Equação de fluxo Goldman-Hodgkin-Katz - Goldman–Hodgkin–Katz flux equation

A equação de fluxo Goldman-Hodgkin-Katz (ou equação de fluxo GHK ou equação de densidade de corrente GHK) descreve o fluxo iônico através de uma membrana celular como uma função do potencial transmembrana e as concentrações do íon dentro e fora da célula. Como os gradientes de tensão e concentração influenciam o movimento dos íons, esse processo é uma versão simplificada da eletrodifusão . A eletrodifusão é definida com mais precisão pela equação de Nernst-Planck e a equação de fluxo GHK é uma solução para a equação de Nernst-Planck com as suposições listadas abaixo.

Origem

O americano David E. Goldman, da Columbia University , e os ganhadores do Nobel inglês Alan Lloyd Hodgkin e Bernard Katz derivaram essa equação.

Suposições

Várias suposições são feitas na derivação da equação de fluxo GHK (Hille 2001, p. 445):

• A membrana é uma substância homogênea
• O campo elétrico é constante, de modo que o potencial transmembrana varia linearmente através da membrana
• Os íons acessam a membrana instantaneamente a partir das soluções intra e extracelulares
• Os íons permeantes não interagem
• O movimento dos íons é afetado pelas diferenças de concentração e tensão

Equação

A equação de fluxo de GHK para um íon S (Hille 2001, p. 445):

${\ displaystyle \ Phi _ {S} = P_ {S} z_ {S} ^ {2} {\ frac {V_ {m} F ^ {2}} {RT}} {\ frac {[{\ mbox {S }}] _ {i} - [{\ mbox {S}}] _ {o} \ exp (-z_ {S} V_ {m} F / RT)} {1- \ exp (-z_ {S} V_ {m} F / RT)}}}$

Onde

• ${\ displaystyle \ Phi}$_S é a densidade de corrente (fluxo) através da membrana transportada pelo íon S, medida em amperes por metro quadrado (A · m ⁻² )
• P _S é a permeabilidade da membrana para o íon S medida em m · s ⁻¹
• z _S é a valência do íon S
• V _m é o potencial transmembrana em volts
• F é a constante de Faraday , igual a 96.485 C · mol ⁻¹ ou J · V ⁻¹ · mol ⁻¹
• R é a constante do gás , igual a 8,314 J · K ⁻¹ · mol ⁻¹
• T é a temperatura absoluta , medida em kelvins (= graus Celsius + 273,15)
• [S] _i é a concentração intracelular de íon S, medida em mol · m ⁻³ ou mmol·l ⁻¹
• [S] _o é a concentração extracelular do íon S, medida em mol · m ⁻³

Definição implícita de potencial de reversão

O potencial de reversão é mostrado para estar contido na equação de fluxo GHK (Flax 2008). A prova é reproduzida da referência (Flax 2008) aqui.

Queremos mostrar que quando o fluxo é zero, o potencial transmembrana não é zero. Formalmente, está escrito o que é equivalente a escrever , que afirma que quando o potencial transmembrana é zero, o fluxo não é zero. ${\ displaystyle \ lim _ {\ Phi _ {S} \ rightarrow 0} V_ {m} \ neq 0}$${\ displaystyle \ lim _ {V_ {m} \ rightarrow 0} \ Phi _ {S} \ neq 0}$

No entanto, devido à forma do GHK fluxo equação quando , . Este é um problema, pois o valor de é indeterminado . ${\ displaystyle V_ {m} = 0}$${\ displaystyle \ Phi _ {S} = {\ frac {0} {0}}}$${\ displaystyle {\ frac {0} {0}}}$

Recorremos à regra de l'Hôpital para encontrar a solução para o limite:

${\ displaystyle \ lim _ {V_ {m} \ rightarrow 0} \ Phi _ {S} = P_ {S} {\ frac {z_ {S} ^ {2} F ^ {2}} {RT}} {\ frac {[V_ {m} ([{\ mbox {S}}] _ {i} - [{\ mbox {S}}] _ {o} \ exp (-z_ {S} V_ {m} F / RT ))] '} {[1- \ exp (-z_ {S} V_ {m} F / RT)]'}}}$

onde representa o diferencial de f e o resultado é: ${\ displaystyle [f] '}$

${\ displaystyle \ lim _ {V_ {m} \ rightarrow 0} \ Phi _ {S} = P_ {S} z_ {S} F ([{\ mbox {S}}] _ {i} - [{\ mbox {Então})}$

É evidente a partir da equação anterior que quando , se e assim ${\ displaystyle V_ {m} = 0}$${\ displaystyle \ Phi _ {S} \ neq 0}$${\ displaystyle ([{\ mbox {S}}] _ {i} - [{\ mbox {S}}] _ {o}) \ neq 0}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ Phi _ {S} \ rightarrow 0} V_ {m} \ neq 0}$

que é a definição do potencial de reversão.

