Transformada de Belinski-Zakharov - Belinski–Zakharov transform

A transformada de Belinski-Zakharov (inversa) é uma transformação não linear que gera novas soluções exatas da equação de campo de Einstein do vácuo . Foi desenvolvido por Vladimir Belinski e Vladimir Zakharov em 1978. A transformada de Belinski-Zakharov é uma generalização da transformada de espalhamento inversa . As soluções produzidas por essa transformação são chamadas de solitons gravitacionais (gravisolitons). Apesar do termo 'solitão' ser usado para descrever os solitons gravitacionais, seu comportamento é muito diferente de outros solitons (clássicos). Em particular, os solitons gravitacionais não preservam sua amplitude e forma no tempo, e até junho de 2012 sua interpretação geral permanece desconhecida. O que se sabe, entretanto, é que a maioria dos buracos negros (e particularmente a métrica Schwarzschild e a métrica Kerr ) são casos especiais de solitons gravitacionais.

Introdução

A transformação de Belinski-Zakharov funciona para intervalos de espaço-tempo da forma

${\ displaystyle ds ^ {2} = f (-d (x ^ {0}) ^ {2} + d (x ^ {1}) ^ {2}) + g_ {ab} \, dx ^ {a} \, dx ^ {b}}$

onde usamos convenção somatório de Einstein para . Supõe-se que tanto a função quanto a matriz dependem das coordenadas e somente. Apesar de ser uma forma específica do intervalo de espaço-tempo que depende apenas de duas variáveis, que inclui um grande número de soluções interessantes de casos especiais, tais como a métrica de Schwarzschild , a Kerr métrica , Einstein-Rosen métrica , e muitos outros. ${\ displaystyle a, b = 2,3}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g = g_ {ab}}$${\ displaystyle x ^ {0}}$${\ displaystyle x ^ {1}}$

Nesse caso, a equação do vácuo de Einstein se decompõe em dois conjuntos de equações para a matriz e a função . Usando coordenadas de cone de luz , a primeira equação para a matriz é ${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = 0}$${\ displaystyle g = g_ {ab}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ zeta = x ^ {0} + x ^ {1}, \ eta = x ^ {0} -x ^ {1}}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle (\ alpha g _ {, \ zeta} g ^ {- 1}) _ {, \ eta} + (\ alpha g _ {, \ eta} g ^ {- 1}) _ {, \ zeta} = 0 }$

onde é a raiz quadrada do determinante de , a saber ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle \ det g = \ alpha ^ {2}}$

O segundo conjunto de equações é

${\ displaystyle (\ ln f) _ {, \ zeta} = {\ frac {(\ ln \ alpha) _ {, \ zeta \ zeta}} {(\ ln \ alpha) _ {, \ zeta}}} + {\ frac {\ alpha} {4 \ alpha _ {, \ zeta}}} \ operatorname {tr} (g _ {, \ zeta} g ^ {- 1} g _ {, \ zeta} g ^ {- 1}) }$

${\ displaystyle (\ ln f) _ {, \ eta} = {\ frac {(\ ln \ alpha) _ {, \ eta \ eta}} {(\ ln \ alpha) _ {, \ eta}}} + {\ frac {\ alpha} {4 \ alpha _ {, \ eta}}} \ operatorname {tr} (g _ {, \ eta} g ^ {- 1} g _ {, \ eta} g ^ {- 1}) }$

Tomando o traço da equação da matriz para revela que de fato satisfaz a equação de onda ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ alpha _ {, \ zeta \ eta} = 0}$

O par relaxado

Considere os operadores lineares definidos por ${\ displaystyle D_ {1}, D_ {2}}$

${\ displaystyle D_ {1} = \ partial _ {\ zeta} + {\ frac {2 \ alpha _ {, \ zeta} \ lambda} {\ lambda - \ alpha}} \ partial _ {\ lambda}}$

${\ displaystyle D_ {2} = \ partial _ {\ eta} - {\ frac {2 \ alpha _ {, \ eta} \ lambda} {\ lambda + \ alpha}} \ partial _ {\ lambda}}$

onde é um parâmetro espectral complexo auxiliar. Um cálculo simples mostra que, uma vez que satisfaz a equação de onda ,. Este par de operadores comuta, este é o par Lax . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ left [D_ {1}, D_ {2} \ right] = 0}$

A essência por trás da transformada de espalhamento inversa é reescrever a equação não linear de Einstein como um sistema de equação linear sobredeterminado para uma nova função de matriz . Considere as equações de Belinski-Zakharov: ${\ displaystyle \ psi = \ psi (\ zeta, \ eta, \ lambda)}$

${\ displaystyle D_ {1} \ psi = {\ frac {A} {\ lambda - \ alpha}} \ psi}$

${\ displaystyle D_ {2} \ psi = {\ frac {B} {\ lambda + \ alpha}} \ psi}$

Operando no lado esquerdo da primeira equação com e no lado esquerdo da segunda equação com e subtraindo os resultados, o lado esquerdo desaparece como resultado da comutatividade de e . Quanto ao lado direito, um breve cálculo mostra que, de fato, ele também desaparece precisamente quando satisfaz a equação de Einstein da matriz não linear. ${\ displaystyle D_ {2}}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle D_ {2}}$${\ displaystyle g}$

Isso significa que as equações lineares sobredeterminadas de Belinski-Zakharov podem ser resolvidas simultaneamente exatamente quando a equação da matriz não linear é resolvida . Na verdade, pode-se restaurar facilmente a função com valor de matriz por um processo de limitação simples. Tomando o limite nas equações de Belinski-Zakharov e multiplicando por da direita resulta ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ lambda \ rightarrow 0}$${\ displaystyle \ psi ^ {- 1}}$

${\ displaystyle \ psi _ {, \ zeta} \ psi ^ {- 1} = g _ {, \ zeta} g ^ {- 1}}$

${\ displaystyle \ psi _ {, \ eta} \ psi ^ {- 1} = g _ {, \ eta} g ^ {- 1}}$

Assim, uma solução da equação não linear é obtida a partir de uma solução da equação linear de Belinski-Zakharov por uma avaliação simples ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle g (\ zeta, \ eta) = \ psi (\ zeta, \ eta, 0)}$

Referências