Espaço ultramétrico - Ultrametric space

Em matemática , um espaço ultramétrico é um espaço métrico no qual a desigualdade do triângulo é reforçada . Às vezes, a métrica associada também é chamada de métrica não arquimediana ou supermétrica . Embora alguns dos teoremas para espaços ultramétricos possam parecer estranhos à primeira vista, eles aparecem naturalmente em muitas aplicações. ${\ displaystyle d (x, z) \ leq \ max \ left \ {d (x, y), d (y, z) \ right \}}$

Definição formal

Um ultramétrico em um conjunto M é uma função real avaliada

${\ displaystyle d \ dois pontos M \ times M \ rightarrow \ mathbb {R}}$

(onde ℝ denotam os números reais ), de modo que para todos os x , y , z ∈ M :

1. d ( x , y ) ≥ 0 ;
2. d ( x , y ) = d ( y , x ) ( simetria )
3. d ( x , x ) = 0 ;
4. se d ( x , y ) = 0, então x = y  ;
5. d ( x , z ) ≤ max { d ( x , y ), d ( y , z ) } ( forte desigualdade triangular ou desigualdade ultramétrica ).

Um espaço ultramétrico é um par ( M , d ) que consiste em um conjunto M junto com um d ultramétrico em M , que é chamado de função de distância associada ao espaço (também chamada de métrica ).

Se d todas as condições de satisfaz, excepto, possivelmente, condição 4, em seguida, d é chamado um ultrapseudometric em H . Um espaço ultrapseudometric é um par ( H , d ) que consiste de um conjunto de M e um ultrapseudometric d em M .

No caso em que M é um grupo (escrito aditivamente) ed é gerado por uma função de comprimento (de modo que ), a última propriedade pode ser reforçada usando a nitidez de Krull para: ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ |}$

${\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ max \ left \ {\ | x \ |, \ | y \ | \ right \}}$com igualdade se .${\ displaystyle \ | x \ | \ neq \ | y \ |}$

Queremos provar que se , então, a igualdade ocorre se . Sem perda de generalidade , vamos supor isso . Isso implica isso . Mas também podemos calcular . Agora, o valor de não pode ser , pois se for esse o caso, temos o contrário da suposição inicial. Assim , e . Usando a desigualdade inicial, temos e, portanto . ${\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ max \ left \ {\ | x \ |, \ | y \ | \ right \}}$${\ displaystyle \ | x \ | \ neq \ | y \ |}$${\ displaystyle \ | x \ |> \ | y \ |}$${\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ |}$${\ displaystyle \ | x \ | = \ | (x + y) -y \ | \ leq \ max \ left \ {\ | x + y \ |, \ | y \ | \ right \}}$${\ displaystyle \ max \ left \ {\ | x + y \ |, \ | y \ | \ right \}}$${\ displaystyle \ | y \ |}$${\ displaystyle \ | x \ | \ leq \ | y \ |}$${\ displaystyle \ max \ left \ {\ | x + y \ |, \ | y \ | \ right \} = \ | x + y \ |}$${\ displaystyle \ | x \ | \ leq \ | x + y \ |}$${\ displaystyle \ | x \ | \ leq \ | x + y \ | \ leq \ | x \ |}$${\ displaystyle \ | x + y \ | = \ | x \ |}$

Propriedades

No triângulo à direita, os dois pontos inferiores xey violam a condição d (x, y) ≤ max (d (x, z), d (y, z)).

A partir da definição acima, pode-se concluir várias propriedades típicas da ultrametria. Por exemplo, para todos , pelo menos uma das três igualdades ou ou retém. Ou seja, cada triplo de pontos no espaço forma um triângulo isósceles , então todo o espaço é um conjunto isósceles . ${\ displaystyle x, y, z \ in M}$${\ displaystyle d (x, y) = d (y, z)}$${\ displaystyle d (x, z) = d (y, z)}$${\ displaystyle d (x, y) = d (z, x)}$

Definindo a bola de raio (aberta) centrada em como , temos as seguintes propriedades: ${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle x \ in M}$${\ displaystyle B (x; r): = \ {y \ in M ​​\ mid d (x, y) <r \}}$

