Problema de Cauchy - Cauchy problem

Um problema de Cauchy em matemática pede a solução de uma equação diferencial parcial que satisfaça certas condições que são dadas em uma hipersuperfície no domínio. Um problema de Cauchy pode ser um problema de valor inicial ou um problema de valor de contorno (para esse caso, consulte também a condição de contorno de Cauchy ). Tem o nome de Augustin-Louis Cauchy .

Declaração formal

Para uma equação diferencial parcial definida em R ^{n + 1} e uma variedade suave S ⊂ R ^{n + 1} de dimensão n ( S é chamada de superfície de Cauchy ), o problema de Cauchy consiste em encontrar as funções desconhecidas da equação diferencial em relação ao variáveis independentes que satisfazem ${\ displaystyle u_ {1}, \ dots, u_ {N}}$ ${\ displaystyle t, x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} & {\ frac {\ parcial ^ {n_ {i}} u_ {i}} {\ parcial t ^ {n_ {i}}}} = F_ {i} \ left (t , x_ {1}, \ pontos, x_ {n}, u_ {1}, \ pontos, u_ {N}, \ pontos, {\ frac {\ parcial ^ {k} u_ {j}} {\ parcial t ^ {k_ {0}} \ parcial x_ {1} ^ {k_ {1}} \ pontos \ parcial x_ {n} ^ {k_ {n}}}}, \ pontos \ direita) \\ & {\ texto {para }} i, j = 1,2, \ dots, N; \, k_ {0} + k_ {1} + \ dots + k_ {n} = k \ leq n_ {j}; \, k_ {0} < n_ {j} \ end {alinhado}}}

sujeito à condição, para algum valor , ${\ displaystyle t = t_ {0}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {k} u_ {i}} {\ partial t ^ {k}}} = \ phi _ {i} ^ {(k)} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ quad {\ text {para}} k = 0,1,2, \ pontos, n_ {i} -1}

onde são dadas funções definidas na superfície (conhecidas coletivamente como os dados de Cauchy do problema). A derivada de ordem zero significa que a própria função é especificada. ${\ displaystyle \ phi _ {i} ^ {(k)} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle S}$

Teorema de Cauchy-Kowalevski

O teorema de Cauchy-Kowalevski afirma que se todas as funções são analíticas em alguma vizinhança do ponto , e se todas as funções são analíticas em alguma vizinhança do ponto , então o problema de Cauchy tem uma solução analítica única em alguma vizinhança do ponto ${\ displaystyle F_ {i}}$ ${\ displaystyle (t ^ {0}, x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0}, \ dots, \ phi _ {j, k_ {0}, k_ {1}, \ dots, k_ {n}} ^ {0}, \ pontos)}$ ${\ displaystyle \ phi _ {j} ^ {(k)}}$ ${\ displaystyle (x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0}, \ dots, x_ {n} ^ {0})}$ ${\ displaystyle (t ^ {0}, x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0}, \ dots, x_ {n} ^ {0})}$ .