Passeio aleatório heterogêneo em uma dimensão - Heterogeneous random walk in one dimension

Figura 1 Parte de um sistema discreto semi-Markoviano em uma dimensão com funções de densidade de probabilidade de tempo de salto direcional (JT-PDFs), incluindo termos de "morte" (os JT-PDFs do estado i no estado I ). Uma maneira de simular esse passeio aleatório é ao primeiro desenhar um número aleatório de uma distribuição uniforme que determina a direção de propagação de acordo com as probabilidades de transição e, em seguida, extrair um tempo aleatório do JT-PDF relevante.

Em dinâmica , probabilidade , física , química e campos relacionados, um passeio aleatório heterogêneo em uma dimensão é um passeio aleatório em um intervalo unidimensional com regras de salto que dependem da localização do caminhante aleatório no intervalo.

Por exemplo: digamos que o tempo é discreto e também o intervalo. Ou seja, o caminhante aleatório pula cada vez que dá um passo para a esquerda ou para a direita. Um possível passeio aleatório heterogêneo desenha em cada etapa de tempo um número aleatório que determina as probabilidades locais de salto e, em seguida, um número aleatório que determina a direção real do salto. Especificamente, digamos que o intervalo tenha 9 sites (rotulados de 1 a 9), e os sites (também chamados de estados) estão conectados uns aos outros linearmente (onde os sites das bordas estão conectados aos seus sites adjacentes e juntos). Em cada etapa de tempo, as probabilidades de salto (do site real) são determinadas ao jogar uma moeda; para cabeça definimos: probabilidade saltando para a esquerda = 1/3, onde para cauda definimos: probabilidade saltando para a esquerda = 0,55. Em seguida, um número aleatório é extraído de uma distribuição uniforme : quando o número aleatório é menor que a probabilidade de saltar para a esquerda, o salto é para a esquerda, caso contrário, o salto é para a direita. Normalmente, em tal sistema, estamos interessados ​​na probabilidade de permanecer em cada um dos vários locais após t saltos, e no limite dessa probabilidade quando t for muito grande ,. ${\ displaystyle t \ rightarrow \ infty}$

Geralmente, o tempo em tais processos também pode variar de forma contínua, e o intervalo também pode ser discreto ou contínuo. Além disso, o intervalo é finito ou sem limites. Em um sistema discreto, as conexões estão entre estados adjacentes. As dinâmicas básicas são markovianas , semi-markovianas ou mesmo não markovianas, dependendo do modelo. Em sistemas discretos, passeios aleatórios heterogêneos em 1d têm probabilidades de salto que dependem da localização no sistema e / ou diferentes funções de densidade de probabilidade de tempo de salto (JT) (PDFs) que dependem da localização no sistema.

Soluções gerais para passeios aleatórios heterogêneos em 1d obedecem às equações ( 1 ) - ( 5 ), apresentadas a seguir.

Introdução

Passeios aleatórios em aplicativos

Passeios aleatórios podem ser usados ​​para descrever processos em biologia, química e física, incluindo cinética química e dinâmica de polímeros. Em moléculas individuais, passeios aleatórios aparecem ao estudar moléculas individuais, canais individuais, biomoléculas individuais, enzimas individuais e pontos quânticos . É importante ressaltar que PDFs e funções de correlação especiais podem ser facilmente calculados a partir de medições de molécula única, mas não a partir de medições de conjunto. Esta informação única pode ser usada para discriminar entre modelos distintos de passeio aleatório que compartilham algumas propriedades, e isso exige uma análise teórica detalhada dos modelos de passeio aleatório. Nesse contexto, a utilização do conteúdo da informação em dados de uma única molécula é uma questão de pesquisa contínua.

Formulações de passeios aleatórios

O passeio aleatório real obedece a uma equação de movimento estocástica , mas sua função de densidade de probabilidade (PDF) obedece a uma equação determinística. Os PDFs de passeios aleatórios podem ser formulados em termos da equação mestre (discreta no espaço) e da equação mestre generalizada ou da equação de Fokker Planck (contínua no espaço e tempo) e suas generalizações. Caminhadas aleatórias de tempo contínuo, teoria da renovação e a representação do caminho também são formulações úteis de caminhadas aleatórias. A rede de relações entre as várias descrições fornece uma ferramenta poderosa na análise de passeios aleatórios. Ambientes arbitrariamente heterogêneos tornam a análise difícil, especialmente em dimensões altas.

