Circuito LC - LC circuit

Diagrama de circuito LC
Circuito LC (à esquerda) consistindo de bobina de ferrite e capacitor usado como um circuito sintonizado no receptor para um rádio-relógio

Um circuito LC , também chamado de circuito ressonante , circuito tanque ou circuito sintonizado , é um circuito elétrico que consiste em um indutor , representado pela letra L, e um capacitor , representado pela letra C, conectados entre si. O circuito pode atuar como um ressonador elétrico , um análogo elétrico de um diapasão , armazenando energia que oscila na frequência de ressonância do circuito .

Os circuitos LC são usados ​​para gerar sinais em uma determinada frequência ou selecionar um sinal em uma determinada frequência de um sinal mais complexo; esta função é chamada de filtro passa - banda . Eles são componentes-chave em muitos dispositivos eletrônicos, especialmente equipamentos de rádio, usados ​​em circuitos como osciladores , filtros , sintonizadores e misturadores de frequência .

Um circuito LC é um modelo idealizado, pois assume que não há dissipação de energia devido à resistência . Qualquer implementação prática de um circuito LC sempre incluirá a perda resultante de uma resistência pequena, mas diferente de zero, dentro dos componentes e fios de conexão. O objetivo de um circuito LC é geralmente oscilar com amortecimento mínimo , para que a resistência seja a mais baixa possível. Embora nenhum circuito prático esteja isento de perdas, é instrutivo estudar esta forma ideal do circuito para obter compreensão e intuição física. Para um modelo de circuito que incorpora resistência, consulte circuito RLC .

Terminologia

O circuito LC de dois elementos descrito acima é o tipo mais simples de rede indutor-capacitor (ou rede LC ). Ele também é conhecido como um circuito LC de segunda ordem para distingui-lo de redes LC mais complicadas (ordem superior) com mais indutores e capacitores. Essas redes LC com mais de duas reatâncias podem ter mais de uma frequência de ressonância .

A ordem da rede é a ordem da função racional que descreve a rede na variável de frequência complexa s . Geralmente, a ordem é igual ao número de elementos L e C no circuito e, em qualquer caso, não pode exceder esse número.

Operação

Diagrama animado mostrando o funcionamento de um circuito sintonizado (circuito LC). O capacitor C armazena energia em seu campo elétrico E e o indutor L armazena energia em seu campo magnético B ( verde ) . A animação mostra o circuito em pontos progressivos da oscilação. As oscilações são desaceleradas; em um circuito sintonizado real, a carga pode oscilar para frente e para trás milhares a bilhões de vezes por segundo.

Um circuito LC, oscilando em sua frequência ressonante natural , pode armazenar energia elétrica . Veja a animação. Um capacitor armazena energia no campo elétrico ( E ) entre suas placas, dependendo da tensão que passa por ele, e um indutor armazena energia em seu campo magnético ( B ), dependendo da corrente que passa por ele.

Se um indutor for conectado através de um capacitor carregado, a tensão através do capacitor irá conduzir uma corrente através do indutor, criando um campo magnético ao seu redor. A tensão no capacitor cai para zero à medida que a carga é consumida pelo fluxo de corrente. Nesse ponto, a energia armazenada no campo magnético da bobina induz uma tensão na bobina, porque os indutores se opõem às mudanças na corrente. Essa tensão induzida faz com que uma corrente comece a recarregar o capacitor com uma tensão de polaridade oposta à sua carga original. Devido à lei de Faraday , o EMF que impulsiona a corrente é causado por uma diminuição no campo magnético, portanto, a energia necessária para carregar o capacitor é extraída do campo magnético. Quando o campo magnético estiver completamente dissipado a corrente irá parar e a carga voltará a ser armazenada no capacitor, com a polaridade oposta de antes. Então o ciclo começará novamente, com a corrente fluindo na direção oposta através do indutor.

A carga flui para frente e para trás entre as placas do capacitor, através do indutor. A energia oscila para frente e para trás entre o capacitor e o indutor até (se não for reabastecido por um circuito externo) a resistência interna faz com que as oscilações morram. A ação do circuito sintonizado, conhecido matematicamente como oscilador harmônico , é semelhante a um pêndulo balançando para frente e para trás, ou água espirrando para frente e para trás em um tanque; por esta razão, o circuito também é denominado circuito tanque . A frequência natural (ou seja, a frequência na qual ele irá oscilar quando isolado de qualquer outro sistema, conforme descrito acima) é determinada pelos valores de capacitância e indutância. Na maioria das aplicações, o circuito sintonizado faz parte de um circuito maior que aplica corrente alternada a ele, gerando oscilações contínuas. Se a frequência da corrente aplicada for a frequência ressonante natural do circuito (frequência natural abaixo), a ressonância ocorrerá e uma pequena corrente motriz pode excitar tensões e correntes oscilantes de grande amplitude. Em circuitos sintonizados típicos em equipamentos eletrônicos, as oscilações são muito rápidas, de milhares a bilhões de vezes por segundo.

