Bondi k -calculus -Bondi k-calculus

Bondi k -calculus é um método de ensino da relatividade especial popularizado por Sir Hermann Bondi , que tem sido usado em aulas de física de nível universitário (por exemplo, na Universidade de Oxford) e em alguns livros didáticos de relatividade.

A utilidade do k -calculus é a sua simplicidade. Muitas introduções à relatividade começam com o conceito de velocidade e uma derivação da transformação de Lorentz . Outros conceitos como dilatação do tempo , contração do comprimento , relatividade da simultaneidade , resolução do paradoxo dos gêmeos e efeito Doppler relativístico são derivados da transformação de Lorentz, todos como funções da velocidade.

Bondi, em seu livro Relativity and Common Sense , publicado pela primeira vez em 1964 e baseado em artigos publicados no The Illustrated London News em 1962, inverte a ordem de apresentação. Ele começa com o que chama de "uma proporção fundamental" denotada pela letra (que acaba sendo o fator Doppler radial). A partir disso, ele explica o paradoxo dos gêmeos e a relatividade da simultaneidade, dilatação do tempo e contração do comprimento, tudo em termos de . Só mais tarde na exposição ele fornece uma ligação entre a velocidade e a razão fundamental . A transformação de Lorentz aparece no final do livro. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$

História

O método k- calculus havia sido usado anteriormente por EA Milne em 1935. Milne usou a letra para denotar um fator Doppler constante, mas também considerou um caso mais geral envolvendo movimento não inercial (e, portanto, um fator Doppler variável). Bondi usou a letra em vez de e simplificou a apresentação ( apenas para a constante ), e introduziu o nome " k -calculus". ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle k}$

De Bondi k factor

Considere dois observadores inerciais, Alice e Bob, afastando-se diretamente um do outro a uma velocidade relativa constante. Alice envia um flash de luz azul para Bob uma vez a cada segundo, medido por seu próprio relógio. Como Alice e Bob estão separados por uma distância, há um atraso entre Alice enviar um flash e Bob receber um flash. Além disso, a distância de separação está aumentando continuamente a uma taxa constante, de modo que o atraso continua aumentando. Isso significa que o intervalo de tempo entre Bob receber os flashes, medido por seu relógio, é maior do que segundos, digamos segundos para alguma constante . (Se Alice e Bob estivessem, em vez disso, movendo-se diretamente em direção um ao outro, um argumento semelhante se aplicaria, mas nesse caso .) ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle kT}$${\ displaystyle k> 1}$${\ displaystyle k <1}$

Bondi descreve como “uma razão fundamental”, e outros autores, desde então, o chamaram de “ fator k de Bondi ” ou “ fator k de Bondi ”. ${\ displaystyle k}$

Os flashes de Alice são transmitidos na frequência Hz, pelo relógio dela, e recebidos por Bob na frequência Hz, pelo relógio dele. Isso implica um fator Doppler de . Portanto, o fator k de Bondi é outro nome para o fator Doppler (quando a fonte Alice e o observador Bob estão se movendo diretamente para longe ou em direção um ao outro). ${\ displaystyle f_ {s} = 1 / T}$${\ displaystyle f_ {o} = 1 / (kT)}$${\ displaystyle f_ {s} / f_ {o} = k}$

Se Alice e Bob trocassem de papéis, e Bob enviasse flashes de luz para Alice, o Princípio da Relatividade (o primeiro postulado de Einstein) implica que o fator k de Bob para Alice teria o mesmo valor que o fator k de Alice para Bob, como todos os observadores inerciais são equivalentes. Portanto, o fator k depende apenas da velocidade relativa entre os observadores e nada mais.  