Resultados para passeios aleatórios em uma dimensão

Sistemas simples

Os resultados importantes conhecidos em sistemas simples incluem:

• Em um passeio aleatório Markoviano simétrico, a função de Green (também chamada de PDF do andador) para ocupar o estado i é uma gaussiana na posição e tem uma variância que escala como o tempo. Isso é correto para um sistema com tempo e espaço discretos, mas também em um sistema com tempo e espaço contínuos. Este resultado é para sistemas sem limites.
• Quando há uma tendência simples no sistema (ou seja, uma força constante é aplicada no sistema em uma direção particular), a distância média do caminhante aleatório de sua posição inicial é linear com o tempo.
• Ao tentar alcançar uma distância L da posição inicial em um intervalo finito de comprimento L , o tempo para se chegar a esta distância é exponencial com o comprimento L : . Aqui, a difusão é contra um potencial linear.${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ tau = e ^ {L}}$

Sistemas heterogêneos

A solução para a função de Green para um passeio aleatório semi-Markoviano em um ambiente arbitrariamente heterogêneo em 1D foi recentemente dada usando a representação de caminho. (A função é a PDF para ocupar o estado i no tempo t, dado que o processo começou no estado j exatamente no tempo 0.) Um passeio aleatório semi-Markoviano em 1D é definido como segue: um passeio aleatório cujas dinâmicas são descritas pelo ( possivelmente) JT-PDFs dependentes de estado e direção , para transições entre os estados i e i  ± 1, que geram trajetórias estocásticas de tempos de espera não correlacionados que são distribuídos não exponenciais. obedece às condições de normalização (ver fig. 1) ${\ displaystyle G_ {ij} (t; L)}$${\ displaystyle G_ {ij} (t; L)}$${\ displaystyle \ psi _ {ij} (t)}$${\ displaystyle \ psi _ {ij} (t)}$

${\ displaystyle \ sum _ {j} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ psi _ {ij} (t) = 1.}$

A dinâmica também pode incluir armadilhagem irreversível JT-PDF do Estado e dependente da direcção, com i = i + L . O ambiente é heterogêneo quando depende de i . O processo acima também é um passeio aleatório em tempo contínuo e tem uma representação de equação mestre generalizada equivalente para a função de Green. . ${\ displaystyle \ psi _ {iI} (t)}$${\ displaystyle \ psi _ {ij} (t)}$${\ displaystyle G_ {ij} (t)}$

Expressões explícitas para passeios aleatórios heterogêneos em 1D

Em um passeio aleatório semi-Markoviano completamente heterogêneo em um sistema discreto de L (> 1) estados, a função de Green foi encontrada no espaço de Laplace (a transformada de Laplace de uma função é definida com, ). Aqui, o sistema é definido por meio dos PDFs de tempo de salto (JT): conectando o estado i com o estado j (o salto é do estado i ). A solução é baseada na representação do caminho da função de Green, calculada ao incluir todas as funções de densidade de probabilidade do caminho de todos os comprimentos: ${\ displaystyle {\ bar {f}} (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) \, dt}$${\ displaystyle \ psi _ {ij} (t)}$

${\ displaystyle {\ bar {G}} _ {ij} (s) = {\ bar {\ Gamma}} _ {ij} (s) {\ frac {{\ bar {\ Phi}} (s, {\ til {L}})} {{\ bar {\ Phi}} (s, L)}} {\ bar {\ Psi}} _ {i} (s).}$

( 1 )

Aqui,

${\ displaystyle {\ bar {\ Psi}} _ {i} (s) = \ sum _ {j} {\ bar {\ Psi}} _ {ij} (s)}$

e

${\ displaystyle {\ bar {\ Psi}} _ {ij} (s) = {\ frac {1 - {\ bar {\ psi}} _ {ij} (s)} {s}}.}$

Além disso, na Eq. ( 1 ),

${\ displaystyle {\ bar {\ Gamma}} _ {ij} (s) = \ prod _ {c = 0} ^ {i \ mp 1} {\ bar {\ psi}} _ {c \ pm 1c} ( s),}$

( 2 )

e

${\ displaystyle {\ bar {\ Phi}} (s, L) = 1 + \ sum _ {c = 1} ^ {[L / 2]} (- 1) ^ {c} {\ bar {h}} (s, c; L)}$

( 3 )

com

${\ displaystyle {\ bar {h}} (s, i; L) = \ prod _ {c = 1} ^ {i} \ sum _ {k_ {c} = 2 + k_ {c-1}} ^ { L-1-2 (ic)} {\ bar {f}} _ {k_ {c}} (s)}$

( 4 )

e

${\ displaystyle {\ bar {f}} _ {k_ {j}} (s) = {\ bar {\ psi}} _ {k_ {j} k_ {j} +1} (s) {\ bar {\ psi}} _ {k_ {j} + 1k_ {j}} (s).}$

