Álgebra de Heyting completa - Complete Heyting algebra

Em matemática , especialmente na teoria da ordem , uma álgebra de Heyting completa é uma álgebra de Heyting que é completa como uma rede . As álgebras de Heyting completas são objetos de três categorias diferentes ; a categoria CHey , a categoria Loc de locales , e seu oposto , a categoria Frm de frames. Embora essas três categorias contenham os mesmos objetos, elas diferem em seus morfismos e, portanto, recebem nomes distintos. Apenas os morfismos de CHey são homomorfismos de álgebras de Heyting completas.

Os locais e os quadros formam a base da topologia sem sentido , que, em vez de se basear na topologia de conjunto de pontos , reformula as idéias da topologia geral em termos categóricos, como declarações sobre os quadros e os locais.

Definição

Considere um conjunto parcialmente ordenado ( P , ≤) que é uma rede completa . Então P é uma álgebra de Heyting completa ou quadro se qualquer uma das seguintes condições equivalentes se mantiver:

• P é uma álgebra Heyting, ou seja, a operação tem um adjunto direito (também chamado o adjunto inferior de um (monótona) conexão de Galois ), para cada elemento X de P . ${\ displaystyle (x \ land \ cdot)}$

• Para todos os elementos x de P e todos os subconjuntos S de P , a seguinte lei de distributividade infinita é válida:

${\ displaystyle x \ land \ bigvee _ {s \ in S} s = \ bigvee _ {s \ in S} (x \ land s).}$

• P é uma rede distributiva, ou seja, para todos os x , y e z em P , temos

${\ displaystyle x \ land (y \ lor z) = (x \ land y) \ lor (x \ land z)}$

e as operações meet são Scott contínua (isto é, preservar a suprema do conjunto direcionado ) para todos os x em P . ${\ displaystyle (x \ land \ cdot)}$

A definição implícita da implicação de Heyting é ${\ displaystyle a \ to b = \ bigvee \ {c | a \ land c \ leq b \}.}$

Usando um pouco mais da teoria das categorias, podemos definir equivalentemente um quadro como um poset fechado cartesiano cocompleto .

Exemplos

O sistema de todos os conjuntos abertos de um determinado espaço topológico ordenado por inclusão é uma álgebra de Heyting completa.

Quadros e locais

Os objetos da categoria CHey , a categoria Frm de frames e a categoria Loc of locales são álgebras de Heyting completas. Essas categorias diferem no que constitui um morfismo :

• Os morfismos de Frm são funções (necessariamente monótonas ) que preservam encontros finitos e junções arbitrárias.

• A definição de álgebras de Heyting envolve crucialmente a existência de adjuntos certos para a operação binária encontrar, que juntos definem uma operação de implicação adicional . Assim, os morfismos de CHey são morfismos de quadros que além disso preservam a implicação.

• Os morfismos de Loc são opostos aos de Frm e são geralmente chamados de mapas (de locais).

A relação de locais e seus mapas com espaços topológicos e funções contínuas pode ser vista como segue. Deixe ser qualquer mapa. Os conjuntos de potências P ( X ) e P ( Y ) são álgebras booleanas completas e o mapa é um homomorfismo de álgebras booleanas completas. Suponhamos que os espaços X e Y são espaços topológicos , dotados com a topologia Ó ( X ) e O ( Y ) de conjuntos abertos em X e Y . Observe que O ( X ) e O ( Y ) são subtramas de P ( X ) e P ( Y ). Se for uma função contínua, preserva encontros finitos e junções arbitrárias desses subtramas. Isso mostra que O é um functor da categoria Top de espaços topológicos para Loc , tomando qualquer mapa contínuo ${\ displaystyle f: X \ a Y}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}: P (Y) \ a P (X)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}: O (Y) \ para O (X)}$

${\ displaystyle f: X \ a Y}$

para o mapa

${\ displaystyle O (f): O (X) \ to O (Y)}$

em Loc que é definido em Frm como sendo o homomorfismo inverso do quadro da imagem