O fator k recíproco

Considere, agora, um terceiro observador inercial, Dave, que está a uma distância fixa de Alice, e tal que Bob está na linha reta entre Alice e Dave. Como Alice e Dave estão em repouso mutuamente, o atraso de Alice para Dave é constante. Isso significa que Dave recebe os flashes azuis de Alice a uma taxa de uma vez a cada segundos, por seu relógio, a mesma taxa que Alice os envia. Em outras palavras, o fator k de Alice para Dave é igual a um. ${\ displaystyle T}$

Agora, suponha que sempre que Bob recebe um flash azul de Alice, ele imediatamente envia seu próprio flash vermelho para Dave, uma vez a cada segundo (pelo relógio de Bob). O segundo postulado de Einstein, de que a velocidade da luz é independente do movimento de sua fonte, implica que o flash azul de Alice e o flash vermelho de Bob viajam na mesma velocidade, nenhum ultrapassando o outro e, portanto, chegam a Dave ao mesmo tempo. Assim, Dave recebe um flash vermelho de Bob a cada segundo, pelo relógio de Dave, que foi enviado por Bob a cada segundo pelo relógio de Bob. Isso implica que o fator k de Bob para Dave é . ${\ displaystyle kT}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle kT}$${\ displaystyle 1 / k}$

Isso estabelece que o fator k para observadores que se afastam diretamente (desvio para o vermelho) é o recíproco do fator k para observadores que se movem diretamente um em direção ao outro na mesma velocidade (desvio para o azul).  

O paradoxo dos gêmeos

Considere, agora, uma quarta observadora inercial, Carol, que viaja de Dave a Alice exatamente na mesma velocidade que Bob viaja de Alice a Dave. A jornada de Carol é cronometrada de forma que ela deixa Dave exatamente ao mesmo tempo que Bob chega. Denote os tempos registrados pelos relógios de Alice, Bob e Carol por . ${\ displaystyle t_ {A}, t_ {B}, t_ {C}}$

Quando Bob passa por Alice, os dois sincronizam seus relógios com . Quando Carol passa por Bob, ela sincroniza seu relógio com o de Bob ,. Finalmente, quando Carol passa por Alice, eles comparam seus relógios. Na física newtoniana, a expectativa seria que, na comparação final, o relógio de Alice e Carol concordasse ,. Será mostrado abaixo que na relatividade isso não é verdade. Esta é uma versão do conhecido " paradoxo dos gêmeos ", em que gêmeos idênticos se separam e se reúnem, apenas para descobrir que um é agora mais velho que o outro. ${\ displaystyle t_ {A} = t_ {B} = 0}$${\ displaystyle t_ {C} = t_ {B}}$${\ displaystyle t_ {C} = t_ {A}}$

Se Alice enviar um flash de luz na hora para Bob, então, pela definição do fator k , ele será recebido por Bob na hora . O flash é cronometrado de modo que chegue a Bob no momento em que Bob encontra Carol, então Carol sincroniza seu relógio para ler . ${\ displaystyle t_ {A} = T}$${\ displaystyle t_ {B} = kT}$${\ displaystyle t_ {C} = t_ {B} = kT}$

Além disso, quando Bob e Carol se encontram, os dois enviam simultaneamente flashes para Alice, que são recebidos simultaneamente por Alice. Considerando, primeiro, o flash de Bob, enviado em time , ele deve ser recebido por Alice em time , usando o fato de que o fator k de Alice para Bob é o mesmo que o fator k de Bob para Alice. ${\ displaystyle t_ {B} = kT}$${\ displaystyle t_ {A} = k ^ {2} T}$

Como a viagem de ida de Bob teve uma duração de , por seu relógio, segue por simetria que a viagem de retorno de Carol na mesma distância e na mesma velocidade também deve ter uma duração de , por seu relógio e, portanto, quando Carol encontra Alice, o relógio de Carol marca . O fator k para este trecho da viagem deve ser o recíproco (como discutido anteriormente), portanto, considerando o flash de Carol em direção a Alice, um intervalo de transmissão de corresponde a um intervalo de recepção de . Isso significa que o tempo final no relógio de Alice, quando Carol e Alice se encontram, é . Isso é maior do que a hora do relógio de Carol desde ${\ displaystyle kT}$${\ displaystyle kT}$${\ displaystyle t_ {C} = 2kT}$${\ displaystyle 1 / k}$${\ displaystyle kT}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle t_ {A} = (k ^ {2} +1) T}$${\ displaystyle t_ {C} = 2kT}$

