Alexander Varchenko - Alexander Varchenko
Alexander Varchenko | |
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| Nascer |
6 de fevereiro de 1949 |
| Alma mater | Universidade Estadual de Moscou (1971) |
| Conhecido por | Teorema de Varchenko |
| Carreira científica | |
| Campos | Matemática |
| Instituições | Universidade da Carolina do Norte |
| Orientador de doutorado | Vladimir Arnold |
Alexander Nikolaevich Varchenko ( Russo : Александр Николаевич Варченко , nascido em 6 de fevereiro de 1949) é um matemático soviético e russo que trabalha com geometria , topologia , combinatória e física matemática .
Fundo
De 1964 a 1966 Varchenko estudou no internato No. 18 de Moscou Kolmogorov para alunos talentosos do ensino médio, onde Andrey Kolmogorov e Ya. A. Smorodinsky dava aulas de matemática e física. Varchenko se formou na Universidade Estadual de Moscou em 1971. Ele foi aluno de Vladimir Arnold . Varchenko defendeu seu Ph.D. Tese Teoremas sobre Equisingularidade Topológica de Famílias de Conjuntos Algébricos e Mapas em 1974 e Tese de Doutorado em Ciências Assintóticas de Integrais e Invariantes Algebro-Geométricos de Pontos Críticos de Funções em 1982. De 1974 a 1984 ele foi um cientista pesquisador na Universidade Estadual de Moscou, em 1985–1990, um professor do Instituto Gubkin de Gás e Petróleo e , desde 1991, ele é o Professor Ernest Eliel na Universidade da Carolina do Norte em Chapel Hill .
Varchenko foi um palestrante convidado no Congresso Internacional de Matemáticos em 1974 em Vancouver (seção de geometria algébrica) e em 1990 em Kyoto (um discurso plenário). Em 1973, ele recebeu o Prêmio da Sociedade de Matemática de Moscou .
Pesquisa
Em 1969 Varchenko identificou o grupo de monodromia de um ponto crítico de tipo de uma função de um número ímpar de variáveis com o grupo simétrico que é o grupo de Weyl da álgebra de Lie simples de tipo .
Em 1971, Varchenko provou que uma família de conjuntos algébricos quase projetivos complexos com uma base irredutível forma um feixe topologicamente localmente trivial sobre um subconjunto aberto de Zariski da base. Esta afirmação, conjecturada por Oscar Zariski , preencheu uma lacuna na prova do teorema de Zariski sobre o grupo fundamental do complemento a uma hipersuperfície algébrica complexa publicada em 1937. Em 1973, Varchenko provou a conjectura de René Thom de que um germe de mapa liso genérico é topologicamente equivalente a um germe de um mapa polinomial e tem uma deformação versal topológica polinomial de dimensão finita, enquanto os mapas não genéricos formam um subconjunto de codimensão infinita no espaço de todos os germes.
Varchenko estava entre os criadores da teoria dos polígonos de Newton na teoria da singularidade, em particular, ele deu uma fórmula, relacionando os polígonos de Newton e as assintóticas das integrais oscilatórias associadas a um ponto crítico de uma função. Usando a fórmula, Varchenko construiu um contra-exemplo à conjectura de semicontinuidade de VI Arnold de que o brilho da luz em um ponto de uma cáustica não é menor que o brilho nos pontos vizinhos.
Varchenko formulou uma conjectura sobre a semicontinuidade do espectro de um ponto crítico sob deformações do ponto crítico e provou-a para deformações de baixo peso de singularidades quase homogêneas. Usando a semicontinuidade, Varchenko deu uma estimativa de cima para o número de pontos singulares de uma hipersuperfície projetiva de determinado grau e dimensão.
Varchenko introduziu a estrutura assintótica mista de Hodge na cohomologia, desaparecendo em um ponto crítico de uma função, estudando assintóticas de integrais de formas diferenciais holomórficas sobre famílias de ciclos de desaparecimento. Tal integral depende do parâmetro - o valor da função. A integral tem duas propriedades: a velocidade com que tende a zero, quando o parâmetro tende para o valor crítico, e como a integral muda, quando o parâmetro gira em torno do valor crítico. A primeira propriedade foi usada para definir a filtragem de Hodge da estrutura de Hodge mista assintótica e a segunda propriedade foi usada para definir a filtragem de peso.
