Transversal (geometria) - Transversal (geometry)
| Tipos de ângulos |
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| Ângulos 2D |
| Exterior |
| Pares de ângulos 2D |
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Adjacente |
| Ângulos 3D |
| Diédrico |
Em geometria , uma transversal é uma linha que passa por duas linhas no mesmo plano em dois pontos distintos . Os transversais desempenham um papel em estabelecer se duas ou mais outras linhas no plano euclidiano são paralelas . Os cruzamentos de uma transversal, com duas linhas de criar vários tipos de pares de ângulos: ângulos internos consecutivos , ângulos exteriores consecutivos , ângulos correspondentes , e ângulos alternados . Como consequência do postulado paralelo de Euclides , se as duas retas são paralelas, os ângulos internos consecutivos são suplementares , os ângulos correspondentes são iguais e os ângulos alternados são iguais.
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| Oito ângulos de uma transversal. ( Ângulos verticais como e são sempre congruentes.) |
Transversal entre linhas não paralelas. Os ângulos consecutivos não são complementares. |
Transversal entre linhas paralelas. Os ângulos consecutivos são complementares. |
Ângulos de uma transversal
Uma transversal produz 8 ângulos, conforme mostrado no gráfico acima à esquerda:
- 4 com cada uma das duas linhas, nomeadamente α, β, γ e δ e, em seguida, α 1 , β 1 , γ 1 e δ 1 ; e
- 4 dos quais são interiores (entre as duas linhas), nomeadamente α, β, γ 1 e δ 1 e 4 dos quais são exteriores , nomeadamente α 1 , β 1 , γ e δ.
Uma transversal que corta duas linhas paralelas em ângulos retos é chamada de transversal perpendicular . Neste caso, todos os 8 ângulos são ângulos retos
Quando as retas são paralelas , caso frequentemente considerado, uma transversal produz vários ângulos congruentes e vários ângulos suplementares . Alguns desses pares de ângulos têm nomes específicos e são discutidos a seguir: ângulos correspondentes, ângulos alternados e ângulos consecutivos.
Ângulos alternados
Os ângulos alternados são os quatro pares de ângulos que:
- têm pontos de vértice distintos ,
- mentir em lados opostos da transversal e
- ambos os ângulos são internos ou externos.
Se os dois ângulos de um par são congruentes (iguais em medida), então os ângulos de cada um dos outros pares também são congruentes.
Proposição 1,27 de de Euclides Elementos , um teorema de geometria absoluto (daí válido em ambas hiperbólica e Geometria Euclidiana ), mostra que se os ângulos de um par de ângulos alternados, uma transversal são congruentes, em seguida, as duas linhas são paralelas (não intersectando).
Resulta de Euclides postulado paralelo que, se as duas linhas são paralelas, em seguida, os ângulos de um par de ângulos alternados, uma transversal são congruentes (proposição de 1,29 de Euclides Elementos ).
Ângulos correspondentes
Os ângulos correspondentes são os quatro pares de ângulos que:
- têm pontos de vértice distintos,
- deitar no mesmo lado da transversal e
- um ângulo é interno e o outro é externo.
Duas linhas são paralelas se e somente se os dois ângulos de qualquer par de ângulos correspondentes de qualquer transversal forem congruentes (iguais em medida).
Proposição 1,28 de de Euclides Elementos , um teorema de geometria absoluto (daí válido em ambas hiperbólica e Geometria Euclidiana ), mostra que se os ângulos de um par de ângulos de uma transversal correspondente são congruentes, em seguida, as duas linhas são paralelas (não intersectando).
Resulta de Euclides postulado paralelo que, se as duas linhas são paralelas, em seguida, os ângulos de um par de correspondentes ângulos de um transversal são congruentes (proposição de 1,29 de Euclides Elementos ).
Se os ângulos de um par de ângulos correspondentes são congruentes, então os ângulos de cada um dos outros pares também são congruentes. Nas várias imagens com linhas paralelas nesta página, os pares de ângulos correspondentes são: α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 e δ = δ 1 .
Ângulos internos consecutivos
Os ângulos internos consecutivos são os dois pares de ângulos que:
- têm pontos de vértice distintos,
- deitar no mesmo lado da transversal e
- são ambos interiores.
Duas linhas são paralelas se e somente se os dois ângulos de qualquer par de ângulos internos consecutivos de qualquer transversal forem suplementares (somam 180 °).