Efeito de ressonância

A ressonância ocorre quando um circuito LC é acionado por uma fonte externa em uma frequência angular ω 0 na qual as reatâncias indutiva e capacitiva são iguais em magnitude. A frequência na qual essa igualdade é mantida para um determinado circuito é chamada de frequência ressonante. A frequência ressonante do circuito LC é

onde L é a indutância em henries e C é a capacitância em farads . A frequência angular ω 0 tem unidades de radianos por segundo.

A frequência equivalente em unidades de hertz é

Formulários

O efeito de ressonância do circuito LC tem muitas aplicações importantes no processamento de sinais e sistemas de comunicação.

  • A aplicação mais comum de circuitos tanque é sintonizar transmissores e receptores de rádio. Por exemplo, ao sintonizar um rádio em uma estação específica, os circuitos LC são ajustados em ressonância para aquela frequência portadora específica .
  • Um circuito ressonante em série fornece ampliação de tensão .
  • Um circuito ressonante paralelo fornece ampliação de corrente .
  • Um circuito ressonante paralelo pode ser usado como impedância de carga em circuitos de saída de amplificadores de RF. Devido à alta impedância, o ganho do amplificador é máximo na frequência de ressonância.
  • Os circuitos ressonantes paralelos e em série são usados ​​no aquecimento por indução .

Os circuitos LC se comportam como ressonadores eletrônicos , que são um componente-chave em muitas aplicações:

Solução de domínio do tempo

Leis de Kirchhoff

Pela lei de tensão de Kirchhoff , a tensão V C no capacitor mais a tensão V L no indutor deve ser igual a zero:

Da mesma forma, pela lei atual de Kirchhoff , a corrente através do capacitor é igual à corrente através do indutor:

A partir das relações constitutivas para os elementos do circuito, também sabemos que

Equação diferencial

Reorganizar e substituir dá a equação diferencial de segunda ordem

O parâmetro ω 0 , a frequência angular ressonante , é definido como

Usar isso pode simplificar a equação diferencial:

A transformação de Laplace associada é

portanto

onde j é a unidade imaginária .

Solução

Assim, a solução completa para a equação diferencial é

e pode ser resolvido para A e B considerando as condições iniciais. Como o exponencial é complexo , a solução representa uma corrente alternada senoidal . Como a corrente elétrica I é uma quantidade física, ela deve ser avaliada como real. Como resultado, pode-se mostrar que as constantes A e B devem ser conjugados complexos :

Agora deixe

Portanto,

A seguir, podemos usar a fórmula de Euler para obter uma senoide real com amplitude I 0 , frequência angular ω 0 = 1/LCe ângulo de fase .

Assim, a solução resultante torna-se

Condições iniciais

As condições iniciais que satisfariam este resultado são

Circuito em série

Circuito série LC

Na configuração em série do circuito LC, o indutor (L) e o capacitor (C) são conectados em série, conforme mostrado aqui. A tensão total V nos terminais abertos é simplesmente a soma da tensão no indutor e na tensão no capacitor. A corrente I no terminal positivo do circuito é igual à corrente através do capacitor e do indutor.

Ressonância

A magnitude da reatância indutiva X L aumenta com o aumento da frequência, enquanto a magnitude da reatância capacitiva X C diminui com o aumento da frequência. Em uma determinada frequência, essas duas reatâncias são iguais em magnitude, mas em sinais opostos; essa frequência é chamada de frequência ressonante f 0 para o circuito fornecido.

Portanto, na ressonância,

Resolvendo para ω , temos

que é definida como a frequência angular ressonante do circuito. Convertendo a frequência angular (em radianos por segundo) em frequência (em hertz), tem-se

Em uma configuração em série, X C e X L se cancelam. Em componentes reais, ao invés de idealizados, a corrente é oposta, principalmente pela resistência dos enrolamentos da bobina. Assim, a corrente fornecida a um circuito ressonante em série é máxima na ressonância.

  • No limite como ff 0 a corrente é máxima. A impedância do circuito é mínima. Neste estado, um circuito é chamado de circuito aceitador
  • Para f < f 0 , X L «- X C . Portanto, o circuito é capacitivo.
  • Para f > f 0 , X L »- X C . Portanto, o circuito é indutivo.

Impedância

Na configuração em série, a ressonância ocorre quando a impedância elétrica complexa do circuito se aproxima de zero.

Considere primeiro a impedância do circuito LC em série. A impedância total é dada pela soma das impedâncias indutiva e capacitiva:

Escrevendo a impedância indutiva como Z L = jωL e a impedância capacitiva como Z C =1/JWC e substituindo dá

Escrever esta expressão sob um denominador comum dá

Finalmente, definindo a frequência angular natural como

a impedância torna-se

O numerador implica que no limite como ω → ± ω 0 , a impedância total Z será zero e, de outra forma, diferente de zero. Portanto, o circuito LC em série, quando conectado em série com uma carga, atuará como um filtro passa-faixa com impedância zero na frequência de ressonância do circuito LC.

