Uniformização (teoria dos conjuntos) - Uniformization (set theory)

Em teoria dos conjuntos , o axioma da uniformização , uma forma fraca do axioma da escolha , afirma que, se é um subconjunto de , onde e são espaços poloneses , então não é um subconjunto do que é uma função parcial a partir de , e cujo domínio ( no sentido do conjunto de todos de tal forma que existe) é igual a ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X \ Y} tempos$${\ Displaystyle X}$${\ Y} displaystyle$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X}$${\ Y} displaystyle$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle \ {x \ em X | \ existe y \ Y em (x, y) \ em R \} \,}$

Tal função é chamada de função de uniformização para , ou de uma uniformização de . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$

Uniformização da relação R (azul claro) por função f (vermelho).

Para ver a relação com o axioma da escolha, observe que pode ser pensado como associar, para cada elemento , um subconjunto de . Um uniformização de seguida pega exactamente um elemento de cada tal subconjunto, sempre que o subconjunto é não vazio . Assim, permitindo conjuntos arbitrários X e Y (e não apenas os espaços da Polónia) faria o axioma da uniformização equivalente a AC. ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X}$${\ Y} displaystyle$${\ Displaystyle R}$

A pointclass é dito ter a propriedade uniformização se cada relação no pode ser uniformizadas por uma função parcial . A propriedade de uniformização é implicado pela propriedade escala , pelo menos para pointclasses adequadas de uma certa forma. ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$

Decorre ZFC sozinho que e têm a propriedade de uniformização. Daqui resulta da existência de suficientes grandes cardeais que ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {1} ^ {1}}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {2} ^ {1}}$

• ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {2n + 1} ^ {1}}$e têm a propriedade de uniformização para cada número natural .${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {2n + 2} ^ {1}}$ ${\ N} displaystyle$
• Portanto, a coleção de conjuntos projetivas tem a propriedade de uniformização.
• Cada relação em L (R) podem ser uniformizadas, mas não necessariamente, por uma função em L (R). Na verdade, L (R) não tem a propriedade de uniformização (equivalentemente, L (R) não satisfaz o axioma de uniformização).
  • (Nota: é trivial que cada relação em L (R) pode ser uniformizada em V , assumindo V satisfaz AC A questão é que cada tal relação pode ser uniformizada em alguns modelo interior transitória de V em que AD detiver.).

Referências

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descritiva Teoria dos Conjuntos . Holanda do Norte. ISBN  0-444-70199-0 .