Ao definir , também podemos obter o potencial de reversão: ${\ displaystyle \ Phi _ {S} = 0}$

${\ displaystyle \ Phi _ {S} = 0 = P_ {S} {\ frac {z_ {S} ^ {2} F ^ {2}} {RT}} {\ frac {V_ {m} ([{\ mbox {S}}] _ {i} - [{\ mbox {S}}] _ {o} \ exp (-z_ {S} V_ {m} F / RT))} {1- \ exp (-z_ {S} V_ {m} F / RT)}}}$

que se reduz a:

${\ displaystyle [{\ mbox {S}}] _ {i} - [{\ mbox {S}}] _ {o} \ exp (-z_ {S} V_ {m} F / RT) = 0}$

e produz a equação de Nernst  :

${\ displaystyle V_ {m} = - {\ frac {RT} {z_ {S} F}} \ ln \ left ({\ frac {[{\ mbox {S}}] _ {i}} {[{\ mbox {S}}] _ {o}}} \ right)}$

Retificação

Uma vez que uma das suposições da equação de fluxo de GHK é que os íons se movem independentemente um do outro, o fluxo total de íons através da membrana é simplesmente igual à soma de dois fluxos de direção oposta. Cada fluxo se aproxima de um valor assintótico conforme o potencial de membrana diverge de zero. Essas assíntotas são

${\ displaystyle \ Phi _ {S | i \ to o} = P_ {S} z_ {S} ^ {2} {\ frac {V_ {m} F ^ {2}} {RT}} [{\ mbox { S}}] _ {i} \ {\ mbox {para}} \ V_ {m} \ gg \; 0}$

e

${\ displaystyle \ Phi _ {S | o \ to i} = P_ {S} z_ {S} ^ {2} {\ frac {V_ {m} F ^ {2}} {RT}} [{\ mbox { S}}] _ {o} \ {\ mbox {para}} \ V_ {m} \ ll \; 0}$

onde os subscritos 'i' e 'o' denotam os compartimentos intra e extracelular, respectivamente. Mantendo todos os termos constantes, exceto V _m , a equação produz uma linha reta ao plotar _S contra V _m . É evidente que a razão entre as duas assíntotas é meramente a razão entre as duas concentrações de S, [S] _i e [S] _o . Assim, se as duas concentrações forem idênticas, a inclinação será idêntica (e constante) em toda a faixa de tensão (correspondendo à lei de Ohm escalonada pela área da superfície). À medida que a razão entre as duas concentrações aumenta, também aumenta a diferença entre as duas inclinações, o que significa que a corrente é maior em uma direção do que na outra, dada uma força motriz igual de sinais opostos. Isso é contrário ao resultado obtido se usarmos a lei de Ohm escalada pela área da superfície, e o efeito é chamado de retificação . ${\ displaystyle \ Phi}$

A equação de fluxo GHK é usada principalmente por eletrofisiologistas quando a razão entre [S] _i e [S] _o é grande e / ou quando uma ou ambas as concentrações mudam consideravelmente durante um potencial de ação . O exemplo mais comum é provavelmente o cálcio intracelular , [Ca ²⁺ ] _i , que durante um ciclo de potencial de ação cardíaco pode mudar 100 vezes ou mais, e a razão entre [Ca ²⁺ ] _o e [Ca ²⁺ ] _i pode atingir 20.000 ou mais.

Referências

• Hille, Bertil (2001) Ion channels of excitable membranes , 3rd ed., Sinauer Associates, Sunderland, Massachusetts. ISBN  978-0-87893-321-1
• Flax, Matt R. e Holmes, W.Harvey (2008) Goldman-Hodgkin-Katz Modelos de células capilares cocleares - uma fundação para a mecânica coclear não linear , anais de conferências: Interspeech 2008

Veja também

• Equação de Goldman
• Equação de Nernst
• Potencial de reversão