${\ displaystyle t_ {A} -t_ {C} = (k ^ {2} -2k + 1) T = (k-1) ^ {2} T> 0,}$

fornecido e .   ${\ displaystyle k \ neq 1}$${\ displaystyle T> 0}$

Medidas de radar e velocidade

Na metodologia k -calculus, as distâncias são medidas por radar . Um observador envia um pulso de radar em direção a um alvo e recebe um eco dele. O pulso do radar (que viaja na velocidade da luz) percorre uma distância total, ida e volta, que é o dobro da distância até o alvo, e leva tempo , onde e são os tempos registrados pelo relógio do observador na transmissão e recepção do pulso de radar. Isso implica que a distância até o alvo é ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle T_ {2} -T_ {1}}$${\ displaystyle T_ {1}}$${\ displaystyle T_ {2}}$

${\ displaystyle x_ {A} = {\ tfrac {1} {2}} c (T_ {2} -T_ {1}).}$

Além disso, uma vez que a velocidade da luz é a mesma nas duas direções, o momento em que o pulso do radar chega ao alvo deve estar, segundo o observador, a meio caminho entre os tempos de transmissão e recepção, nomeadamente

${\ displaystyle t_ {A} = {\ tfrac {1} {2}} (T_ {2} + T_ {1}).}$

No caso particular em que o observador de radar é Alice e o alvo é Bob (momentaneamente co-localizado com Dave), conforme descrito anteriormente, por k -calculus temos , e assim ${\ displaystyle T_ {2} = k ^ {2} T_ {1}}$

${\ displaystyle x_ {A} = {\ tfrac {1} {2}} c (k ^ {2} -1) T_ {1}}$

${\ displaystyle t_ {A} = {\ tfrac {1} {2}} (k ^ {2} +1) T_ {1}.}$

Como Alice e Bob estavam co-localizados em , a velocidade de Bob em relação a Alice é dada por ${\ displaystyle t_ {A} = 0, x_ {A} = 0}$

${\ displaystyle v = {\ frac {x_ {A}} {t_ {A}}} = {\ frac {{\ tfrac {1} {2}} c (k ^ {2} -1) T_ {1} } {{\ tfrac {1} {2}} (k ^ {2} +1) T_ {1}}} = c {\ frac {k ^ {2} -1} {k ^ {2} +1} } = c {\ frac {kk ^ {- 1}} {k + k ^ {- 1}}}.}$

Esta equação expressa a velocidade como uma função do fator k de Bondi . Pode ser resolvido para dar em função de : ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle k = {\ sqrt {\ frac {1 + v / c} {1-v / c}}}.}$

Composição de velocidade

Considere três observadores inerciais, Alice, Bob e Ed, dispostos nessa ordem e movendo-se em velocidades diferentes ao longo da mesma linha reta. Nesta seção, a notação será usada para denotar o fator k de Alice a Bob (e da mesma forma entre outros pares de observadores). ${\ displaystyle k_ {AB}}$

Como antes, Alice envia um flash azul para Bob e Ed a cada segundo, pelo relógio dela, que Bob recebe a cada segundo, pelo relógio de Bob, e Ed recebe a cada segundo, pelo relógio de Ed. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle k_ {AB} T}$${\ displaystyle k_ {AE} T}$

Agora, suponha que sempre que Bob recebe um flash azul de Alice, ele imediatamente envia seu próprio flash vermelho para Ed, uma vez a cada segundo pelo relógio de Bob, então Ed recebe um flash vermelho de Bob a cada segundo, pelo relógio de Ed. O segundo postulado de Einstein, de que a velocidade da luz é independente do movimento de sua fonte, implica que o flash azul de Alice e o flash vermelho de Bob viajam na mesma velocidade, nenhum ultrapassando o outro e, portanto, chegam a Ed ao mesmo tempo. Portanto, conforme medido por Ed, o intervalo do flash vermelho e o intervalo do flash azul devem ser iguais. Portanto, a regra para combinar fatores- k é simplesmente multiplicação: ${\ displaystyle k_ {AB} T}$${\ displaystyle k_ {BE} (k_ {AB} T)}$${\ displaystyle k_ {BE} (k_ {AB} T)}$${\ displaystyle k_ {AE} T}$

