Modelo vetorial do átomo - Vector model of the atom

Parte de uma série sobre
Mecânica quântica
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Equação de Schrödinger
Introdução Glossário História Livros didáticos
Fundo Mecânica clássica Velha teoria quântica Notação de sutiã Hamiltoniano Interferência
Fundamentos Regra de nascimento Comprimento de onda Compton Coerência Decoerência Complementaridade Nível de energia Emaranhamento Hamiltoniano Princípio da incerteza Estado Fundamental Amplitude de probabilidade Distribuição de probabilidade Interferência Medição Medição fraca Não localidade Observável Operador Quantum Flutuação quântica Número quântico Ruído quântico Estado quântico Sistema quântico Teletransporte quântico Qubit Rodar Sobreposição Estado de vácuo quântico Simetria Quebra de simetria (espontânea) Estado de vácuo Propagação de onda Função de onda Colapso da função de onda Dualidade onda-partícula Onda de matéria Barreira de potencial retangular Fock space
Efeitos Efeito Zeeman Efeito Stark Efeito Aharonov-Bohm Quantização Landau Efeito Quantum Hall Efeito Quantum Zeno Tunelamento quântico Efeito fotoelétrico Efeito casimiro
Experimentos Desigualdade de Bell Davisson – Germer Fenda dupla Elitzur-Vaidman Franck – Hertz Desigualdade de Leggett-Garg Mach – Zehnder Popper Borracha quântica  ( escolha retardada ) gato de Schrodinger Stern – Gerlach Escolha atrasada de Wheeler
Formulações Visão geral Imagens dinâmicas ( Heisenberg ; Interação ; Schrödinger ) Matriz Espaço de fase Soma sobre histórias (integral do caminho)
Equações Dirac Hellmann-Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger Integração funcional
Interpretações Visão geral Bayesiano Histórias consistentes Copenhague de Broglie – Bohm Conjunto Variável oculta Muitos mundos Colapso objetivo Lógica quântica Relacional Transacional
Tópicos avançados Hipótese de termalização de estado próprio Recozimento quântico Caos quântico Computação quântica Geometria quântica Matriz de densidade Teoria quântica de campos Mecânica quântica fracionária Gravidade quântica Ciência da informação quântica Aprendizado de máquina quântico Teoria de perturbação (mecânica quântica) Mecânica quântica relativística Teoria de dispersão Teoria do vácuo de superfluido Conversão descendente paramétrica espontânea Mecânica estatística quântica
Cientistas Aharonov Sino Blackett Bloch Bohm Bohr Nascermos Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordânia Kramers Pauli Cordeiro Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Categorias ► Mecânica Quântica
v t e

Na física , especificamente na mecânica quântica , o modelo vetorial do átomo é um modelo do átomo em termos de momento angular . Pode ser considerado como a extensão do modelo de átomo de Rutherford-Bohr-Sommerfeld para átomos de vários elétrons.

Introdução

Ilustração do modelo vetorial de momento angular orbital.

O modelo é uma representação conveniente dos momentos angulares dos elétrons no átomo. O momento angular é sempre dividido em orbital L , spin S e J total :

${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}.}$

Dado que na mecânica quântica, o momento angular é quantizado e há uma relação de incerteza para os componentes de cada vetor, a representação acaba sendo bastante simples (embora a matemática de fundo seja bastante complexa). Geometricamente, é um conjunto discreto de cones circulares retos, sem a base circular, em que os eixos de todos os cones são alinhados em um eixo comum, convencionalmente o eixo z para coordenadas cartesianas tridimensionais. A seguir está o pano de fundo dessa construção.

Fundo matemático de momentos angulares

Cones de momento angular de spin, aqui mostrados para uma partícula de spin 1/2

O comutador implica que para cada um de L , S e J , apenas um componente de qualquer vetor de momento angular pode ser medido em qualquer instante de tempo; ao mesmo tempo, os outros dois são indeterminados. O comutador de quaisquer dois operadores de momento angular (correspondendo às direções dos componentes) é diferente de zero. A seguir está um resumo da matemática relevante na construção do modelo vetorial.

