viés Lutz-Kelker - Lutz–Kelker bias

O viés Lutz-Kelker é um suposto viés sistemático que resulta do pressuposto de que o número de estrelas observáveis aumenta com o quadrado da distância. Em particular, ele causa medidos paralaxe de estrelas a ser maiores do que os seus valores reais. A tendência para maiores medindo paralaxes por sua vez resulta em uma sub-estimativa da distância e, por conseguinte, uma sub-estimativa sobre o objecto de luminosidade .

Para uma dada medição de paralaxe com uma incerteza de acompanhamento, ambas as estrelas mais perto e mais longe pode, por causa da incerteza de medição, aparecem na paralaxe dado. Assumindo distribuição uniforme estelar, o número de estrelas por unidade de faixa de paralaxe será proporcional ao (onde é o verdadeiro paralaxe), e, por conseguinte, não haverá mais estrelas nas conchas de volume na distância maior. Como resultado dessa dependência, mais estrelas terá sua verdadeira paralaxe menor do que a paralaxe observado. Assim, a paralaxe medido será sistematicamente inclinado para um valor maior do que o verdadeiro paralaxe. Isso faz com luminosidades inferidas e as distâncias para ser muito pequeno, o que coloca um problema aparente para os astrônomos tentam medir a distância. A existência (ou não) desse viés ea necessidade de corrigir para ele tornou-se relevante na astronomia com as medições de precisão de paralaxe feitas pelo Hipparcos satélite e, mais recentemente, com os dados de lançamentos de alta precisão da Gaia missão. ${\ Displaystyle 1 / ^ p {4}}$${\ Displaystyle p}$

O método de correção devido à Lutz e Kelker colocado um limite na verdade paralaxe das estrelas. Este não é válida porque a verdadeira paralaxe (como distinto de paralaxe medido) não pode ser conhecida. Integrando sobre todos os verdadeiros paralaxe (todo o espaço) assume que as estrelas são igualmente visível em todas as distâncias, e leva a integrais divergentes rendendo um cálculo inválido. Consequentemente a correção Lutz-Kelker não deve ser utilizado. Em geral, outras correções para viés sistemático são necessárias, dependendo dos critérios de selecção das estrelas sob consideração.

O âmbito dos efeitos da polarização também são discutidos no contexto da actual medições de maior precisão e a escolha da amostra estelar onde os pressupostos de distribuição estelares originais não são válidos. Estas diferenças resultam na discussão original de efeitos para ser em grande parte superestimada e altamente dependente da escolha da amostra estelar. Também continua a ser possível que as relações para as outras formas de desvios estatísticos, tais como a polarização Malmquist podem ter um contra-efeito em viés Lutz-Kelker para, pelo menos, algumas amostras.

matemática Descrição

Descrição original

A função de distribuição

Matematicamente, o Lutz-Kelker polarização origina a partir da dependência da densidade do número na paralaxe observado que é traduzido para a probabilidade condicional de paralaxe medições. Assumindo uma distribuição de Gauss da paralaxe observado sobre a verdadeira paralaxe devido a erros na medição, podemos escrever a probabilidade condicional função de distribuição de medir a paralaxe de uma vez que o verdadeiro paralaxe é como ${\ Displaystyle p_ {o}}$${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle g (p_ {o} | p) = {\ dfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma}}} \ exp {{\ Big (} {\ dfrac {- (p_ {o} - p) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} {\ Big)}}}$

uma vez que a estimativa é de um verdadeiro paralaxe com base na paralaxe medida, a probabilidade condicional do ser verdadeiro de paralaxe , dado que a paralaxe observado é é de interesse. No tratamento original do fenómeno por Lutz & Kelker, esta probabilidade, utilizando teorema de Bayes , é dada como ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p_ {o}}$

${\ Displaystyle g (p | p_ {O}) = {\ dfrac {g (P_ {O} | p) \ g (p)} {g (P_ {O})}}}$

onde e são as probabilidades prévias do verdadeiro e observado paralaxes respectivamente. ${\ Displaystyle g (p) dp}$${\ Displaystyle g (P_ {O}) dp_ {O}}$