Proposição de 1,28 de Euclides Elementos , um teorema de geometria absoluto (daí válido em ambas hiperbólica e Geometria Euclidiana ), mostra que se os ângulos de um par de ângulos internos consecutivos são complementares, em seguida, as duas linhas são paralelas (não intersectando).
Resulta de Euclides postulado paralelo que, se as duas linhas são paralelas, em seguida, os ângulos de um par de ângulos internos consecutivos de uma transversais são suplementares (proposição de 1,29 de Euclides Elementos ).
Se um par de ângulos internos consecutivos for suplementar, o outro par também será suplementar.
Outras características de transversais
Se três retas em posição geral formam um triângulo são então cortadas por uma transversal, os comprimentos dos seis segmentos resultantes satisfazem o teorema de Menelau .
Teoremas relacionados
A formulação de Euclides do postulado paralelo pode ser expressa em termos de uma transversal. Especificamente, se os ângulos internos no mesmo lado da transversal forem menores que dois ângulos retos, então as linhas devem se cruzar. Na verdade, Euclides usa a mesma frase em grego que geralmente é traduzida como "transversal".
A proposição 27 de Euclides afirma que se uma transversal intercepta duas retas de modo que ângulos internos alternados sejam congruentes, então as retas são paralelas. Euclides prova isso por contradição : se as linhas não são paralelas, elas devem se cruzar e um triângulo é formado. Então, um dos ângulos alternados é um ângulo externo igual ao outro ângulo, que é um ângulo interno oposto no triângulo. Isso contradiz a Proposição 16, que afirma que um ângulo externo de um triângulo é sempre maior do que os ângulos internos opostos.
A proposição 28 de Euclides estende esse resultado de duas maneiras. Primeiro, se uma transversal cruza duas linhas de modo que os ângulos correspondentes sejam congruentes, então as linhas são paralelas. Em segundo lugar, se uma transversal cruza duas linhas de modo que os ângulos internos do mesmo lado da transversal sejam suplementares, então as linhas são paralelas. Estas decorrem da proposição anterior, aplicando o fato de que os ângulos opostos das linhas que se cruzam são iguais (Prop. 15) e que os ângulos adjacentes em uma linha são suplementares (Prop. 13). Conforme observado por Proclus , Euclides fornece apenas três dos seis possíveis critérios para linhas paralelas.
A proposição 29 de Euclides é uma inversa às duas anteriores. Primeiro, se uma transversal cruza duas linhas paralelas, então os ângulos internos alternados são congruentes. Se não, então um é maior que o outro, o que implica que seu suplemento é menor que o suplemento do outro ângulo. Isso implica que existem ângulos internos do mesmo lado da transversal que são menores que dois ângulos retos, contradizendo o quinto postulado. A proposição continua afirmando que em uma transversal de duas linhas paralelas, os ângulos correspondentes são congruentes e os ângulos internos do mesmo lado são iguais a dois ângulos retos. Essas declarações seguem da mesma forma que a Prop. 28 segue da Prop. 27.
A prova de Euclides faz uso essencial do quinto postulado, entretanto, os tratamentos modernos da geometria usam o axioma de Playfair . Para provar a proposição 29 assumindo o axioma de Playfair, deixe uma transversal cruzar duas linhas paralelas e supor que os ângulos internos alternados não são iguais. Desenhe uma terceira linha passando pelo ponto onde a transversal cruza a primeira linha, mas com um ângulo igual ao ângulo que a transversal faz com a segunda linha. Isso produz duas linhas diferentes através de um ponto, ambas paralelas a outra linha, contradizendo o axioma.
Em dimensões superiores
Em espaços de dimensões superiores, uma linha que cruza cada um de um conjunto de linhas em pontos distintos é uma transversal desse conjunto de linhas. Ao contrário do caso bidimensional (plano), não há garantia de existência de transversais para conjuntos de mais de duas linhas.
Em euclidiana 3-espaço, um régulo é um conjunto de linhas de inclinação , R , de tal modo que através de cada ponto de cada linha de R , não passa uma transversal de R e através de cada ponto de uma transversal de R não passa de uma linha de R . O conjunto de transversais de um régulo R também é um régulo, denominado régulo oposto , R o . Neste espaço, três linhas mutuamente inclinadas sempre podem ser estendidas para um régulo.
Referências
- Holgate, Thomas Franklin (1901). Geometria Elementar . Macmillan.
- Thomas Little Heath, TL (1908). Os treze livros dos Elementos de Euclides . 1 . The University Press. pp. 307 e segs.