A segunda parte do 16º problema de Hilbert é decidir se existe um limite superior para o número de ciclos limites em campos vetoriais polinomiais de determinado grau. O infinitesimal 16º problema de Hilbert, formulado por VI Arnold, é decidir se existe um limite superior para o número de zeros de uma integral de uma forma diferencial polinomial sobre uma família de curvas de nível de um hamiltoniano polinomial em termos dos graus do coeficientes da forma diferencial e o grau do hamiltoniano. Varchenko provou a existência do limite no infinitesimal 16º problema de Hilbert.
Vadim Schechtman e Varchenko identificaram nas equações de Knizhnik – Zamolodchikov (ou, equações KZ) com uma conexão Gauss-Manin adequada e construíram soluções hipergeométricas multidimensionais das equações KZ. Nessa construção, as soluções foram rotuladas por elementos de um grupo de homologia adequado. Em seguida, o grupo de homologia foi identificado com um espaço de multiplicidade do produto tensorial de representações de um grupo quântico adequado e a representação de monodromia das equações KZ foi identificada com a representação de matriz R associada. Esta construção deu uma prova geométrica do teorema de Kohno-Drinfeld sobre a monodromia das equações KZ. Uma imagem semelhante foi desenvolvida para as equações quânticas KZ (ou equações de diferença do tipo qKZ) em trabalhos conjuntos com Giovanni Felder e Vitaly Tarasov. As funções de peso que aparecem em soluções hipergeométricas multidimensionais foram posteriormente identificadas com envelopes estáveis na geometria enumerativa equivariante de Andrei Okounkov .
Na segunda metade dos anos 90, Felder, Pavel Etingof e Varchenko desenvolveram a teoria dos grupos quânticos dinâmicos. Equações dinâmicas, compatíveis com as equações do tipo KZ, foram introduzidas em documentos conjuntos com G. Felder, Y. Markov, V. Tarasov. Nas aplicações, as equações dinâmicas aparecem como as equações diferenciais quânticas dos feixes cotangentes de variedades de flag parciais.
Em, Evgeny Mukhin, Tarasov e Varchenko provaram a conjectura de Boris Shapiro e Michael Shapiro na geometria algébrica real : se o determinante de Wronski de um espaço vetorial de dimensão finita complexo de polinômios em uma variável tem apenas raízes reais, então o espaço vetorial tem uma base de polinômios com coeficientes reais.
É classicamente conhecido que o índice de intersecção das variedades de Schubert no Grassmanniano de planos N- dimensionais coincide com a dimensão do espaço de invariantes em um produto tensorial adequado de representações do grupo linear geral . Em, Mukhin, Tarasov e Varchenko categorizaram esse fato e mostraram que a álgebra de Bethe do modelo de Gaudin em tal espaço de invariantes é isomórfica à álgebra de funções na interseção das variedades de Schubert correspondentes. Como aplicação, eles mostraram que se as variedades de Schubert são definidas em relação a bandeiras osculantes reais distintas, então as variedades se cruzam transversalmente e todos os pontos de intersecção são reais. Essa propriedade é chamada de realidade do cálculo de Schubert .
Livros
- Arnolʹd, VI; Guseĭn-Zade, SM; Varchenko, AN Singularities of differentiable maps. Vol. I. A classificação de pontos críticos, cáusticas e frentes de onda. Monographs in Mathematics, 82. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1985. xi + 382 pp. ISBN 0-8176-3187-9
- Arnolʹd, VI; Guseĭn-Zade, SM; Varchenko, AN Singularities of differentiable maps. Vol. II. Monodromia e assintótica de integrais. Monographs in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1988. viii + 492 pp. ISBN 0-8176-3185-2
- Etingof, P .; Varchenko, A. Why the Boundary of a Round Drop Becomes a Curve of Order Four (University Lecture Series), AMS 1992, ISBN 0821870025
- Varchenko, A. Funções hipergeométricas multidimensionais e teoria da representação de álgebras de Lie e grupos quânticos. Advanced Series in Mathematical Physics, 21. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1995. x + 371 pp. ISBN 981-02-1880-X
- Varchenko, A. Funções especiais, equações do tipo KZ e teoria da representação. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 98. Publicado para o Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; pela American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. viii + 118 pp. ISBN 0-8218-2867-3