Trajetória - Trajectory

Ilustração que mostra a trajetória de uma bala disparada contra um alvo em subida.

Uma trajetória ou caminho de vôo é o caminho que um objeto com massa em movimento segue através do espaço em função do tempo. Na mecânica clássica , uma trajetória é definida pela mecânica hamiltoniana por meio de coordenadas canônicas ; portanto, uma trajetória completa é definida por posição e momento, simultaneamente.

A massa pode ser um projétil ou um satélite . Por exemplo, pode ser uma órbita - a trajetória de um planeta , asteróide ou cometa enquanto viaja ao redor de uma massa central .

Na teoria de controle , uma trajetória é um conjunto ordenado pelo tempo de estados de um sistema dinâmico (ver, por exemplo, o mapa de Poincaré ). Na matemática discreta , uma trajetória é uma sequência de valores calculada pela aplicação iterada de um mapeamento a um elemento de sua origem. ${\ displaystyle (f ^ {k} (x)) _ {k \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$

Física das trajetórias

Um exemplo familiar de trajetória é a trajetória de um projétil, como uma bola ou pedra arremessada. Em um modelo significativamente simplificado, o objeto se move apenas sob a influência de um campo de força gravitacional uniforme . Essa pode ser uma boa aproximação para uma rocha que é lançada por curtas distâncias, por exemplo, na superfície da lua . Nesta aproximação simples, a trajetória assume a forma de uma parábola . Geralmente, ao determinar as trajetórias, pode ser necessário levar em consideração as forças gravitacionais não uniformes e a resistência do ar ( arrasto e aerodinâmica ). Este é o foco da disciplina de balística .

Uma das conquistas notáveis ​​da mecânica newtoniana foi a derivação das leis de Kepler . No campo gravitacional de uma massa pontual ou uma massa estendida esfericamente simétrica (como o Sol ), a trajetória de um objeto em movimento é uma seção cônica , geralmente uma elipse ou uma hipérbole . Isso concorda com as órbitas observadas de planetas , cometas e espaçonaves artificiais em uma aproximação razoavelmente boa, embora se um cometa passar perto do Sol, então ele também é influenciado por outras forças , como o vento solar e a pressão da radiação , que modificam o orbitar e fazer com que o cometa ejete material para o espaço.

A teoria de Newton posteriormente se desenvolveu no ramo da física teórica conhecido como mecânica clássica . Ele emprega a matemática do cálculo diferencial (que também foi iniciada por Newton em sua juventude). Ao longo dos séculos, inúmeros cientistas contribuíram para o desenvolvimento dessas duas disciplinas. A mecânica clássica tornou-se a demonstração mais proeminente do poder do pensamento racional, ou seja , da razão , tanto na ciência quanto na tecnologia. Ajuda a compreender e prever uma enorme gama de fenômenos ; as trajetórias são apenas um exemplo.

Considere uma partícula de massa movendo-se em um campo potencial . Fisicamente falando, a massa representa a inércia , e o campo representa as forças externas de um tipo particular conhecido como "conservador". Dado em cada posição relevante, existe uma maneira de inferir a força associada que atuaria naquela posição, digamos da gravidade. No entanto, nem todas as forças podem ser expressas dessa forma. ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$

O movimento da partícula é descrito pela equação diferencial de segunda ordem

${\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {x}} (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - \ nabla V ({\ vec {x}} (t)) {\ text {com}} {\ vec {x}} = (x, y, z).}$

No lado direito, a força é dada em termos de , o gradiente do potencial, tomado em posições ao longo da trajetória. Esta é a forma matemática da segunda lei do movimento de Newton : força é igual a massa vezes aceleração, para tais situações. ${\ displaystyle \ nabla V}$

Exemplos

Gravidade uniforme, nem arrasto nem vento

Trajetórias de uma massa lançada em um ângulo de 70 °,
 sem arrastar
 com arrasto de Stokes
 com arrasto de Newton

O caso ideal de movimento de um projétil em um campo gravitacional uniforme na ausência de outras forças (como a resistência do ar) foi investigado pela primeira vez por Galileo Galilei . Negligenciar a ação da atmosfera na formação de uma trajetória teria sido considerado uma hipótese fútil por investigadores de espírito prático durante toda a Idade Média na Europa . No entanto, ao antecipar a existência do vácuo , a ser posteriormente demonstrado na Terra por seu colaborador Evangelista Torricelli , Galileu foi capaz de iniciar a futura ciência da mecânica . Quase no vácuo, como acontece, por exemplo, na Lua , sua trajetória parabólica simplificada prova essencialmente correta.

