ${\ displaystyle V: {\ mathcal {H}} _ {A} \ to {\ mathcal {H}} _ {A '}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle F_ {i} = V ^ {\ dagger} \ Pi _ {i} V}$

Uma maneira de construir tais PVM um e isometria é deixar , e ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A '} = {\ mathcal {H}} _ {A} \ otimes {\ mathcal {H}} _ {B}}$${\ displaystyle \ Pi _ {i} = \ operatorname {I} _ {A} \ otimes | i \ rangle \ langle i | _ {B}}$

${\ displaystyle V = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ sqrt {F_ {i}}} _ {A} \ otimes {| i \ rangle} _ {B}}$

Observe que, nesta construção, a dimensão do espaço de Hilbert maior é dada por . Isso não é o mínimo possível, como uma construção mais complicada dá (assumindo isso ). ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A '}}$${\ displaystyle d_ {A '} = nd_ {A}}$${\ displaystyle d_ {A '} = n}$${\ displaystyle n \ geq d_ {A}}$

Essa construção pode ser transformada em uma receita para uma realização física do POVM estendendo a isometria para uma unidade , ou seja, encontrando de tal forma que ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle V = U (\ operatorname {I} _ {A} \ otimes | 0 \ rangle _ {B}).}$

Isso sempre pode ser feito. A receita para realizar a medição POVM descrita por em um estado quântico é então preparar um ancilla no estado , evoluí-lo junto com o unitário e fazer a medição projetiva no ancilla descrito pelo PVM . Assim, é fácil ver que a probabilidade de obter resultado com este método é a mesma que a probabilidade de obtê-lo com o POVM original. Isso é, ${\ displaystyle \ {F_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle | 0 \ rangle _ {B}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ {| i \ rangle \ langle i | _ {B} \} _ {i = 1} ^ {n}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle {\ text {Prob}} (i) = \ operatorname {tr} (\ rho F_ {i}) = \ operatorname {tr} \ left (\ operatorname {I} _ {A} \ otimes | i \ rangle \ langle i | _ {B} \ left [U \ rho _ {A} \ otimes | 0 \ rangle \ langle 0 | _ {B} U ^ {\ dagger} \ right] \ right).}$

Estado pós-medição

O estado de pós-medição não é determinado pelo próprio POVM, mas sim pelo PVM que o realiza fisicamente. Uma vez que existem infinitamente muitos PVMs diferentes que realizam o mesmo POVM, os operadores sozinhos não determinam qual será o estado de pós-medição. Para ver isso, observe que, para qualquer unidade unitária, os operadores ${\ displaystyle \ {F_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n}}$${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle M_ {i} = W {\ sqrt {F_ {i}}}}$

também terá a propriedade que , de modo que usando a isometria ${\ displaystyle M_ {i} ^ {\ dagger} M_ {i} = F_ {i}}$

${\ displaystyle V_ {W} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {M_ {i}} _ {A} \ otimes {| i \ rangle} _ {B}}$

na construção acima também implementará o mesmo POVM. No caso em que o estado que está sendo medido está em um estado puro , o unitário resultante o leva junto com o ancilla para o estado ${\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {A}}$${\ displaystyle U_ {W}}$

${\ displaystyle U_ {W} (| \ psi \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} M_ {i} | \ psi \ rangle _ { A} | i \ rangle _ {B},}$

e a medição projetiva em Ancilla entrará em colapso para o estado ${\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {A}}$

${\ displaystyle | \ psi '\ rangle _ {A} = {\ frac {M_ {i_ {0}} | \ psi \ rangle} {\ sqrt {\ langle \ psi | M_ {i_ {0}} ^ {\ punhal} M_ {i_ {0}} | \ psi \ rangle}}}}$

na obtenção de resultado . Quando o estado que está sendo medido é descrito por uma matriz de densidade , o estado de pós-medição correspondente é dado por ${\ displaystyle i_ {0}}$${\ displaystyle \ rho _ {A}}$

${\ displaystyle \ rho '_ {A} = {M_ {i_ {0}} \ rho M_ {i_ {0}} ^ {\ dagger} \ over {\ rm {tr}} (M_ {i_ {0}} \ rho M_ {i_ {0}} ^ {\ dagger})}}$.

Vemos, portanto, que o estado de pós-medição depende explicitamente do unitário . ${\ displaystyle W}$

Outra diferença das medições projetivas é que uma medição POVM em geral não é repetível. Se na primeira medição o resultado foi obtido, a probabilidade de obter um resultado diferente em uma segunda medição é ${\ displaystyle i_ {0}}$${\ displaystyle i_ {1}}$

${\ displaystyle {\ text {Prob}} (i_ {1} | i_ {0}) = {\ operatorname {tr} (M_ {i_ {1}} M_ {i_ {0}} \ rho M_ {i_ {0 }} ^ {\ dagger} M_ {i_ {1}} ^ {\ dagger}) \ over {\ rm {tr}} (M_ {i_ {0}} \ rho M_ {i_ {0}} ^ {\ dagger })}}$,

que pode ser diferente de zero se e não são ortogonais. Em uma medição projetiva, esses operadores são sempre ortogonais e, portanto, a medição é sempre repetível. ${\ displaystyle M_ {i_ {0}}}$${\ displaystyle M_ {i_ {1}}}$

Um exemplo: discriminação inequívoca de estado quântico

Suponha que você tenha um sistema quântico de dimensão 2 que você sabe que está no estado ou no estado e deseja determinar qual é. Se e são ortogonais, esta tarefa é fácil: o conjunto formará um PVM, e uma medida projetiva nesta base determinará o estado com certeza. Se, no entanto, e não forem ortogonais, essa tarefa é impossível , no sentido de que não há medição, nem PVM nem POVM, que os distinguirá com certeza. A impossibilidade de discriminar perfeitamente entre estados não-ortogonais é a base para a informação quântica protocolos como criptografia quântica , cara ou coroa quântica e dinheiro quântico . ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$${\ displaystyle \ {| \ psi \ rangle \ langle \ psi |, | \ varphi \ rangle \ langle \ varphi | \}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$

