Vibrações de uma membrana circular - Vibrations of a circular membrane

Um dos modos possíveis de vibração de uma cabeça de tambor circular idealizada (modo com a notação abaixo). Outros modos possíveis são mostrados na parte inferior do artigo.

Uma membrana elástica bidimensional sob tensão pode suportar vibrações transversais . As propriedades de uma pele de tambor idealizada podem ser modeladas pelas vibrações de uma membrana circular de espessura uniforme, presa a uma estrutura rígida. Devido ao fenômeno da ressonância , em certas frequências de vibração , suas frequências de ressonância , a membrana pode armazenar energia vibracional, a superfície movendo-se em um padrão característico de ondas estacionárias . Isso é chamado de modo normal . Uma membrana tem um número infinito desses modos normais, começando com uma frequência mais baixa, chamada de modo fundamental .

Existem infinitas maneiras pelas quais uma membrana pode vibrar, cada uma dependendo da forma da membrana em algum momento inicial e da velocidade transversal de cada ponto da membrana naquele momento. As vibrações da membrana são dadas pelas soluções da equação de onda bidimensional com as condições de contorno de Dirichlet que representam a restrição do quadro. Pode-se mostrar que qualquer vibração arbitrariamente complexa da membrana pode ser decomposta em uma série possivelmente infinita de modos normais da membrana. Isso é análogo à decomposição de um sinal de tempo em uma série de Fourier .

O estudo das vibrações em tambores levou os matemáticos a propor um famoso problema matemático sobre se a forma de um tambor pode ser ouvida , com uma resposta dada em 1992 no cenário bidimensional.

Motivação

Analisar o problema da vibração da cabeça do tambor explica os instrumentos de percussão, como tambores e tímpanos . No entanto, também existe uma aplicação biológica no funcionamento do tímpano . Do ponto de vista educacional, os modos de um objeto bidimensional são uma maneira conveniente de demonstrar visualmente o significado dos modos, nós, antinodos e até mesmo números quânticos . Esses conceitos são importantes para a compreensão da estrutura do átomo.

O problema

Considere um disco aberto de raio centrado na origem, que representará a forma "fixa" da cabeça do tambor. A qualquer momento a altura da forma da cabeça do cilindro, num ponto em medido a partir do "ainda" forma da cabeça do cilindro vai ser denotado por que pode levar tanto valores positivos e negativos. Let denotam o limite de que é, o raio de círculo centrado na origem, que representa a estrutura rígida para que a cabeça do cilindro está ligado.

A equação matemática que governa a vibração da cabeça do tambor é a equação de onda com condições de contorno zero,

Devido à geometria circular de , será conveniente usar coordenadas cilíndricas , então, as equações acima são escritas como

Aqui, está uma constante positiva, que fornece a velocidade com que as ondas de vibração transversais se propagam na membrana. Em termos de parâmetros físicos, a velocidade da onda, c, é dada por

onde , é a membrana radial resultante no limite da membrana ( ) , é a espessura da membrana e é a densidade da membrana. Se a membrana tem tensão uniforme, a força de tensão uniforme em um determinado raio, pode ser escrita

onde está a membrana resultante na direção azimutal.

O caso axissimétrico

Vamos primeiro estudar os possíveis modos de vibração de uma cabeça de tambor circular que são axissimétricos . Então, a função não depende do ângulo e a equação de onda simplifica para

Procuraremos soluções em variáveis ​​separadas, substituindo isso na equação acima e dividindo ambos os lados por rendimentos

O lado esquerdo desta igualdade não depende de e o lado direito não depende disso segue que ambos os lados devem ser iguais a alguma constante Obtemos equações separadas para e :

A equação para tem soluções que crescem ou decaem exponencialmente para são lineares ou constantes para e são periódicas para . Fisicamente, espera-se que uma solução para o problema de uma cabeça de tambor vibrando seja oscilatória no tempo, e isso deixa apenas o terceiro caso, então escolhemos por conveniência. Então, é uma combinação linear de funções seno e cosseno,

Voltando à equação com a observação de que todas as soluções desta equação diferencial de segunda ordem são uma combinação linear das funções de Bessel de ordem 0, uma vez que este é um caso especial da equação diferencial de Bessel :

A função de Bessel é ilimitada, o que resulta em uma solução não física para o problema da vibração da cabeça do tambor, portanto, a constante deve ser nula. Também assumiremos , caso contrário, esta constante pode ser absorvida mais tarde pelas constantes e, vindo dela, segue-se que

O requisito de que a altura seja zero no limite da cabeça do tambor resulta na condição

A função de Bessel tem um número infinito de raízes positivas,

Nós entendemos isso por isso

Portanto, as soluções axissimétricas do problema da vibração da cabeça do tambor que podem ser representadas em variáveis ​​separadas são

Onde

O caso geral

O caso geral, quando também pode depender do ângulo, é tratado de forma semelhante. Assumimos uma solução em variáveis ​​separadas,

Substituindo isso na equação de onda e separando as variáveis, dá

onde é uma constante. Como antes, da equação para isso segue-se que com e

Da equação

obtemos, multiplicando ambos os lados e separando as variáveis, que

e

para alguma constante Uma vez que é periódico, com período sendo uma variável angular, segue-se que

onde e e são algumas constantes. Isso também implica

Voltando à equação para sua solução é uma combinação linear de funções de Bessel e com um argumento semelhante como na seção anterior, chegamos a

onde com a -ésima raiz positiva de

Mostramos que todas as soluções em variáveis ​​separadas do problema da cabeça do tambor vibratório são da forma

para

Animações de vários modos de vibração

Vários modos são mostrados abaixo, juntamente com seus números quânticos. As funções de onda análogas do átomo de hidrogênio também são indicadas, bem como as frequências angulares associadas .

Veja também

Referências

  • H. Asmar, Nakhle (2005). Equações diferenciais parciais com séries de Fourier e problemas de valor limite . Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall. p. 198. ISBN   0-13-148096-0 .