Grande elipse - Great ellipse

Um esferóide

Um grande elipse é uma elipse passando por dois pontos em um esferóide e tendo o mesmo centro que o do esferóide. Equivalentemente, é uma elipse na superfície de um esferóide e centrada na origem , ou a curva formada pela intersecção do esferóide por um plano através de seu centro. Para pontos separados por menos de cerca de um quarto da circunferência da Terra , cerca de , o comprimento da grande elipse conectando os pontos é próximo (dentro de uma parte em 500.000) da distância geodésica . A grande elipse, portanto, às vezes é proposta como uma rota adequada para a navegação marítima. A grande elipse é um caso especial de um caminho de seção de terra . ${\ displaystyle 10 \, 000 \, \ mathrm {km}}$

Introdução

Suponha que o esferóide, um elipsóide de revolução, tenha um raio equatorial e um semieixo polar . Defina o achatamento , a excentricidade e a segunda excentricidade . Considere dois pontos: na latitude e longitude (geográfica) e na latitude e longitude . A grande elipse conectada (de a ) tem comprimento e azimutes e nos dois pontos finais. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle f = (ab) / a}$${\ displaystyle e = {\ sqrt {f (2-f)}}}$${\ displaystyle e '= e / (1-f)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ phi _ {1}}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ phi _ {2}}$${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle s_ {12}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$

Existem várias maneiras de mapear um elipsóide em uma esfera de raio de forma a mapear a grande elipse em um grande círculo, permitindo que os métodos de navegação em grande círculo sejam usados: ${\ displaystyle a}$

• O elipsóide pode ser alongado em uma direção paralela ao eixo de rotação; isso mapeia um ponto de latitude no elipsóide a um ponto na esfera com latitude , a latitude paramétrica .${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ beta}$
• Um ponto no elipsóide pode ser mapeado radialmente na esfera ao longo da linha que o conecta com o centro do elipsóide; isso mapeia um ponto de latitude no elipsóide a um ponto na esfera com latitude , a latitude geocêntrica .${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ theta}$
• O elipsóide pode ser esticado em um elipsóide prolato com semieixo polar e então mapeado radialmente na esfera; isso preserva a latitude - a latitude na esfera é a latitude geográfica .${\ displaystyle a ^ {2} / b}$${\ displaystyle \ phi}$

O último método fornece uma maneira fácil de gerar uma sucessão de waypoints na grande elipse conectando dois pontos conhecidos e . Resolva o grande círculo entre e e encontre os pontos de passagem no grande círculo . Estes mapeiam em pontos de passagem na grande elipse correspondente. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle (\ phi _ {1}, \ lambda _ {1})}$${\ displaystyle (\ phi _ {2}, \ lambda _ {2})}$

Mapeando a grande elipse para um grande círculo

Se distâncias e títulos forem necessários, é mais simples usar o primeiro dos mapeamentos. Em detalhes, o mapeamento é o seguinte (esta descrição é tirada de):

• A latitude geográfica no elipsóide mapeia para a latitude paramétrica na esfera, onde${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ beta}$

  ${\ displaystyle a \ tan \ beta = b \ tan \ phi.}$

• A longitude permanece inalterada.${\ displaystyle \ lambda}$
• O azimute no elipsóide mapeia para um azimute na esfera onde${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ gamma}$

  ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ tan \ alpha & = {\ frac {\ tan \ gamma} {\ sqrt {1-e ^ {2} \ cos ^ {2} \ beta}}}, \\\ tan \ gamma & = {\ frac {\ tan \ alpha} {\ sqrt {1 + e '^ {2} \ cos ^ {2} \ phi}}}, \ end {alinhado}}}$

  e os quadrantes de e são iguais.${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ gamma}$
• As posições no grande círculo do raio são parametrizadas pelo comprimento do arco medido a partir do cruzamento para o norte do equador. A grande elipse tem um semieixo e , onde está o azimute do grande círculo no cruzamento do equador para o norte, e é o ângulo paramétrico na elipse.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a {\ sqrt {1-e ^ {2} \ cos ^ {2} \ gamma _ {0}}}}$${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$${\ displaystyle \ sigma}$

(Um mapeamento semelhante a uma esfera auxiliar é realizado na solução de geodésicas em um elipsóide . As diferenças são que o azimute é conservado no mapeamento, enquanto a longitude é mapeada para uma longitude "esférica" . A elipse equivalente usada para cálculos de distância tem semi-eixos e .) ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle b {\ sqrt {1 + e '^ {2} \ cos ^ {2} \ alpha _ {0}}}}$${\ displaystyle b}$

Resolvendo o problema inverso

O "problema inverso" é a determinação de , , e , tendo em conta as posições de e . Isso é resolvido computando e resolvendo para o grande círculo entre e . ${\ displaystyle s_ {12}}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ beta _ {1}}$${\ displaystyle \ beta _ {2}}$${\ displaystyle (\ beta _ {1}, \ lambda _ {1})}$${\ displaystyle (\ beta _ {2}, \ lambda _ {2})}$

Os azimutes esféricos são renomeados como (de ). Assim , , e e os azimutes esféricas no equador e no e . Os azimutes das extremidades da grande elipse, e , são calculados a partir de e . ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$

Os semi-eixos da grande elipse podem ser encontrados usando o valor de . ${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$

Também determinados como parte da solução do problema do grande círculo são os comprimentos do arco, e , medidos a partir do cruzamento do equador até e . A distância é encontrada calculando o comprimento de uma parte do perímetro da elipse usando a fórmula que dá o arco meridiano em termos de latitude paramétrica . Ao aplicar esta fórmula, use os semieixos para a grande elipse (em vez de para o meridiano) e substitua e para . ${\ displaystyle \ sigma _ {01}}$${\ displaystyle \ sigma _ {02}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle s_ {12}}$${\ displaystyle \ sigma _ {01}}$${\ displaystyle \ sigma _ {02}}$${\ displaystyle \ beta}$

A solução do "problema directo", que determina a posição de dado , e , podem ser de forma semelhante ser encontrado (isto requer, além disso, a fórmula de distância meridiano inversa ). Isso também permite que pontos intermediários (por exemplo, uma série de pontos intermediários igualmente espaçados) sejam encontrados na solução do problema inverso. ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$${\ displaystyle s_ {12}}$

Veja também

• Caminhos da seção da terra
• Grande círculo de navegação
• Geodésica em um elipsóide
• Arco meridiano
• Linha Rhumb

Referências

links externos

• Implementação em Matlab das soluções para os problemas diretos e inversos para grandes elipses.