Na análise que se segue, derivamos a equação do movimento de um projétil medido a partir de um referencial inercial em repouso em relação ao solo. Associado ao quadro está um sistema de coordenadas à direita com sua origem no ponto de lançamento do projétil. O eixo é tangente ao solo e o eixo é perpendicular a ele (paralelo às linhas do campo gravitacional). Deixe ser a aceleração da gravidade . Em relação ao terreno plano, seja a velocidade horizontal inicial e a velocidade vertical inicial . Também será mostrado que o alcance é e a altitude máxima é . A faixa máxima para uma determinada velocidade inicial é obtida quando , ou seja, o ângulo inicial é de 45 . Este alcance é , e a altitude máxima no alcance máximo é . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle v_ {h} = v \ cos (\ theta)}$${\ displaystyle v_ {v} = v \ sin (\ theta)}$${\ displaystyle 2v_ {h} v_ {v} / g}$${\ displaystyle v_ {v} ^ {2} / 2g}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v_ {h} = v_ {v}}$${\ displaystyle ^ {\ circ}}$${\ displaystyle v ^ {2} / g}$${\ displaystyle v ^ {2} / (4g)}$

Derivação da equação do movimento

Suponha que o movimento do projétil está sendo medido a partir de um quadro de queda livre que está em ( x , y ) = (0,0) em  t  = 0. A equação do movimento do projétil neste quadro (pelo princípio de equivalência ) seria . As coordenadas desse referencial de queda livre, em relação ao nosso referencial inercial, seriam . Ou seja ,. ${\ displaystyle y = x \ tan (\ theta)}$${\ displaystyle y = -gt ^ {2} / 2}$${\ displaystyle y = -g (x / v_ {h}) ^ {2} / 2}$

Agora, traduzindo de volta para o referencial inercial, as coordenadas do projétil tornam-se Isto é: ${\ displaystyle y = x \ tan (\ theta) -g (x / v_ {h}) ^ {2} / 2}$

${\ displaystyle y = - {g \ sec ^ {2} \ theta \ over 2v_ {0} ^ {2}} x ^ {2} + x \ tan \ theta,}$

(onde v ₀ é a velocidade inicial, é o ângulo de elevação eg é a aceleração devido à gravidade). ${\ displaystyle \ theta}$

Alcance e altura

Trajetórias de projéteis lançados em diferentes ângulos de elevação, mas à mesma velocidade de 10 m / s no vácuo e campo de gravidade descendente uniforme de 10 m / s ² . Os pontos estão em intervalos de 0,05 se o comprimento de suas caudas é linearmente proporcional à sua velocidade. t = tempo desde o lançamento, T = tempo de vôo, R = alcance e H = ponto mais alto da trajetória (indicado com setas).

O intervalo , R , é a maior distância que o objeto percorre ao longo do eixo x no setor I. A velocidade inicial , v _i , é a velocidade com que o referido objeto é lançado do ponto de origem. O ângulo inicial , θ _i , é o ângulo no qual o referido objeto é liberado. O g é a respectiva força gravitacional sobre o objecto dentro de um nulo-forma.