Dependência de Distância

A densidade de probabilidade de encontrar uma estrela com magnitude aparente a uma distância pode ser escrita da mesma forma como ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle s}$

${\ Displaystyle h (s | m) = {\ dfrac {h (m | s) \ H (s)} {h (m)}}}$

onde representa a densidade de probabilidade de encontrar uma estrela com magnitude aparente m com uma determinada distância . Aqui, vai depender da função de luminosidade da estrela, que depende de sua magnitude absoluta . é a função de densidade de probabilidade do valor aparente independente da distância. A probabilidade de uma estrela estar a uma distância será proporcional ao tal que ${\ Displaystyle h (m | s)}$${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle h (m | s)}$${\ Displaystyle h (m)}$${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle s ^ {2}}$

${\ Displaystyle h (s) \ propto n (s) \ s ^ {2}}$

Assumindo uma distribuição uniforme de estrelas no espaço, a densidade número torna-se uma constante e podemos escrever ${\ Displaystyle n (s)}$

${\ Displaystyle g (p) \ dp = h (s | m) \ {\ Cevada |} {\ dfrac {\ s parcial} {\ p parcial}} {\ Cevada |} _ {m} \ dp \ propto s ^ {2} {\ Cevada |} {\ dfrac {\ s parcial} {\ p parcial}} {\ Cevada |} _ {m}} dp$, Onde . ${\ Displaystyle s = 1 / p}$

Desde que lidar com a distribuição de probabilidade do verdadeiro paralaxe com base em uma paralaxe observado fixa, a densidade de probabilidade torna-se irrelevante e pode-se concluir que a distribuição terá a proporcionalidade${\ Displaystyle g (P_ {O})}$

${\ Displaystyle g (p | p_ {o}) \ propto g (p | p_ {o}) \ p ^ {- 4}}$ e, assim,

${\ Displaystyle g (p | p_ {o}) \ propto {\ dfrac {1} {p ^ {4}}} \ exp {\ Big (} {- {\ dfrac {(p-p_ {o}) ^ {2}} {2 \ \ sigma ^ {2}}}} {\ Big)}}$

Normalização

A probabilidade condicional do verdadeiro paralaxe com base na paralaxe observado é divergente em torno de zero para o verdadeiro paralaxe. Portanto, não é possível normalizar essa probabilidade. Na sequência da descrição original da polarização, que pode definir uma normalização, incluindo a paralaxe como observado

${\ Displaystyle g (p | p_ {o}) \ propto {\ Big (} {\ dfrac {p_ {o}} {p}} {\ Big)} ^ {4} \ \ exp {\ Big (} { - {\ dfrac {(p-p_ {o}) ^ {2}} {2 \ \ sigma ^ {2}}}} {\ Big)}}$

A inclusão de não afeta proporcionalidade, uma vez que é uma constante fixa. Além disso, neste "definido normalização ", teremos uma probabilidade de 1 quando o verdadeiro paralaxe é igual à paralaxe observado, independentemente dos erros de medição. Portanto, podemos definir uma paralaxe sem dimensão e obter a distribuição sem dimensão do verdadeiro paralaxe como ${\ Displaystyle p_ {o}}$${\ Displaystyle Z: = p / P_ {O}}$

${\ Displaystyle L (Z) \ propto Z ^ {- 4} \ \ exp {\ Big (} {- {\ dfrac {(Z-1) ^ {2}} {2 \ (\ sigma / P_ {O} ) ^ {2}}}} {\ Big)}}$

Aqui, representa o ponto onde a medição em paralaxe é igual ao seu valor real, onde a distribuição de probabilidade deve ser centrado. No entanto, esta distribuição, devido ao factor de vai desviar-se do ponto para valores menores. Esta apresenta a sistemática Lutz-Kelker Viés . O valor desta polarização será com base no valor de , a incerteza marginal na medição de paralaxe. ${\ Displaystyle Z = 1}$${\ Displaystyle Z ^ {- 4}}$${\ Displaystyle Z = 1}$${\ Displaystyle \ sigma / p_ {o}}$