${\ displaystyle f ^ {- 1}: O (Y) \ a O (X).}$

Dado um mapa de localidades em Loc , é comum escrever para o homomorfismo de quadro que o define em Frm . Usando esta notação, é definido pela equação ${\ displaystyle f: A \ to B}$${\ displaystyle f ^ {*}: B \ a A}$${\ displaystyle O (f)}$${\ displaystyle O (f) ^ {*} = f ^ {- 1}.}$

Por outro lado, qualquer localidade A tem um espaço topológico S ( A ), chamado de espectro , que melhor se aproxima do local. Além disso, qualquer mapa de localidades determina um mapa contínuo. Além disso, esta atribuição é funcional: deixando P (1) denotar a localidade que é obtida como o conjunto de potência do conjunto de terminais, os pontos de S ( A ) são os mapas em Loc , ou seja, , os homomorfismos de frame ${\ displaystyle f: A \ to B}$${\ displaystyle S (A) \ a S (B).}$${\ displaystyle 1 = \ {* \},}$${\ displaystyle p: P (1) \ a A}$${\ displaystyle p ^ {*}: A \ a P (1).}$

Para cada um definimos como o conjunto de pontos tal que é fácil verificar que este define um homomorfismo de quadro cuja imagem é, portanto, uma topologia em S ( A ). Então, se é um mapa dos locais, para cada ponto de nós designamos o ponto definido por deixar ser a composição do com , consequentemente, a obtenção de um mapa contínuo Isto define um functor de Loc de Topo , que é adjunta direito de S . ${\ displaystyle a \ in A}$${\ displaystyle U_ {a}}$${\ displaystyle p \ in S (A)}$${\ displaystyle p ^ {*} (a) = \ {* \}.}$${\ displaystyle A \ a P (S (A)),}$${\ displaystyle f: A \ to B}$${\ displaystyle p \ in S (A)}$${\ displaystyle S (f) (q)}$${\ displaystyle S (f) (p) ^ {*}}$${\ displaystyle p ^ {*}}$${\ displaystyle f ^ {*},}$${\ displaystyle S (f): S (A) \ a S (B).}$${\ displaystyle S}$

Qualquer localidade isomórfica à topologia de seu espectro é denominado espacial , e qualquer espaço topológico homeomórfico ao espectro de sua localidade de conjuntos abertos é denominado sóbrio . A adjunção entre espaços topológicos e locais restringe-se a uma equivalência de categorias entre espaços sóbrios e locais espaciais.

Qualquer função que preserva todas as junções (e, portanto, qualquer homomorfismo de quadro) tem um adjunto à direita e, inversamente, qualquer função que preserva todas as conexões tem um adjunto à esquerda. Conseqüentemente, a categoria Loc é isomórfica à categoria cujos objetos são os quadros e cujos morfismos são as funções de preservação de encontro cujas junções esquerdas preservam encontros finitos. Isso é frequentemente considerado uma representação de Loc , mas não deve ser confundido com o próprio Loc , cujos morfismos são formalmente iguais aos homomorfismos de quadro na direção oposta.

Literatura

• PT Johnstone , Stone Spaces , Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3, Cambridge University Press , Cambridge, 1982. ( ISBN   0-521-23893-5 )

Ainda é um ótimo recurso sobre localidades e álgebras de Heyting completas.

• G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove e DS Scott , Continuous Lattices and Domains , In Encyclopedia of Mathematics and its Applications , Vol. 93, Cambridge University Press, 2003. ISBN   0-521-80338-1

Inclui a caracterização em termos de continuidade de atendimento.

• Francis Borceux: Handbook of Categorical Algebra III , volume 52 da Encyclopedia of Mathematics and its Applications . Cambridge University Press, 1994.

Recursos surpreendentemente extensos sobre localidades e álgebras de Heyting. Assume um ponto de vista mais categórico.

• Steven Vickers , Topology via logic , Cambridge University Press, 1989, ISBN   0-521-36062-5 .

• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundações categóricas. Tópicos especiais em ordem, topologia, álgebra e teoria de feixe . Enciclopédia de matemática e suas aplicações. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN   0-521-83414-7 . Zbl   1034.18001 .

links externos

• Local em nLab