( 5 )

Para L  = 1 ,. Neste artigo, o símbolo [ L / 2], como aparecendo no limite superior da soma na eq. ( 5 ) é a operação de piso (arredondado para zero). Finalmente, o fator na eq. ( 1 ) tem a mesma forma que nas eqs. ( 3 ) - ( 5 ), mas é calculado em uma rede . A rede é construída a partir da rede original retirando dela os estados i e j e os estados entre eles e, em seguida, conectando os dois fragmentos obtidos. Para casos em que um fragmento é um único estado, este fragmento é excluído; a saber, a rede é o fragmento mais longo. Quando cada fragmento é um único estado ,. ${\ displaystyle {\ bar {\ Phi}} (s; L) = 1}$${\ displaystyle \ Phi (s, {\ tilde {L}})}$${\ displaystyle {\ bar {\ Phi}} (s; L)}$${\ displaystyle {\ tilde {L}}}$${\ displaystyle {\ tilde {L}}}$${\ displaystyle {\ tilde {L}}}$${\ displaystyle {\ bar {\ Phi}} (s; {\ tilde {L}}) = 1}$

As equações ( 1 ) - ( 5 ) valem para qualquer passeio aleatório 1D semi-Markoviano em uma cadeia de estado L e formam a solução mais geral de uma forma explícita para passeios aleatórios em 1d.

Representação do caminho de passeios aleatórios heterogêneos

Claramente, nas Eqs. ( 1 ) - ( 5 ) resolve o problema de passeio aleatório em tempo contínuo correspondente e a equação mestre generalizada equivalente. As equações ( 1 ) - ( 5 ) permitem analisar passeios aleatórios semi-Markovianos em cadeias 1D a partir de uma ampla variedade de aspectos. A inversão no domínio do tempo fornece a função de Green, mas também os momentos e as funções de correlação podem ser calculados a partir das Eqs. ( 1 ) - ( 5 ), e então invertido no domínio do tempo (para quantidades relevantes). A forma fechada também manifesta sua utilidade quando a inversão numérica da equação mestre generalizada é instável. Além disso, o uso em manipulações analíticas simples dá, (i) o primeiro tempo de passagem PDF, (ii) - (iii) as funções de Green para um passeio aleatório com um WT-PDF especial para o primeiro evento e para um passeio aleatório em uma circular Cadeia 1D de estado L e (iv) PDFs conjuntos no espaço e no tempo com muitos argumentos. ${\ displaystyle {\ bar {G}} _ {ij} (s; L)}$${\ displaystyle {\ bar {G}} _ {ij} (s; L)}$${\ displaystyle {\ bar {G}} _ {ij} (s; L)}$

Ainda assim, o formalismo utilizado neste artigo é a representação do caminho da função de Green , e isso fornece mais informações sobre o processo. A representação do caminho segue: ${\ displaystyle G_ {ij} (t)}$

${\ displaystyle G_ {ij} (t; L) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ Psi _ {i} (t- \ tau) W_ {ij} (\ tau; L) \, d \ tau,}$

( 6 )

A expressão para na Eq. ( 6 ) segue, ${\ displaystyle W_ {ij} (t; L)}$

${\ displaystyle W_ {ij} (\ tau; L) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} w_ {ij} (\ tau, 2n + \ gamma _ {ij}; L).}$

( 7 )

${\ displaystyle W_ {ij} (t; L)}$é o PDF de atingir o estado i exatamente no tempo t ao iniciar no estado j exatamente no tempo 0. Este é o caminho PDF no tempo que é construído a partir de todos os caminhos com transições que conectam os estados j com i . Dois tipos diferentes de caminhos contribuem para : caminhos feitos dos mesmos estados que aparecem em ordens diferentes e caminhos diferentes com o mesmo comprimento de transições. Os PDFs de caminho para cadeias invariantes de tradução têm pico único. Path PDF para cadeias invariantes de translação contribuem principalmente para a função de Green na vizinhança de seu pico, mas acredita-se que esse comportamento também caracteriza cadeias heterogêneas. ${\ displaystyle 2n + \ gamma _ {ij}}$${\ displaystyle w_ {ij} (\ tau, 2n + \ gamma _ {ij}; L)}$${\ displaystyle 2n + \ gamma _ {ij}}$

Notamos também que a seguinte relação é válida ,. Usando essa relação, nos concentramos no que segue na solução . ${\ displaystyle {\ bar {W}} _ {ij} (s; L) = {\ bar {W}} _ {1L} (s; L) / {\ bar {W}} _ {1 {\ til {L}}} (s; {\ tilde {L}})}$${\ displaystyle {\ bar {w}} _ {1L} (s; L)}$