Âmbito da Efeitos

Tratamento original

No tratamento inicial da polarização Lutz-Kelker como foi proposto pela primeira vez a incerteza na medição de paralaxe é considerada para ser a única fonte de polarização. Como resultado da dependência de paralaxe distribuições estelares, menor incerteza na paralaxe observada irá resultar em apenas um ligeiro desvio do valor real de paralaxe. Incertezas maiores em contraste renderia desvios sistemáticos superiores da paralaxe observado a partir de seu verdadeiro valor. Grandes erros na medição de paralaxe tornam-se aparentes nos cálculos de luminosidade e, portanto, são fáceis de detectar. Por conseguinte, o tratamento original do fenómeno considerado o viés para ser eficaz quando a incerteza na paralaxe observado, e está perto de cerca de 15% do valor medido, . Esta foi uma declaração muito forte indicando que, se a incerteza na paralaxe em cerca de 15-20%, o viés é tão eficaz que nós perdemos a maioria das informações de paralaxe e distância. Vários trabalhos posteriores sobre o fenómeno refutada este argumento e mostrou-se que o âmbito de aplicação é na verdade muito amostra de base e pode ser dependente de outras fontes de polarização. Portanto, mais recentemente, argumenta-se que as possibilidades de amostras mais estelares não é tão drástica como proposto pela primeira vez. ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle p_ {o}}$

Discussões subsequentes

Após a declaração original, o âmbito dos efeitos da polarização, bem como a sua existência e métodos relativos de correção foram discutidos em muitos trabalhos na literatura recente, incluindo o trabalho posterior de si mesmo Lutz. Vários estado de trabalho subsequente que o pressuposto de distribuição estelar uniforme pode não ser aplicável, dependendo da escolha de amostra estelar. Além disso, os efeitos de diferentes distribuições de estrelas no espaço, bem como o de erros de medição renderia diferentes formas de polarização. Isto sugere que a tendência é em grande parte dependente da escolha específica de distribuições de erro de amostra e medição, apesar do termo de polarização Lutz-Kelker é comumente utilizado genericamente para o fenómeno em todas as amostras estelar. Também é questionado se outras fontes de erro e polarização, tais como o Malmquist polarização realmente contra-efeito, ou mesmo cancelar o viés Lutz-Kelker, de modo que os efeitos não são tão drástica como inicialmente descrito por Lutz e Kelker. Em geral, essas diferenças são discutidos para resultar em efeitos da polarização para ser em grande parte sobrestimada no tratamento original.

Mais recentemente, os efeitos do viés Lutz-Kelker tornou-se relevante no contexto das medições de alta precisão de Gaia missão. O âmbito dos efeitos da polarização Lutz-Kelker em determinadas amostras é discutida nos últimos Gaia lançamentos de dados, incluindo os pressupostos originais e a possibilidade de diferentes distribuições. Permanece importante a ter efeitos de polarização com cuidado sobre a selecção das amostras de distribuição estelar deverá ser não-uniforme em grandes escalas de distância. Como resultado, ele é questionado se os métodos de correção, incluindo a correção Lutz-Kelker proposto na obra original, são aplicáveis para uma dada amostra estelar, já que são esperados efeitos a depender da distribuição estelar. Além disso, na sequência da descrição original e a dependência da polarização sobre os erros de medição, os efeitos são esperados ser inferior devido à maior precisão dos instrumentos actuais, tais como Gaia .

História

A descrição original do fenômeno foi apresentada em um artigo de Thomas E. Lutz e Douglas H. Kelker nas Publicações da Sociedade Astronômica do Pacífico , Vol. 85, N ° 507, p. 573 artigo intitulado "Sobre o uso de trigonométricas paralaxe para a calibração de sistemas Luminosidade: Teoria". apesar de ter sido conhecido na sequência dos trabalhos de Trumpler & Weaver em 1953. A discussão sobre viés estatístico em medições na data astronomia de volta para tão cedo quanto a Eddington em 1913.

Referências