Opção asiática - Asian option

Uma opção asiática (ou opção de valor médio ) é um tipo especial de contrato de opção . Para opções asiáticas, o retorno é determinado pelo preço médio subjacente ao longo de um período de tempo predefinido. Isso é diferente do caso da opção europeia usual e da opção americana , onde o pagamento do contrato de opção depende do preço do instrumento subjacente no exercício; As opções asiáticas são, portanto, uma das formas básicas de opções exóticas . Existem dois tipos de opções asiáticas: exercício fixo, em que o preço médio é usado no lugar do preço subjacente; e preço fixo, onde o preço médio é usado no lugar da greve.

Uma vantagem das opções asiáticas é que reduzem o risco de manipulação do mercado do instrumento subjacente no vencimento. Outra vantagem das opções asiáticas envolve o custo relativo das opções asiáticas em comparação com as opções europeias ou americanas. Por causa do recurso de média, as opções asiáticas reduzem a volatilidade inerente à opção; portanto, as opções asiáticas são geralmente mais baratas do que as opções europeias ou americanas. Isso pode ser uma vantagem para as empresas que estão sujeitas à revisão da Declaração nº 123 do Conselho de Padrões de Contabilidade Financeira , que exigia que as empresas pagassem com opções de ações dos funcionários.

Etimologia

Na década de 1980, Mark Standish estava com o Bankers Trust, com sede em Londres, trabalhando com derivativos de renda fixa e negociação de arbitragem proprietária. David Spaughton trabalhou como analista de sistemas nos mercados financeiros com o Bankers Trust desde 1984, quando o Banco da Inglaterra deu pela primeira vez licenças para bancos fazerem opções de câmbio no mercado de Londres. Em 1987, a Standish and Spaughton estava em Tóquio a negócios quando "desenvolveram a primeira fórmula de precificação usada comercialmente para opções vinculadas ao preço médio do petróleo bruto". Eles chamaram essa opção exótica de opção asiática porque estavam na Ásia.

Permutações de opção asiática

Existem inúmeras permutações de opções asiáticas; os mais básicos estão listados abaixo:

• Corrigido greve (também conhecido como uma taxa média) Asiática chamada payout

${\ displaystyle C (T) = {\ text {max}} \ left (A (0, T) -K, 0 \ right),}$

onde A denota o preço médio para o período [0, T] e K é o preço de exercício. A opção de venda equivalente é fornecida por

${\ displaystyle P (T) = {\ text {max}} \ left (KA (0, T), 0 \ right).}$

• A opção de compra asiática de strike flutuante (ou taxa flutuante) tem o pagamento

${\ displaystyle C (T) = {\ text {max}} \ left (S (T) -kA (0, T), 0 \ right),}$

onde S (T) é o preço no vencimento ek é uma ponderação, geralmente 1 tantas vezes omitido das descrições. O pagamento da opção de venda equivalente é dado por

${\ displaystyle P (T) = {\ text {max}} \ left (kA (0, T) -S (T), 0 \ right).}$

Tipos de média

A média pode ser obtida de várias maneiras. Convencionalmente, isso significa uma média aritmética . No caso contínuo , isso é obtido por ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A (0, T) = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} S (t) dt.}$

Para o caso de monitoramento discreto (com monitoramento nas horas e ) temos a média dada por ${\ displaystyle 0 = t_ {0}, t_ {1}, t_ {2}, \ dots, t_ {n} = T}$${\ displaystyle t_ {i} = i \ cdot {\ frac {T} {n}}}$

${\ displaystyle A (0, T) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} S (t_ {i}).}$

Também existem opções asiáticas com média geométrica ; no caso contínuo, isso é dado por

${\ displaystyle A (0, T) = \ exp \ left ({\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} \ ln (S (t)) dt \ right).}$

Preços de opções asiáticas

Uma discussão do problema de precificação de opções asiáticas com métodos de Monte Carlo é fornecida em um artigo de Kemna e Vorst.

Na abordagem integral do caminho para precificação de opções, o problema da média geométrica pode ser resolvido por meio do potencial Clássico Efetivo de Feynman e Kleinert .

Rogers e Shi resolvem o problema de preços com uma abordagem PDE.

Um modelo Variance Gamma pode ser implementado com eficiência ao definir preços de opções de estilo asiático. Então, usar a representação da série Bondesson para gerar o processo gama de variância pode aumentar o desempenho computacional do precificador de opção asiática.

Nos modelos Lévy, o problema de precificação das opções geométricas asiáticas ainda pode ser resolvido. Para a opção aritmética asiática nos modelos de Lévy, pode-se confiar em métodos numéricos ou em limites analíticos.

Opções europeias europeias de compra e venda com média geométrica

Podemos derivar uma solução de forma fechada para a opção geométrica asiática; quando usada em conjunto com as variáveis ​​de controle em simulações de Monte Carlo , a fórmula é útil para derivar valores justos para a opção aritmética asiática.

