Condição senoidal de Abbe - Abbe sine condition

Os ângulos de entrada e saída de cada raio que passa por um sistema de imagem (caixa cinza) são relacionados. Quando o sistema de imagem obedece à condição senoidal de Abbe, a proporção dos senos desses ângulos é igual à ampliação (absoluta lateral) do sistema.

A condição senoidal de Abbe é uma condição que deve ser cumprida por uma lente ou outro sistema óptico para que produza imagens nítidas de objetos fora do eixo e também dentro do eixo. Foi formulado por Ernst Abbe no contexto dos microscópios .

A condição senoidal do Abade diz que

o seno do ângulo do espaço do objeto deve ser proporcional ao seno do ângulo do espaço da imagem ${\ textstyle \ alpha _ {o}}$${\ textstyle \ alpha _ {i}}$

Além disso, a proporção é igual à ampliação do sistema. Em termos matemáticos, isso é:

${\ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha _ {o}} {\ sin \ alpha _ {i}}} = {\ frac {\ sin \ beta _ {o}} {\ sin \ beta _ {i} }} = | M |}$

onde as variáveis são os ângulos (em relação ao eixo óptico) de quaisquer dois raios conforme eles deixam o objeto, e são os ângulos dos mesmos raios onde eles alcançam o plano da imagem (digamos, o plano do filme de uma câmera). Por exemplo, ( pode representar um raio paraxial (ou seja, um raio quase paralelo ao eixo óptico), e pode representar um raio marginal (ou seja, um raio com o maior ângulo admitido pela abertura do sistema). Um sistema de imagem óptica para o qual isso é verdade porque todos os raios obedecem à condição senoidal do Abade. ${\ textstyle (\ alpha _ {o}, \ beta _ {o})}$${\ textstyle (\ alpha _ {i}, \ beta _ {i})}$${\ textstyle \ alpha _ {o}, \ alpha _ {i})}$${\ textstyle (\ beta _ {o}, \ beta _ {i})}$

Ampliação e a condição senoidal do Abade

Um sistema de imagem ótica (caixa cinza) que obedece à condição senoidal possui uma relação fixa entre os senos dos ângulos dos raios na entrada e na saída do sistema . Essa proporção é igual à ampliação (M). ${\ textstyle {\ frac {\ sin \ alpha _ {o}} {\ sin \ alpha _ {i}}} = M}$

Usando a estrutura da óptica de Fourier , podemos facilmente explicar o significado da condição senoidal de Abbe. Digamos que um objeto no plano do objeto de um sistema óptico tenha uma função de transmitância da forma, T ( x _o , y _o ). Podemos expressar esta função de transmitância em termos de sua transformada de Fourier como

${\ displaystyle T (x_ {o}, y_ {o}) = \ iint T (k_ {x}, k_ {y}) ~ e ^ {j (k_ {x} x_ {o} + k_ {y} y_ {o})} ~ dk_ {x} \, dk_ {y}.}$

Agora, suponha para simplificar que o sistema não tem distorção de imagem , de modo que as coordenadas do plano da imagem são linearmente relacionadas às coordenadas do plano do objeto por meio da relação

${\ displaystyle x_ {i} = Mx_ {o} \,}$

${\ displaystyle y_ {i} = My_ {o} \,}$

onde M é a ampliação do sistema . A transmitância do plano do objeto acima pode agora ser reescrita de uma forma ligeiramente modificada:

${\ displaystyle T (x_ {o}, y_ {o}) = \ iint T (k_ {x}, k_ {y}) ~ e ^ {j ((k_ {x} / M) (Mx_ {o}) + (k_ {y} / M) (My_ {o}))} ~ dk_ {x} \, dk_ {y}}$

onde os vários termos foram simplesmente multiplicados e divididos no expoente por M , a ampliação do sistema. Agora, as equações podem ser substituídas acima por coordenadas do plano da imagem em termos de coordenadas do plano do objeto, para obter,

${\ displaystyle T (x_ {i}, y_ {i}) = \ iint T (k_ {x}, k_ {y}) ~ e ^ {j ((k_ {x} / M) x_ {i} + ( k_ {y} / M) y_ {i})} ~ dk_ {x} \, dk_ {y}}$

Neste ponto, uma outra transformação de coordenadas pode ser proposto ( i . E ., A condição sine Abbe) relativa do objecto plano número de onda do espectro com o espectro da imagem plano como número de onda

${\ displaystyle k_ {x} ^ {i} = {\ frac {k_ {x}} {M}}}$

${\ displaystyle k_ {y} ^ {i} = {\ frac {k_ {y}} {M}}}$

para obter a equação final para o campo do plano da imagem em termos de coordenadas do plano da imagem e números de onda do plano da imagem como:

${\ displaystyle T (x_ {i}, y_ {i}) = M ^ {2} \ iint T (Mk_ {x} ^ {i}, Mk_ {y} ^ {i}) ~ e ^ {j (k_ {x} ^ {i} x_ {i} + k_ {y} ^ {i} y_ {i})} dk_ {x} ^ {i} \, dk_ {y} ^ {i}}$

Da ótica de Fourier , sabe-se que os números de onda podem ser expressos em termos do sistema de coordenadas esféricas como

${\ displaystyle k_ {x} = k \ sin \ theta \ cos \ varphi \,}$

${\ displaystyle k_ {y} = k \ sin \ theta \ sin \ varphi \,}$

Se um componente espectral é considerado para o qual , então a transformação de coordenadas entre os números de onda do plano do objeto e da imagem assume a forma ${\ displaystyle \ varphi = 0}$

${\ displaystyle k ^ {i} \ sin \ theta ^ {i} = k {\ frac {\ sin \ theta} {M}}.}$

Esta é outra maneira de escrever a condição senoidal de Abbe, que simplesmente reflete o princípio de incerteza clássico para pares de transformada de Fourier, ou seja, que conforme a extensão espacial de qualquer função é expandida (pelo fator de ampliação, M ), a extensão espectral se contrai pelo mesmo fator, M , de modo que o produto espaço-largura de banda permaneça constante.

Veja também

• Invariante de Lagrange
• Invariante Smith-Helmholtz
• Condição de Herschel

Referências