Medindo coalgebra - Measuring coalgebra

Em álgebra , um coálgebra de medição de dois algebras A e B é uma coálgebra enriquecimento do conjunto de homomorphisms de um para B . Em outras palavras, se coálgebra são pensados como uma espécie de analógico linear de conjuntos, então o coálgebra medição é uma espécie de analógico linear do conjunto de homomorphisms de A para B . Em particular, o seu grupo de elementos semelhantes são (essencialmente) os homomorphisms de um a B . Os coalgebras de medição foram introduzidos por Sweedler  ( 1968 , 1969 ).

Definição

Diz-se que uma célula-carvão C com um mapa linear de C × A a B mede A a B se preserva o produto e a identidade da álgebra (no sentido da célula-carvão). Se pensarmos nos elementos de C como mapas lineares de A a B , isso significa que c ( a 1 a 2 ) = Σ c 1 ( a 1 ) c 2 ( a 2 ) onde Σ c 1 ⊗ c 2 é o coproduto de c , e c multiplica as identidades pela contagem de c . Em particular, se c é grouplike isso apenas estados que c é um homomorfismo de A para B . Uma coalgebra de medição é uma coalgebra universal que mede de A a B no sentido de que qualquer coalgebra que mede de A a B pode ser mapeada para ela de uma forma natural única.

Exemplos

  • O grupo de elementos semelhantes de uma coálgebra medição de um a B são os homomorphisms de um para B .
  • Os elementos primitivos de um coálgebra medição de um a B são as derivações de um para B .
  • Se A é o álgebra de funções reais contínuos sobre um compacto Hausdorff espaço X , e B representa os números reais, em seguida, o coálgebra medição de um a B podem ser identificados com um número finito medidas suportadas no X . Esta pode ser a origem do termo "medição da gema de carvão".
  • No caso especial quando A  =  B , a coálgebra de medição tem uma estrutura natural de uma álgebra Hopf, chamado o álgebra Hopf da álgebra Uma .

Referências

  • Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2010), Álgebras, anéis e módulos. Lie algebras and Hopf álgebras , Mathematical Surveys and Monographs, 168 , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN   978-0-8218-5262-0 , MR   2724822 , Zbl   1211.16023
  • Sweedler, Moss E. (1968), "A álgebra de Hopf de uma álgebra aplicada à teoria de campo", J. Algebra , 8 : 262-276, doi : 10.1016 / 0021-8693 (68) 90059-8 , MR   0222053
  • Sweedler, Moss E. (1969), álgebras de Hopf , Mathematics Lecture Note Series, WA Benjamin, Inc., New York, MR   0252485 , Zbl   0194.32901