Decomposição de variância de erros de previsão - Variance decomposition of forecast errors

Em econometria e outras aplicações de análise de série temporal multivariada , uma decomposição de variância ou decomposição de variância de erro de previsão ( FEVD ) é usada para auxiliar na interpretação de um modelo de autorregressão vetorial (VAR), uma vez que tenha sido ajustado. A decomposição da variância indica a quantidade de informação que cada variável contribui para as outras variáveis ​​na autorregressão. Ele determina quanto da variância do erro de previsão de cada uma das variáveis ​​pode ser explicado por choques exógenos nas outras variáveis.

Calculando a variação do erro de previsão

Para o VAR (p) do formulário

${\ displaystyle y_ {t} = \ nu + A_ {1} y_ {t-1} + \ dots + A_ {p} y_ {tp} + u_ {t}}$ .

Isso pode ser alterado para uma estrutura VAR (1), escrevendo-a na forma complementar (consulte a notação de matriz geral de um VAR (p))

${\ displaystyle Y_ {t} = V + AY_ {t-1} + U_ {t}}$ Onde

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} A_ {1} & A_ {2} & \ dots & A_ {p-1} & A_ {p} \\\ mathbf {I} _ {k} & 0 & \ dots & 0 & 0 \\ 0 & \ mathbf {I} _ {k} && 0 & 0 \\\ vdots && \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & \ mathbf {I} _ {k} & 0 \\\ end {bmatrix}}}$, , E${\ displaystyle Y = {\ begin {bmatrix} y_ {1} \\\ vdots \\ y_ {p} \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle V = {\ begin {bmatrix} \ nu \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle U_ {t} = {\ begin {bmatrix} u_ {t} \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \ end {bmatrix}}}$

onde , e são vetores de coluna dimensionais, é por matriz dimensional e , e são vetores de coluna dimensionais. ${\ displaystyle y_ {t}}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle kp}$${\ displaystyle kp}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle kp}$

O erro quadrático médio da previsão h-step da variável é ${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle \ mathbf {MSE} [y_ {j, t} (h)] = \ sum _ {i = 0} ^ {h-1} \ sum _ {l = 1} ^ {k} (e_ {j } '\ Theta _ {i} e_ {l}) ^ {2} = {\ bigg (} \ sum _ {i = 0} ^ {h-1} \ Theta _ {i} \ Theta _ {i}' {\ bigg)} _ {jj} = {\ bigg (} \ sum _ {i = 0} ^ {h-1} \ Phi _ {i} \ Sigma _ {u} \ Phi _ {i} '{\ bigg)} _ {jj},}$

e onde

• ${\ displaystyle e_ {j}}$é a j- ^ésima coluna de e o subscrito refere-se a esse elemento da matriz${\ displaystyle I_ {k}}$${\ displaystyle jj}$

• ${\ displaystyle \ Theta _ {i} = \ Phi _ {i} P,}$onde é uma matriz triangular inferior obtida por uma decomposição de Cholesky de tal que , onde é a matriz de covariância dos erros ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Sigma _ {u}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {u} = PP '}$${\ displaystyle \ Sigma _ {u}}$${\ displaystyle u_ {t}}$

• ${\ displaystyle \ Phi _ {i} = JA_ {i} J ',}$onde de modo que é um por matriz tridimensional.${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {I} _ {k} & 0 & \ dots & 0 \ end {bmatrix}},}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle kp}$

A quantidade de variância do erro de previsão da variável contabilizada por choques exógenos à variável é dada por${\ displaystyle j}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle \ omega _ {jl, h},}$

${\ displaystyle \ omega _ {jl, h} = \ sum _ {i = 0} ^ {h-1} (e_ {j} '\ Theta _ {i} e_ {l}) ^ {2} / MSE [ y_ {j, t} (h)].}$

Veja também

• Análise de variação

Notas