PDFs de caminho

Informações complementares sobre o passeio aleatório com o fornecido com a função de Green estão contidas em PDFs de caminho. Isso fica evidente ao construir aproximações para as funções de Green, nas quais os PDFs de caminho são os blocos de construção da análise. Além disso, as propriedades analíticas da função de Green são esclarecidas apenas na análise de caminho PDF. Aqui, apresentado é a relação de recorrência para no comprimento n de PDF de caminho para qualquer valor fixo de L . A relação de recursão é linear em PDFs de caminho com s na Eq. ( 5 ) servindo como os n coeficientes independentes, e é da ordem [ L / 2]: ${\ displaystyle w_ {ij} (\ tau, 2n + \ gamma _ {ij}; L)}$${\ displaystyle {\ bar {h}} (s, i; L)}$

${\ displaystyle {\ bar {w}} _ {1L} (s, 2n + \ gamma _ {1L}; L) = \ delta _ {n0} {\ bar {\ Gamma}} _ {1L} (s) + \ sum _ {c = 1} ^ {[L / 2]} (- 1) ^ {c + 1} {\ bar {w}} _ {1L} (s, 2 (nc) + \ gamma _ {1L }; L) {\ bar {h}} (s, c; L).}$

( 8 )

A relação de recursão é usada para explicar a fórmula universal para os coeficientes na Eq. ( 1 ). A solução da relação de recursão é obtida aplicando transformada az:

${\ displaystyle {\ hat {\ bar {w}}} _ {1L} (s, 2z + \ gamma _ {1L}; L) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ bar {w }} _ {1L} (s, 2n + \ gamma _ {1L}; L) z ^ {n} = {\ bar {\ Gamma}} _ {1L} (s) {\ big [} 1- \ soma _ {c = 1} ^ {[L / 2]} (- 1) ^ {c + 1} {\ bar {h}} (s, c; L) z ^ {i} {\ big]} ^ {- 1}.}$

( 9 )

Configuração na Eq. ( 9 ) dá . A expansão de Taylor da Eq. ( 9 ) dá . O resultado é o seguinte: ${\ displaystyle z = 1}$${\ displaystyle {\ bar {W}} _ {1L} (s; L)}$${\ displaystyle {\ bar {w}} _ {1L} (s, 2n + \ gamma _ {1L}; L)}$

${\ displaystyle {\ bar {w}} _ {1L} (s, 2n + \ gamma _ {1L}; L) = {\ bar {\ Gamma}} _ {1L} (s) \ sum _ {k_ {0 } = a_ {0, n}} ^ {n} {\ bar {h}} (1, s; L) ^ {k_ {0}} c_ {k_ {0}} (s; L).}$

( 10 )

Na Eq. ( 10 ) é um para , e caso contrário, ${\ displaystyle {\ bar {c}} _ {k_ {0}} (s; L)}$${\ displaystyle L = 2,3}$

${\ displaystyle {\ bar {c}} _ {k_ {0}} (s; L) = \ prod _ {c = 0} ^ {[L / 2] -1} \ sum _ {k_ {c} = a_ {c, n}} ^ {n- \ sum _ {j = 0} ^ {c-1} k_ {j}} {\ bar {g}} _ {k_ {c}} (s; L), }$

( 11 )

Onde

${\ displaystyle {\ bar {g}} _ {k_ {i}} (s; L) = {\ binom {k_ {i-1}} {k_ {i}}} \ left (- {\ frac {{ \ bar {h}} (s, i + 1; L)} {{\ bar {h}} (s, i; L)}} \ right) ^ {k_ {i}}.}$

( 12 )

O número inicial segue: ${\ displaystyle a_ {i, n} s}$

${\ displaystyle a_ {i, n} = \ left [{\ frac {n- \ sum _ {j = 0} ^ {i-1} k_ {j} + [L / 2] -1-i} {[ L / 2] -i}} \ direita]; i> 0,}$

( 13 )

e,

${\ displaystyle a_ {i, 0} = \ left [{\ frac {n + [L / 2] -1} {[L / 2]}} \ right].}$

( 14 )

Referências

Outra Bibliografia

• Zwanzig, R. (2001). Mecânica Estatística de Nenhum Equilíbrio . Nova York: OXFORD, University Press. ISBN 0-19-514018-4.
• Schuss, Zeev (2010). Teoria e Aplicações de Processos Estocásticos: Uma Abordagem Analítica (Ciências Matemáticas Aplicadas) . Nova York Dordrecht Heilderberg Londres: Springer. ISBN 978-1-4419-1605-1.
• Redner, S. (2001). Um guia para o processo de primeira passagem . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-65248-0.