A tarefa de discriminação inequívoca de estado quântico (UQSD) é a segunda melhor coisa: nunca cometer um erro sobre se o estado é ou , ao custo de às vezes ter um resultado inconclusivo. Esta tarefa não pode ser feito por uma medida projetiva, porque precisamos de ter três resultados, , , e medições inconclusivos, e projetivas em dimensão 2 pode ter no máximo 2 resultados. ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ varphi}$

O POVM que dá a maior probabilidade de um resultado conclusivo nesta tarefa é dado por

${\ displaystyle F _ {\ psi} = {\ frac {1} {1+ | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}} | \ varphi ^ {\ perp} \ rangle \ langle \ varphi ^ {\ perp} |}$

${\ displaystyle F _ {\ varphi} = {\ frac {1} {1+ | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}} | \ psi ^ {\ perp} \ rangle \ langle \ psi ^ {\ perp} |}$

${\ displaystyle F _ {?} = \ operatorname {I} -F _ {\ psi} -F _ {\ varphi},}$

onde é o estado quântico ortogonal a , e é aquele ortogonal a . ${\ displaystyle | \ varphi ^ {\ perp} \ rangle}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi ^ {\ perp} \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

Observe que , portanto, quando o resultado é obtido, temos certeza de que o estado quântico é , e quando o resultado é obtido, temos certeza de que o estado quântico é . ${\ displaystyle \ operatorname {tr} (| \ varphi \ rangle \ langle \ varphi | F _ {\ psi}) = \ operatorname {tr} (| \ psi \ rangle \ langle \ psi | F _ {\ varphi}) = 0 }$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$

Assumindo que o sistema quântico pode estar em estado ou com a mesma probabilidade, a probabilidade de ter um resultado conclusivo é dada por ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ operatorname {tr} (| \ psi \ rangle \ langle \ psi | F _ {\ psi}) + {\ frac {1} {2}} \ operatorname {tr } (| \ varphi \ rangle \ langle \ varphi | F _ {\ varphi}) = 1- | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |.}$

Esse resultado é conhecido como limite de Ivanovic-Dieks-Peres, em homenagem aos autores que foram os pioneiros na pesquisa do UQSD.

Usando a construção acima, podemos obter uma medida projetiva que realiza fisicamente este POVM. As raízes quadradas dos elementos POVM são dadas por

${\ displaystyle {\ sqrt {F _ {\ psi}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}}} | \ varphi ^ {\ perp} \ rangle \ langle \ varphi ^ {\ perp} |}$

${\ displaystyle {\ sqrt {F _ {\ varphi}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}}} | \ psi ^ {\ perp} \ rangle \ langle \ psi ^ {\ perp} |}$

${\ displaystyle {\ sqrt {F _ {?}}} = {\ sqrt {\ frac {2 | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |} {1+ | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}} } | \ gamma \ rangle \ langle \ gamma |,}$

Onde

${\ displaystyle | \ gamma \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2 (1+ | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |)}}} (| \ psi \ rangle + e ^ {i \ arg (\ langle \ varphi | \ psi \ rangle)} | \ varphi \ rangle).}$

Rotular os três estados possíveis da ancilla como , , , e inicializando-lo sobre o estado , vemos que o unitário resultante leva o estado juntamente com o ancilla para ${\ displaystyle | {\ text {resultado?}} \ rangle}$${\ displaystyle | {\ text {resultado ψ}} \ rangle}$${\ displaystyle | {\ text {resultado φ}} \ rangle}$${\ displaystyle | {\ text {resultado?}} \ rangle}$${\ displaystyle U _ {\ text {UQSD}}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle U _ {\ text {UQSD}} (| \ psi \ rangle | {\ text {resultado?}} \ rangle) = {\ sqrt {1- | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}} | \ varphi ^ {\ perp} \ rangle | {\ text {resultado ψ}} \ rangle + {\ sqrt {| \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}} | \ gamma \ rangle | {\ text {resultado? }} \ rangle,}$

e da mesma forma leva o estado junto com a ancilla para ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$

${\ displaystyle U _ {\ text {UQSD}} (| \ varphi \ rangle | {\ text {resultado?}} \ rangle) = {\ sqrt {1- | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}} | \ psi ^ {\ perp} \ rangle | {\ text {resultado φ}} \ rangle + e ^ {- i \ arg (\ langle \ varphi | \ psi \ rangle)} {\ sqrt {| \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}} | \ gamma \ rangle | {\ text {resultado?}} \ rangle.}$

Uma medição no ancilla então dá os resultados desejados com as mesmas probabilidades do POVM.

Este POVM foi usado para distinguir experimentalmente os estados de polarização não ortogonal de um fóton, usando o grau de liberdade do caminho como um ancilla. A realização do POVM com medição projetiva foi um pouco diferente da aqui descrita.

Veja também

• SIC-POVM
• Medição quântica
• Formulação matemática da mecânica quântica
• Matriz de densidade
• Operação quântica
• Medida com valor de projeção
• Medida vetorial

Referências

• POVMs
  • K. Kraus, States, Effects, and Operations, Lecture Notes in Physics 190, Springer (1983).
  • EBDavies, Quantum Theory of Open Systems, Academic Press (1976).
  • AS Holevo , Aspectos probabilísticos e estatísticos da teoria quântica, North-Holland Publ. Cy., Amsterdam (1982).

links externos

• Demonstração interativa sobre discriminação de estado quântico