Tricotomia (matemática) - Trichotomy (mathematics)

Em matemática , a lei da tricotomia afirma que todo número real é positivo, negativo ou zero.

De modo mais geral, uma relação binária R em um conjunto X é tricotômica se para todo x e y em X , exatamente um dos xRy , YRX e x  =  y segura. Escrevendo R como <, isso é declarado na lógica formal como:

Propriedades

Exemplos

  • No conjunto X = { a , b , c }, a relação R = {( a , b ), ( a , c ), ( b , c )} é transitiva e tricotômica e, portanto, uma ordem total estrita .
  • No mesmo conjunto, a relação cíclica R = {( a , b ), ( b , c ), ( c , a )} é tricotômica, mas não transitiva; é até antitransitivo .

Tricotomia em números

Uma lei de tricotomia em algum conjunto X de números geralmente expressa que alguma relação de ordenação dada tacitamente em X é tricotômica. Um exemplo é a lei "Para números reais arbitrários x e y , exatamente um dos x < y , y < x ou x  =  y se aplica"; alguns autores até fixam y como zero, baseando-se na estrutura de grupo linearmente ordenada aditiva do número real . Este último é um grupo equipado com uma ordem tricotômica.

Na lógica clássica, esse axioma da tricotomia vale para a comparação comum entre números reais e, portanto, também para comparações entre inteiros e entre números racionais . A lei não se aplica em geral na lógica intuicionista .

Na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel e na teoria dos conjuntos de Bernays , a lei da tricotomia é válida entre os números cardinais de conjuntos bem ordenáveis, mesmo sem o axioma da escolha . Se o axioma da escolha for válido, a tricotomia será válida entre os números cardinais arbitrários (porque todos são bem ordenados nesse caso).

Veja também

Referências