Discreta de distribuição do tipo de fase - Discrete phase-type distribution

A distribuição do tipo fase discreta é uma distribuição de probabilidade de que resulta a partir de um sistema de um ou mais inter-relacionados distribuição geométrica que ocorrem em sequência, ou as fases. A sequência na qual cada uma das fases ocorrer pode ser ele próprio um processo estocástico . A distribuição pode ser representada por uma variável aleatória descrevendo o tempo até que a absorção de um absorvente de cadeia de Markov com um estado absorvente. Cada um dos membros da cadeia de Markov representa uma das fases.

Tem tempo contínuo equivalente na distribuição do tipo de fase .

Definição

Uma cadeia de Markov de terminação é uma cadeia de Markov , onde todos os estados são transitórios, excepto um, que é absorvente. Reordenar os estados, a matriz de probabilidades de transição de uma cadeia de Markov de terminação com estados transitórios é ${\ Displaystyle m}$

${\ Displaystyle {P} = \ esquerda [{\ begin {matriz} {T} & \ mathbf {T} ^ {0} \\\ mathbf {0} & 1 \ final {matriz}} \ direita],}$

onde é uma matriz e . A matriz de transição é caracterizada inteiramente por seu bloco de canto superior esquerdo . ${\ Displaystyle {T}}$${\ M \ displaystyle vezes m}$${\ Displaystyle \ mathbf {T} ^ {0} + {T} \ mathbf {1} = \ mathbf {1}}$${\ Displaystyle {T}}$

Definição. Um na distribuição é uma distribuição de tipo fase discreta que seja a distribuição do primeiro tempo de passagem para o estado de absorção de uma cadeia de Markov de terminação com um número finito de estados. ${\ Displaystyle \ {0,1,2, ... \}}$

Caracterização

Fixar uma cadeia de Markov de terminação. Denotam o bloco de canto superior esquerdo da sua matriz de transição e a distribuição inicial. A distribuição da primeira vez para o estado absorvente é denotado ou . ${\ Displaystyle {T}}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ mathrm {PH} _ {d} ({\ boldsymbol {\ tau}}, {t})}$${\ Displaystyle \ mathrm {DPH} ({\ boldsymbol {\ tau}}, {t})}$

Sua função de distribuição cumulativa é

${\ Displaystyle F (k) = 1 - {\ boldsymbol {\ tau}} {T} ^ k} {\ mathbf {1},}$

para , e a sua função é a densidade ${\ Displaystyle k = 0,1,2, ...}$

${\ Displaystyle F (k) = {\ boldsymbol {\ tau}} {T} ^ {k-1} \ mathbf {T ^ {0}},}$

para . Assume-se a probabilidade de partida processo no estado absorvente é zero. Os momentos fatorial da função de distribuição são dadas por, ${\ Displaystyle k = 1,2, ...}$

${\ Displaystyle E [K (K-1) ... (K-n + 1)] = n {\ boldsymbol {\ tau}} (I- {T}) ^ {- n} {T} ^ { n-1} \ mathbf {1},}$

onde representa a dimensão apropriada matriz identidade . ${\ Displaystyle I}$

Casos especiais

Da mesma maneira que a distribuição do tempo contínuo é uma generalização da distribuição exponencial, a distribuição do tempo discreto é uma generalização da distribuição geométrica, por exemplo:

• Distribuição degenerada , ponto de massa em zero ou o vazio de distribuição do tipo de fase - 0 fases.
• Distribuição geométrica - uma fase.
• Distribuição binomial negativo - duas ou mais fases idênticas em sequência.
• Misturado Distribuição por geométricos duas ou mais fases não-idênticos, que cada um tem uma probabilidade de ocorrência de uma forma mutuamente exclusiva, ou em paralelo, forma. Este é o análogo discreto da distribuição Hyperexponential , mas não é chamado de distribuição Hipergeométrica , uma vez que o nome está em uso para um tipo totalmente diferente de distribuição discreta.

Veja também

• distribuição do tipo fase
• enfileiramento modelo
• teoria das filas

Referências

• MF neuts. Matrix-geométricas Soluções em modelos estocásticos: uma abordagem algorítmica, capítulo 2: Distribuições de Probabilidade de tipo de fase; Dover Publications Inc., 1981.
• G. Latouche, V. Ramaswami. Introdução à Matrix Métodos Analíticos em Modelagem Estocástica , 1ª edição. Capítulo 2: Distribuições PH; ASA SIAM, 1999.