As relações de comutação são (usando a convenção de soma de Einstein ):

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} & [{\ hat {L}} _ {a}, {\ hat {L}} _ {b}] = i \ hbar \ varepsilon _ {abc} {\ hat {L }} _ {c} \\ & [{\ hat {S}} _ {a}, {\ hat {S}} _ {b}] = i \ hbar \ varepsilon _ {abc} {\ hat {S} } _ {c} \\\ fim {alinhado}}}$

Onde

• L = ( L ₁ , L ₂ , L ₃ ), S = ( S ₁ , S ₂ , S ₃ ) e J = ( J ₁ , J ₂ , J ₃ ) (estes correspondem a L = ( L _x , L _y , L _z ), S = ( S _x , S _y , S _z ) e J = ( J _x , J _y , J _z ) em coordenadas cartesianas),
• a , b , c ∊ {1,2,3} são índices que rotulam os componentes dos momentos angulares
• ε _abc é o tensor de permutação de 3 índices em 3-d.

As magnitudes de L , S e J, no entanto, podem ser medidas ao mesmo tempo, uma vez que a comutação do quadrado de um operador de momento angular (resultante total, não componentes) com qualquer um dos componentes é zero, então a medição simultânea de com , com e com satisfazer: ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {a}}$${\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ hat {S}} _ {a}}$${\ displaystyle {\ hat {S}} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {a}}$${\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & [{\ hat {L}} _ {a}, {\ hat {L}} ^ {2}] = 0 \\ & [{\ hat {S}} _ { a}, {\ hat {S}} ^ {2}] = 0 \\ & [{\ hat {J}} _ {a}, {\ hat {J}} ^ {2}] = 0 \\\ fim {alinhado}}}$

As magnitudes satisfazem todos os seguintes, em termos de operadores e componentes de vetor:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & {\ hat {L}} ^ {2} = {\ hat {L}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {L} = L ^ {2} = L_ { x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2}, \\ & {\ hat {S}} ^ {2} = {\ hat {S}} _ {x } ^ {2} + {\ hat {S}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {S}} _ {z} ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf { S} \ cdot \ mathbf {S} = S ^ {2} = S_ {x} ^ {2} + S_ {y} ^ {2} + S_ {z} ^ {2}, \\ & {\ hat { J}} ^ {2} = {\ hat {J}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z } ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {J} = J ^ {2} = J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2 } + J_ {z} ^ {2}, \\\ fim {alinhado}}}$

e números quânticos:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & | \ mathbf {L} | = \ hbar {\ sqrt {\ ell (\ ell +1)}}, \ quad L_ {z} = m _ {\ ell} \ hbar, \\ & | \ mathbf {S} | = \ hbar {\ sqrt {s (s + 1)}}, \ quad S_ {z} = m_ {s} \ hbar, \\ & | \ mathbf {J} | = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1)}}, \ quad J_ {z} = m_ {j} \ hbar, \\\ end {alinhado}}}$

Onde

• ${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell}$ , é o número quântico azimutal ,
• s , é o número quântico de spin intrínseco ao tipo de partícula,
• j , é o número quântico total do momento angular ,

que respectivamente recebem os valores:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & m _ {\ ell} \ in \ {- \ ell, - (\ ell -1) \ cdots \ ell -1, \ ell \}, \ quad \ ell \ in \ {0 , 1 \ cdots n-1 \} \\ & m_ {s} \ in \ {- s, - (s-1) \ cdots s-1, s \}, \\ & m_ {j} \ in \ {- j , - (j-1) \ cdots j-1, j \}, \\ & m_ {j} = m _ {\ ell} + m_ {s}, \ quad j = | \ ell + s | \\\ end { alinhado}}}$

Esses fatos matemáticos sugerem o contínuo de todos os momentos angulares possíveis para um número quântico especificado correspondente:

1. Uma direção é constante, as outras duas são variáveis.
2. A magnitude dos vetores deve ser constante (para um determinado estado correspondente ao número quântico), de modo que os dois componentes indeterminados de cada um dos vetores devem ser confinados a um círculo, de forma que os componentes mensuráveis ​​e não mensuráveis ​​( em um instante) permitem que as magnitudes sejam construídas corretamente, para todos os componentes indeterminados possíveis.

