Lei da parede - Law of the wall

lei da parede, velocidade horizontal perto da parede com modelo de comprimento de mistura

Na dinâmica dos fluidos , a lei da parede (também conhecida como lei logarítmica da parede ) afirma que a velocidade média de um fluxo turbulento em um determinado ponto é proporcional ao logaritmo da distância desse ponto à "parede", ou o limite da região de fluido . Esta lei da parede foi publicada pela primeira vez em 1930 pelo matemático húngaro-americano , engenheiro aeroespacial e físico Theodore von Kármán . É apenas tecnicamente aplicável a partes do fluxo que estão próximas à parede (<20% da altura do fluxo), embora seja uma boa aproximação para todo o perfil de velocidade de fluxos naturais.

Formulação logarítmica geral

A lei logarítmica da parede é uma solução auto-similar para a velocidade média paralela à parede e é válida para fluxos em números de Reynolds altos - em uma região de sobreposição com tensão de cisalhamento aproximadamente constante e longe o suficiente da parede para viscosidade (direta) efeitos a serem insignificantes:

{\ displaystyle u ^ {+} = {\ frac {1} {\ kappa}} \ ln \, y ^ {+} + C ^ {+},}

com e

{\ displaystyle y ^ {+} = {\ frac {y \, u _ {\ tau}} {\ nu}},}

{\ displaystyle u _ {\ tau} = {\ sqrt {\ frac {\ tau _ {w}} {\ rho}}}}

{\ displaystyle u ^ {+} = {\ frac {u} {u _ {\ tau}}}}

Onde

${\ displaystyle y ^ {+}}$	é a coordenada da parede: a distância y à parede, tornada adimensional com a velocidade de atrito u _τ e a viscosidade cinemática ν ,
${\ displaystyle u ^ {+}}$	é a velocidade adimensional: a velocidade u paralela à parede em função de y (distância da parede), dividida pela velocidade de atrito u _τ ,
${\ displaystyle \ tau _ {w}}$	é a tensão de cisalhamento da parede,
${\ displaystyle \ rho}$	é a densidade do fluido ,
${\ displaystyle u _ {\ tau}}$	é chamada de velocidade de atrito ou velocidade de cisalhamento ,
${\ displaystyle \ kappa}$	é a constante de Von Kármán ,
${\ displaystyle C ^ {+}}$	é uma constante, e
${\ displaystyle \ ln}$	é o logaritmo natural .

A partir de experimentos, a constante de von Kármán é encontrada para ser e para uma parede lisa. ${\ displaystyle \ kappa \ approx 0,41}$ ${\ displaystyle C ^ {+} \ aproximadamente 5,0}$

Com dimensões, a lei logarítmica da parede pode ser escrita como:

{\ displaystyle {u} = {\ frac {u _ {\ tau}} {\ kappa}} \ ln \, {\ frac {y} {y_ {0}}} \}

onde y ₀ é a distância do limite em que a velocidade idealizada dada pela lei da parede vai para zero. Isso é necessariamente diferente de zero porque o perfil de velocidade turbulenta definido pela lei da parede não se aplica à subcamada laminar . A distância da parede na qual chega a zero é determinada comparando a espessura da subcamada laminar com a rugosidade da superfície sobre a qual está fluindo. Para uma subcamada laminar próxima à parede de espessura e uma escala de comprimento de rugosidade característica , ${\ displaystyle \ delta _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle k_ {s}}$

${\ displaystyle k_ {s} <\ delta _ {\ nu} \,}$	: fluxo hidraulicamente suave ,
${\ displaystyle k_ {s} \ approx \ delta _ {\ nu} \,}$	: fluxo de transição,
${\ displaystyle k_ {s}> \ delta _ {\ nu} \,}$	: escoamento hidraulicamente áspero .

Intuitivamente, isso significa que se os elementos de rugosidade estiverem ocultos dentro da subcamada laminar, eles terão um efeito muito diferente na lei turbulenta do perfil de velocidade da parede do que se estivessem saindo da parte principal do fluxo.

Isso também é frequentemente formulado mais formalmente em termos de um número de Reynolds limite,, onde ${\ displaystyle Re_ {w}}$

{\ displaystyle Re_ {w} = {\ frac {u _ {\ tau} k_ {s}} {\ nu}}. \}

O fluxo é hidraulicamente suave para , hidraulicamente áspero e transicional para valores intermediários. ${\ displaystyle Re_ {w} <3}$ ${\ displaystyle Re_ {w}> 100}$

Os valores para são dados por: ${\ displaystyle y_ {0}}$

${\ displaystyle y_ {0} = {\ frac {\ nu} {9u _ {\ tau}}}}$	para um fluxo hidraulicamente suave
${\ displaystyle y_ {0} = {\ frac {k_ {s}} {30}}}$	para fluxo hidraulicamente áspero.