• Cada ponto dentro de uma bola é o seu centro, ou seja, se então .${\ displaystyle d (x, y) <r}$${\ displaystyle B (x; r) = B (y; r)}$
• As bolas que se cruzam estão contidas umas nas outras, ou seja, se não estiver vazio, então ou .${\ displaystyle B (x; r) \ cap B (y; s)}$${\ displaystyle B (x; r) \ subseteq B (y; s)}$${\ displaystyle B (y; s) \ subseteq B (x; r)}$
• Todas as bolas de raio estritamente positivo são conjuntos abertos e fechados na topologia induzida . Ou seja, as bolas abertas também são fechadas e as bolas fechadas (substituir por ) também estão abertas.${\ displaystyle <}$${\ displaystyle \ leq}$
• O conjunto de todas as bolas abertas com raio e centro em uma bola fechada de raio forma uma partição desta última, e a distância mútua de duas bolas abertas distintas é (maior ou) igual a .${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle r}$

Provar essas afirmações é um exercício instrutivo. Todos derivam diretamente da desigualdade do triângulo ultramétrico. Observe que, pela segunda afirmação, uma bola pode ter vários pontos centrais com distância diferente de zero. A intuição por trás desses efeitos aparentemente estranhos é que, devido à forte desigualdade do triângulo, as distâncias em ultrametria não se somam.

Exemplos

• A métrica discreta é ultramétrica.
• Os números p -adic formam um espaço ultramétrico completo.
• Considere o conjunto de palavras de comprimento arbitrário (finito ou infinito), Σ ^* , sobre algum alfabeto Σ. Defina a distância entre duas palavras diferentes como 2 ^{- n} , onde n é o primeiro lugar em que as palavras diferem. A métrica resultante é ultramétrica.
• O conjunto de palavras com extremidades coladas de comprimento n sobre algum alfabeto Σ é um espaço ultramétrico em relação à distância p- próxima. Duas palavras x e y são p- próximas se qualquer substring de p letras consecutivas ( p < n ) aparecer o mesmo número de vezes (que também pode ser zero) em x e y .
• Se r = ( r _n ) é uma sequência de números reais diminuindo para zero, então | x | _r  : = lim sup _{n → ∞} | x _n | ^{r _n} induz um ultramétrico no espaço de todas as sequências complexas para as quais é finito. (Observe que esta não é uma seminorma, uma vez que carece de homogeneidade - Se r _n puderem ser zero, deve-se usar aqui a convenção bastante incomum de que 0 ⁰ = 0. )
• Se L é uma ponderação de ponta grafo não-dirigido , todos os pesos das arestas são positivas, e d ( u , v ) é o peso do caminho minimax entre u e v (isto é, o maior peso de um bordo, numa via escolhida para minimizar este maior peso), então os vértices do gráfico, com a distância medida por d , formam um espaço ultramétrico, e todos os espaços ultramétricos finitos podem ser representados desta forma.

Formulários

• Um mapeamento de contração pode então ser pensado como uma forma de aproximar o resultado final de um cálculo (que pode ser garantido para existir pelo teorema do ponto fixo de Banach ). Idéias semelhantes podem ser encontradas na teoria do domínio . a análise p -adic faz uso intensivo da natureza ultramétrica da métrica p -adic .
• Na física da matéria condensada , a sobreposição de auto-média entre spins no modelo SK de vidros de spin exibe uma estrutura ultramétrica, com a solução dada pelo procedimento de quebra de simetria de réplica completa delineado pela primeira vez por Giorgio Parisi e colegas de trabalho. A ultrametricidade também aparece na teoria dos sólidos aperiódicos.
• Na taxonomia e na construção de árvores filogenéticas , as distâncias ultramétricas também são utilizadas pelos métodos UPGMA e WPGMA . Esses algoritmos requerem uma suposição de taxa constante e produzem árvores nas quais as distâncias da raiz à ponta de cada ramo são iguais. Quando os dados de DNA , RNA e proteínas são analisados, a suposição de ultrametricidade é chamada de relógio molecular .
• Os modelos de intermitência em turbulências tridimensionais de fluidos fazem uso das chamadas cascatas, e em modelos discretos de cascatas diádicas, que possuem uma estrutura ultramétrica.
• Em geografia e ecologia de paisagem , distâncias ultramétricas têm sido aplicadas para medir a complexidade da paisagem e para avaliar até que ponto uma função da paisagem é mais importante do que outra.

Referências

Bibliografia

• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espaços vetoriais topológicos . Matemática pura e aplicada (segunda edição). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espaços vetoriais topológicos . GTM . 8 (segunda edição). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .

Leitura adicional

• Kaplansky, I. (1977), Set Theory and Metric Spaces , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2694-2.