${\ displaystyle k_ {AE} = k_ {AB} k_ {BE}.}$

Finalmente, substituindo

${\ displaystyle k_ {AB} = {\ sqrt {\ frac {1 + v_ {AB} / c} {1-v_ {AB} / c}}}, \, k_ {BE} = {\ sqrt {\ frac {1 + v_ {BE} / c} {1-v_ {BE} / c}}}, \, v_ {AE} = c {\ frac {k_ {AE} ^ {2} -1} {k_ {AE } ^ {2} +1}}}$

dá a fórmula de composição de velocidade

${\ displaystyle v_ {AE} = {\ frac {v_ {AB} + v_ {BE}} {1 + v_ {AB} v_ {BE} / c ^ {2}}}.}$

O intervalo invariável

Usando o método de radar descrito anteriormente, a observadora inercial Alice atribui coordenadas a um evento transmitindo um pulso de radar no tempo e recebendo seu eco no tempo , medido por seu relógio. ${\ displaystyle (t_ {A}, x_ {A})}$${\ displaystyle t_ {A} -x_ {A} / c}$${\ displaystyle t_ {A} + x_ {A} / c}$

Da mesma forma, o observador inercial Bob pode atribuir coordenadas ao mesmo evento, transmitindo um pulso de radar em uma hora e recebendo seu eco na hora , conforme medido por seu relógio. No entanto, como mostra o diagrama, não é necessário que Bob gere seu próprio sinal de radar, pois ele pode simplesmente obter as temporizações do sinal de Alice. ${\ displaystyle (t_ {B}, x_ {B})}$${\ displaystyle t_ {B} -x_ {B} / c}$${\ displaystyle t_ {B} + x_ {B} / c}$

Agora, aplicando o método k -calculus ao sinal que viaja de Alice para Bob

${\ displaystyle k = {\ frac {t_ {B} -x_ {B} / c} {t_ {A} -x_ {A} / c}}.}$

Da mesma forma, aplicando o método k -calculus ao sinal que viaja de Bob para Alice

${\ displaystyle k = {\ frac {t_ {A} + x_ {A} / c} {t_ {B} + x_ {B} / c}}.}$

Equacionando as duas expressões para e reorganizando, ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle c ^ {2} t_ {A} ^ {2} -x_ {A} ^ {2} = c ^ {2} t_ {B} ^ {2} -x_ {B} ^ {2}.}$

Isso estabelece que a quantidade é invariante: ela assume o mesmo valor em qualquer sistema de coordenadas inerciais e é conhecido como intervalo invariante . ${\ displaystyle c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2}}$

A transformação de Lorentz

As duas equações da seção anterior podem ser resolvidas como equações simultâneas para obter: ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle ct_ {B} = {\ tfrac {1} {2}} (k + k ^ {- 1}) ct_ {A} - {\ tfrac {1} {2}} (kk ^ {- 1} ) x_ {A}}$

${\ displaystyle x_ {B} = {\ tfrac {1} {2}} (k + k ^ {- 1}) x_ {A} - {\ tfrac {1} {2}} (kk ^ {- 1} ) ct_ {A}}$

Essas equações são a transformação de Lorentz expressa em termos do fator Bondi k em vez de em termos de velocidade. Substituindo

${\ displaystyle k = {\ sqrt {\ frac {1 + v / c} {1-v / c}}},}$

a forma mais tradicional

${\ displaystyle t_ {B} = {\ frac {t_ {A} -vx_ {A} / c ^ {2}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}; \ , x_ {B} = {\ frac {x_ {A} -vt_ {A}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}}$

é obtido.

Rapidez

A rapidez pode ser definida a partir do fator k por ${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ varphi = \ log _ {e} k, \, k = e ^ {\ varphi},}$

e entao

${\ displaystyle v = c {\ frac {kk ^ {- 1}} {k + k ^ {- 1}}} = c \ tanh \ varphi.}$

A versão do fator k da transformada de Lorentz torna-se

${\ displaystyle ct_ {B} = ct_ {A} \ cosh \ varphi -x_ {A} \ sinh \ varphi}$

${\ displaystyle x_ {B} = x_ {A} \ cosh \ varphi -ct_ {A} \ sinh \ varphi}$

Resulta da regra de composição para , , que a regra de composição para rapidities é disso: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k_ {AE} = k_ {AB} k_ {BE}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {AE} = \ varphi _ {AB} + \ varphi _ {BE}.}$

Referências

links externos

• Revisão de Bondi k-Calculus