Circuito paralelo

Circuito LC paralelo

Quando o indutor (L) e o capacitor (C) são conectados em paralelo como mostrado aqui, a tensão V nos terminais abertos é igual à tensão no indutor e na tensão no capacitor. A corrente total I fluindo para o terminal positivo do circuito é igual à soma da corrente fluindo através do indutor e a corrente fluindo através do capacitor:

Ressonância

Quando X L é igual a X C , as duas correntes de ramificação são iguais e opostas. Eles se cancelam para fornecer corrente mínima na linha principal (em princípio, corrente zero). No entanto, há uma grande corrente circulando entre o capacitor e o indutor. Em princípio, essa corrente circulante é infinita, mas na realidade é limitada pela resistência do circuito, principalmente a resistência dos enrolamentos indutores. Como a corrente total é mínima, neste estado a impedância total é máxima.

A frequência ressonante é dada por

Observe que qualquer corrente de ramificação não é mínima na ressonância, mas cada uma é dada separadamente dividindo a tensão da fonte ( V ) pela reatância ( Z ). Portanto, I =V/Z, de acordo com a lei de Ohm .

  • Em f 0 , a corrente da linha é mínima. A impedância total é máxima. Nesse estado, um circuito é denominado circuito rejeitor .
  • Abaixo de f 0 , o circuito é indutivo.
  • Acima de f 0 , o circuito é capacitivo.

Impedância

A mesma análise pode ser aplicada ao circuito LC paralelo. A impedância total é então dada por

e após a substituição de Z L = jωL e Z C =1/JWC e simplificação, dá

Usando

simplifica ainda mais para

Observe que

mas para todos os outros valores de ω a impedância é finita. O circuito LC paralelo conectado em série com uma carga agirá como filtro de parada de banda com impedância infinita na frequência de ressonância do circuito LC. O circuito LC paralelo conectado em paralelo com uma carga atuará como filtro passa-banda .

Solução Laplace

O circuito LC pode ser resolvido pela transformada de Laplace .

Deixe a equação geral ser:

Seja a equação diferencial da série LC:

Com condição inicial:

Vamos definir:

Dá:

Transforme com Laplace:

Então, antitransforme:

No caso de a tensão de entrada ser a função de etapa de Heaviside :

Caso a tensão de entrada seja uma função senoidal:

História

A primeira evidência de que um capacitor e indutor poderia produzir oscilações elétricas foi descoberta em 1826 pelo cientista francês Felix Savary . Ele descobriu que quando uma jarra de Leyden era descarregada através de um fio enrolado em uma agulha de ferro, às vezes a agulha ficava magnetizada em uma direção e às vezes na direção oposta. Ele deduziu corretamente que isso era causado por uma corrente de descarga oscilante amortecida no fio, que inverteu a magnetização da agulha para frente e para trás até que ela fosse pequena demais para ter um efeito, deixando a agulha magnetizada em uma direção aleatória. O físico americano Joseph Henry repetiu o experimento de Savary em 1842 e chegou à mesma conclusão, aparentemente de forma independente. O cientista irlandês William Thomson (Lord Kelvin) em 1853 mostrou matematicamente que a descarga de uma jarra de Leyden por meio de uma indutância deveria ser oscilatória e derivou sua frequência de ressonância. O pesquisador de rádio britânico Oliver Lodge , ao descarregar uma grande bateria de potes de Leyden através de um longo fio, criou um circuito sintonizado com sua frequência ressonante na faixa de áudio, que produziu um tom musical a partir da faísca ao ser descarregada. Em 1857, o físico alemão Berend Wilhelm Feddersen fotografou a faísca produzida por um circuito de jarra ressonante de Leyden em um espelho giratório, fornecendo evidências visíveis das oscilações. Em 1868, o físico escocês James Clerk Maxwell calculou o efeito da aplicação de uma corrente alternada a um circuito com indutância e capacitância, mostrando que a resposta é máxima na frequência de ressonância. O primeiro exemplo de uma curva de ressonância elétrica foi publicado em 1887 pelo físico alemão Heinrich Hertz em seu artigo pioneiro sobre a descoberta de ondas de rádio, mostrando o comprimento da centelha que pode ser obtido de seus detectores ressonadores LC com centelha em função da frequência.

Uma das primeiras demonstrações de ressonância entre circuitos sintonizados foi o experimento de "jarros sintônicos" de Lodge por volta de 1889. Ele colocou dois circuitos ressonantes próximos um do outro, cada um consistindo em um jarro de Leyden conectado a uma bobina ajustável de uma volta com um centelhador. Quando uma alta tensão de uma bobina de indução era aplicada a um circuito sintonizado, criando faíscas e, portanto, correntes oscilantes, as faíscas eram excitadas no outro circuito sintonizado apenas quando os circuitos eram ajustados para ressonância. Lodge e alguns cientistas ingleses preferiram o termo " sintonia " para esse efeito, mas o termo " ressonância " acabou aderindo. O primeiro uso prático para circuitos LC foi na década de 1890 em transmissores de rádio de centelha para permitir que o receptor e o transmissor fossem sintonizados na mesma frequência. A primeira patente de um sistema de rádio que permitia sintonização foi registrada por Lodge em 1897, embora os primeiros sistemas práticos tenham sido inventados em 1900 pelo pioneiro do rádio italiano Guglielmo Marconi .

Veja também

Referências

links externos