Defina a média geométrica de tempo contínuo como:${\ displaystyle G_ {T}}$

onde o subjacente segue um movimento browniano geométrico padrão . É simples calcular que:${\ displaystyle S (t)}$

$${\ displaystyle G_ {T} = S_ {0} e ^ {{1 \ over {2}} \ left (r- {1 \ over {2}} \ sigma ^ {2} \ right) T} e ^ { {\ sigma \ over {T}} \ int _ {0} ^ {T} (Tt) dW_ {t}}}$$

Para derivar a integral estocástica, que era originalmente , observe que:${\ textstyle {\ sigma \ over {T}} \ int _ {0} ^ {T} W_ {t} dt}$

$${\ displaystyle d [(Tt) W_ {t}] = (Tt) dW_ {t} -W_ {t} dt}$$

Isso pode ser confirmado pelo lema de Itô . Integrando essa expressão e usando o fato de que , descobrimos que as integrais são equivalentes - isso será útil mais tarde na derivação. Usando o preço do martingale , o valor da chamada europeia asiática com média geométrica é dado por:${\ displaystyle W_ {0} = 0}$${\ displaystyle C_ {G}}$

$${\ displaystyle C_ {G} = e ^ {- rT} \ mathbb {E} \ left [(G_ {T} -K) _ {+} \ right] = {e ^ {- rT} \ over {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {\ ell} ^ {\ infty} \ left (G_ {T} -K \ right) e ^ {- x ^ {2} / 2} dx}$$

Para encontrar , devemos descobrir que:${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle x}$

$${\ displaystyle G_ {T} \ geq K \ implica S_ {0} e ^ {{1 \ over {2}} \ left (r- {1 \ over {2}} \ sigma ^ {2} \ right) T } e ^ {{\ sigma \ over {T}} \ int _ {0} ^ {T} (Tt) dW_ {t}} \ geq K}$$

Depois de alguma álgebra, descobrimos que:

$${\ displaystyle {\ sigma \ over {T}} \ int _ {0} ^ {T} (Tt) dW_ {t} \ geq \ log {K \ over {S_ {0}}} - {1 \ over { 2}} \ left (r- {1 \ over {2}} \ sigma ^ {2} \ right) T}$$

Nesse ponto, a integral estocástica é o ponto crítico para encontrar uma solução para esse problema. No entanto, é fácil verificar se a integral é normalmente distribuída como:

$${\ displaystyle {\ sigma \ over {T}} \ int _ {0} ^ {T} (Tt) dW_ {t} \ sim {\ mathcal {N}} \ left (0, \ sigma ^ {2} { T \ over {3}} \ right)}$$

Isso é equivalente a dizer isso com . Portanto, temos que:${\ textstyle {\ sigma \ over {T}} \ int _ {0} ^ {T} (Tt) dW_ {t} = \ sigma {\ sqrt {T \ over {3}}} x}$${\ textstyle x \ sim {\ mathcal {N}} (0,1)}$

$${\ displaystyle x \ geq {\ log {K \ over {S_ {0}}} - {1 \ over {2}} \ left (r- {1 \ over {2}} \ sigma ^ {2} \ right ) T \ over {\ sigma {\ sqrt {T / 3}}}} \ equiv \ ell}$$

Agora é possível calcular o valor da chamada europeia asiática com média geométrica! Neste ponto, é útil definir:

$${\ displaystyle b = {1 \ over {2}} \ left (r- {1 \ over {2}} \ sigma _ {G} ^ {2} \ right), \; \ sigma _ {G} = { \ sigma \ over {\ sqrt {3}}}, \; d_ {1} = {\ log {S_ {0} \ over {K}} + \ left (b + {1 \ over {2}} \ sigma _ {G} ^ {2} \ right) T \ over {\ sigma _ {G} {\ sqrt {T}}}}, \; d_ {2} = d_ {1} - \ sigma _ {G} {\ sqrt {T}}}$$

Passando pelo mesmo processo que é feito com o modelo Black-Scholes , podemos descobrir que:

$${\ displaystyle C_ {G} = S_ {0} e ^ {(br) T} \ Phi (d_ {1}) - Ke ^ {- rT} \ Phi (d_ {2})}$$

Na verdade, analisando os mesmos argumentos para o asiático europeu colocado com a média geométrica , descobrimos que:${\ textstyle P_ {G}}$

$${\ displaystyle P_ {G} = Ke ^ {- rT} \ Phi (-d_ {2}) - S_ {0} e ^ {(br) T} \ Phi (-d_ {1})}$$

Isso implica que existe uma versão de paridade put-call para opções asiáticas europeias com média geométrica:

$${\ displaystyle C_ {G} -P_ {G} = S_ {0} e ^ {(br) T} -Ke ^ {- rT}}$$

Variações da opção asiática

Existem algumas variações que são vendidas no mercado de balcão. Por exemplo, o BNP Paribas introduziu uma variação, denominada opção asiática condicional, em que o preço médio subjacente é baseado em observações de preços acima de um limite pré-especificado. Uma opção de venda asiática condicional tem a recompensa

${\ displaystyle \ max \ left (K - {\ frac {\ int _ {0} ^ {T} S (t) I _ {\ {S (t)> b \}} dt} {\ int _ {0} ^ {T} I _ {\ {S (t)> b \}} dt}}, 0 \ right),}$

onde é o limite e é uma função indicadora que é igual a se for verdadeiro e igual a zero, caso contrário. Essa opção oferece uma alternativa mais barata do que a clássica opção de venda asiática, pois a limitação do intervalo de observações reduz a volatilidade do preço médio. Normalmente é vendido com dinheiro e pode durar até cinco anos. O preço da opção asiática condicional é discutido por Feng e Volkmer. ${\ displaystyle b> 0}$${\ displaystyle I_ {A}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle A}$

Referências

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