O resultado geométrico é um cone de vetores, o vetor começa no ápice do cone e sua ponta atinge a circunferência do cone. É convenção usar o componente z para o componente mensurável do momento angular, então o eixo do cone deve ser o eixo z, direcionado do ápice ao plano definido pela base circular do cone, perpendicular ao plano . Para diferentes números quânticos, os cones são diferentes. Portanto, há um número discreto de estados em que os momentos angulares podem ser, governados pelos valores possíveis acima para , s e j . Usando a configuração anterior do vetor como parte de um cone, cada estado deve corresponder a um cone. Isso é para aumentar , s , e j , e diminuir , s e j > Os números quânticos negativos correspondem a cones refletidos no plano x - y . Um desses estados, para um número quântico igual a zero, claramente não corresponde a um cone, apenas a um círculo no plano x - y . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell}$

O número de cones (incluindo o círculo plano degenerado) é igual à multiplicidade de estados ,. ${\ displaystyle \ scriptstyle 2 \ ell +1}$

Modelo Bohr

Pode ser considerada a extensão do modelo de Bohr porque Niels Bohr também propôs que o momento angular foi quantizado de acordo com:

${\ displaystyle L = m \ hbar}$

onde m é um número inteiro, produziu resultados corretos para o átomo de hidrogênio. Embora o modelo de Bohr não se aplique a átomos com vários elétrons, foi a primeira quantização bem-sucedida do momento angular aplicado ao átomo, precedendo o modelo vetorial do átomo.

Adição de momentos angulares

Para átomos de um elétron (ou seja, hidrogênio), há apenas um conjunto de cones para o elétron em órbita. Para átomos multielétrons, existem muitos estados, devido ao número crescente de elétrons.

Os momentos angulares de todos os elétrons no átomo somam-se vetorialmente . A maioria dos processos atômicos, tanto nucleares quanto químicos (eletrônicos) - exceto no processo absolutamente estocástico de decaimento radioativo - são determinados pelo par de spin e acoplamento de momentos angulares devido aos núcleos e elétrons vizinhos . O termo "acoplamento" neste contexto significa a superposição vetorial de momentos angulares, ou seja, magnitudes e direções são adicionadas.

Em átomos multieletrônicos, a soma vetorial de dois momentos angulares é:

${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {J} _ {1} + \ mathbf {J} _ {2} \, \!}$

para o componente z, os valores projetados são:

${\ displaystyle J_ {z} = J_ {1z} + J_ {2z} \, \!}$

Onde

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & \ mathbf {J} _ {z} = m_ {j} \ hbar \\ & \ mathbf {J} _ {1z} = m_ {j_ {1}} \ hbar \\ & \ mathbf {J} _ {2z} = m_ {j_ {2}} \ hbar \\\ end {alinhado}} \, \!}$

e as magnitudes são:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & | \ mathbf {J} | = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1)}} \\ & | \ mathbf {J} _ {1} | = \ hbar { \ sqrt {j_ {1} (j_ {1} +1)}} \\ & | \ mathbf {J} _ {2} | = \ hbar {\ sqrt {j_ {2} (j_ {2} +1) }} \\\ end {alinhado}}}$

no qual

${\ displaystyle j \ in \ {| j_ {1} -j_ {2} |, | j_ {1} -j_ {2} | -1 \ cdots j_ {1} + j_ {2} -1, j_ {1 } + j_ {2} \} \, \!}$

Este processo pode ser repetido para um terceiro elétron, depois para o quarto etc., até que o momento angular total seja encontrado.

Acoplamento LS

Ilustração do acoplamento LS. O momento angular total J é roxo, orbital L é azul e o spin S é verde.

O processo de somar todos os momentos angulares é uma tarefa trabalhosa, uma vez que os momentos resultantes não são definidos, todos os cones de momentos de precessão em torno do eixo z devem ser incorporados ao cálculo. Isso pode ser simplificado por algumas aproximações desenvolvidas - como o esquema de acoplamento Russell-Saunders no acoplamento LS , nomeado após HN Russell e FA Saunders (1925).

Veja também

• Coeficientes de Clebsch-Gordan
• Acoplamento LS
• Diagramas de momento angular (mecânica quântica)
• Base esférica

Referências

• Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (2ª edição) , R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN   978-0-471-87373-0

Leitura adicional

• Atomic Many-Body Theory , I. Lindgren, J. Morrison, Springer-Verlag Series in: Chemical Physics N ^o 13, 1982, ISBN, Monografia de pós-graduação sobre a teoria de muitos corpos no contexto do momento angular, com muita ênfase na representação gráfica e métodos.
• Quantum Mechanics Demystified , D. McMahon, Mc Graw Hill, 2005, ISBN   0-07-145546-9