${\ displaystyle R = {v_ {i} ^ {2} \ sin 2 \ theta _ {i} \ over g}}$

A altura , h , é a maior altura parabólica que o referido objeto atinge em sua trajetória

${\ displaystyle h = {v_ {i} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {i} \ over 2g}}$

Ângulo de elevação

Um exemplo que mostra como calcular a trajetória do marcador

Em termos de ângulo de elevação e velocidade inicial : ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle v_ {h} = v \ cos \ theta, \ quad v_ {v} = v \ sin \ theta \;}$

dando o alcance como

${\ displaystyle R = 2v ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) / g = v ^ {2} \ sin (2 \ theta) / g \ ,.}$

Esta equação pode ser reorganizada para encontrar o ângulo para um intervalo necessário

${\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {2}} \ sin ^ {- 1} \ left ({\ frac {gR} {v ^ {2}}} \ right)}$ (Equação II: ângulo de lançamento do projétil)

Observe que a função seno é tal que existem duas soluções para um determinado intervalo . O ângulo que dá o intervalo máximo pode ser encontrado considerando a derivada ou em relação a e definindo-a como zero. ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle d_ {h}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {\ mathrm {d} R \ over \ mathrm {d} \ theta} = {2v ^ {2} \ over g} \ cos (2 \ theta) = 0}$

que tem uma solução não trivial em , ou . O alcance máximo é então . Neste ângulo , então a altura máxima obtida é . ${\ displaystyle 2 \ theta = \ pi / 2 = 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ theta = 45 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle R _ {\ max} = v ^ {2} / g \,}$${\ displaystyle \ sin (\ pi / 2) = 1}$${\ displaystyle {v ^ {2} \ over 4g}}$

Para encontrar o ângulo que dá a altura máxima para uma dada velocidade, calcule a derivada da altura máxima em relação a , ou seja, que é zero quando . Portanto, a altura máxima é obtida quando o projétil é disparado para cima. ${\ displaystyle H = v ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) / (2g)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ mathrm {d} H \ over \ mathrm {d} \ theta} = v ^ {2} 2 \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) / (2g)}$${\ displaystyle \ theta = \ pi / 2 = 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle H _ {\ mathrm {max}} = {v ^ {2} \ over 2g}}$

Objetos em órbita

Se em vez de uma força gravitacional descendente uniforme considerarmos dois corpos orbitando com a gravitação mútua entre eles, obteremos as leis de Kepler do movimento planetário . A derivação desses foi um dos principais trabalhos de Isaac Newton e forneceu grande parte da motivação para o desenvolvimento do cálculo diferencial .

Pegando bolas

Se um projétil, como uma bola de beisebol ou críquete, viaja em uma trajetória parabólica, com resistência do ar insignificante, e se um jogador está posicionado de forma a pegá-lo enquanto desce, ele vê seu ângulo de elevação aumentando continuamente ao longo de seu vôo. A tangente do ângulo de elevação é proporcional ao tempo decorrido desde que a bola foi lançada para o ar, geralmente por ser golpeada com um taco. Mesmo quando a bola está realmente descendo, perto do final de seu vôo, seu ângulo de elevação visto pelo jogador continua aumentando. O jogador, portanto, vê como se estivesse subindo verticalmente a uma velocidade constante. Encontrar o ponto de onde a bola parece subir de forma constante ajuda o jogador a se posicionar corretamente para fazer a recepção. Se ele estiver muito perto do batedor que acertou a bola, ela parecerá subir em um ritmo acelerado. Se ele estiver muito longe do batedor, parecerá desacelerar rapidamente e, em seguida, descer.

Notas

Veja também

• Trajetória de cruzamento de popa
• Deslocamento (geometria)
• Invariância Galileana
• Órbita (dinâmica)
• Órbita (teoria do grupo)
• Trajetória orbital
• Órbita planetária
• Enredo de porco
• Movimento do projétil
• Alcance de um projétil
• Corpo rígido
• Linha mundial

Referências

links externos

• Applet Flash de Movimento de Projétil :)
• Calculadora de trajetória
• Uma simulação interativa sobre o movimento do projétil
• Laboratório de projéteis, simulador de trajetória JavaScript
• Movimento de projétil parabólico: Atirando em um dardo tranquilizante inofensivo em um macaco caído por Roberto Castilla-Meléndez, Roxana Ramírez-Herrera e José Luis Gómez-Muñoz, The Wolfram Demonstrations Project .
• Trajetória , ScienceWorld.
• Simulação de movimento de projétil em Java, com resistência do ar de primeira ordem.
• Simulação de movimento de projétil em Java; soluções de direcionamento, parábola de segurança.