Os valores intermediários são geralmente fornecidos pelo diagrama de Nikuradse derivado empiricamente , embora métodos analíticos para resolver esse intervalo também tenham sido propostos.

Para canais com um limite granular, como sistemas fluviais naturais,

{\ displaystyle k_ {s} \ aproximadamente 3,5D_ {84}, \}

onde é o diâmetro médio do 84º maior percentil dos grãos do material do leito. ${\ displaystyle D_ {84}}$

Soluções de lei de potência

Trabalhos de Barenblatt e outros mostraram que além da lei logarítmica da parede - o limite para números de Reynolds infinitos - existem soluções de lei de potência, que são dependentes do número de Reynolds. Em 1996, Cipra apresentou evidências experimentais em apoio a essas descrições de power-law. Esta evidência em si não foi totalmente aceita por outros especialistas. Em 2001, Oberlack afirmou ter derivado tanto a lei logarítmica da parede, quanto as leis de potência, diretamente das equações de Navier-Stokes de média de Reynolds , explorando as simetrias em uma abordagem de grupo de Lie . No entanto, em 2014, Frewer et al. refutou esses resultados.

Perto da parede

Abaixo da região onde a lei da parede é aplicável, existem outras estimativas para a velocidade de atrito.

Subcamada viscosa

Na região conhecida como subcamada viscosa, abaixo de 5 unidades de parede, a variação de a é de aproximadamente 1: 1, tal que: ${\ displaystyle u ^ {+}}$ ${\ displaystyle y ^ {+}}$

Para

{\ displaystyle y ^ {+} <5}

{\ displaystyle u ^ {+} = y ^ {+}}

Onde,

${\ displaystyle y ^ {+}}$	é a coordenada da parede: a distância y à parede, tornada adimensional com a velocidade de atrito e a viscosidade cinemática , ${\ displaystyle u _ {\ tau}}$ ${\ displaystyle \ nu}$
${\ displaystyle u ^ {+}}$	é a velocidade adimensional: a velocidade u paralela à parede em função de y (distância da parede), dividida pela velocidade de atrito , ${\ displaystyle u _ {\ tau}}$

Esta aproximação pode ser usada para além de 5 unidades de parede, mas o erro é superior a 25%. ${\ displaystyle y ^ {+} = 12}$

Camada tampão

Na camada tampão, entre 5 unidades de parede e 30 unidades de parede, nenhuma lei se aplica, de modo que:

Para

{\ displaystyle 5 <y ^ {+} <30}

{\ displaystyle u ^ {+} \ neq y ^ {+}}

{\ displaystyle u ^ {+} \ neq {\ frac {1} {\ kappa}} \ ln \, y ^ {+} + C ^ {+}}

com a maior variação de qualquer lei ocorrendo aproximadamente onde as duas equações se interceptam, em . Ou seja, antes de 11 unidades de parede, a aproximação linear é mais precisa e após 11 unidades de parede a aproximação logarítmica deve ser usada, embora nenhuma seja relativamente precisa em 11 unidades de parede. ${\ displaystyle y ^ {+} = 11}$

O perfil de velocidade média do fluxo é melhorado com uma formulação de viscosidade turbulenta com base em uma função de energia cinética turbulenta perto da parede e a equação de comprimento de mistura van Driest. As comparações com dados de DNS de fluxos de canais turbulentos totalmente desenvolvidos mostraram boa concordância. ${\ displaystyle u ^ {+}}$ ${\ displaystyle y ^ {+} <20}$ ${\ displaystyle \ kappa ^ {+}}$ ${\ displaystyle 109 <Re _ {\ tau} <2003}$

Notas

Referências

Chanson, H. (2009), Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows , CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Holanda, 478 páginas, ISBN 978-0-415-49271-3
Schlichting, Hermann; Gersten, K. (2000), Teoria da camada limite (8ª edição revisada), Springer, ISBN 3-540-66270-7

Leitura adicional

Buschmann, Matthias H .; Gad-el-Hak, Mohamed (2009), "Evidence of nonlogarithmic behavior of turbulent channel and pipe flow", AIAA Journal , 47 (3): 535, Bibcode : 2009AIAAJ..47..535B , doi : 10.2514 / 1.37032

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