O Livro Compendido sobre Cálculo por Conclusão e Balanceamento -The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing

title page in Arabic writing and calligraphy; hand-drawn ornamental frame; parchment is gilded and stained from age
página de título, século 9
Autor Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi
Título original كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة
País Califado Abássida
Língua árabe
Sujeito Álgebra
Gênero Matemática
Texto original
كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة noWikisourceárabe

Livro da Restauração e do Balanceamento ( árabe : ٱلكتاب ٱلمختصر في حساب ٱلجبر وٱلمقابلة , al-Kitāb al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr Wal-Muqābalah ; Latina : Liber Algebræ et Almucabola ), também conhecido como Al-Jabr ( ٱلْجَبْر ), é umtratado matemático árabe sobre álgebra escrito pelo Polymath Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī por volta de 820 dC enquanto ele estava nacapital abássida de Bagdá , o atual Iraque . Al-Jabr foi um trabalho marcante na história da matemática , estabelecendo a álgebra como uma disciplina independente e com o termo "álgebra" derivado de Al-Jabr .

The Compendious Book forneceu um relato exaustivo da solução para as raízes positivas de equações polinomiais até o segundo grau. Foi o primeiro texto a ensinar álgebra de forma elementar e por si só. Também introduziu o conceito fundamental de "redução" e "equilíbrio" (ao qual o termo al-jabr originalmente se referia), a transposição de termos subtraídos para o outro lado de uma equação, ou seja, o cancelamento de termos semelhantes em lados opostos do equação. O historiador da matemática Victor J. Katz considera Al-Jabr o primeiro texto de álgebra verdadeiro que ainda existe. Traduzido para o latim por Robert de Chester em 1145, foi usado até o século XVI como o principal livro de matemática das universidades europeias.

Vários autores também publicaram textos com esse nome, incluindo Abū Ḥanīfa al-Dīnawarī , Abū Kāmil Shujā ibn Aslam , Abū Muḥammad al-ʿAdlī, Abū Yūsuf al-Miṣṣīṣī, 'Abd al-Hamīd ibn Turk , Sind ibn ʿAlī, Sahl ibnr e Šarafaddīn al-Ṭūsī .

Legado

R. Rashed e Angela Armstrong escrevem:

O texto de Al-Khwarizmi pode ser visto para ser distinto não só dos comprimidos babilônicos , mas também do Diofanto ' Aritmética . Não se trata mais de uma série de problemas a serem resolvidos, mas de uma exposição que começa com termos primitivos em que as combinações devem dar todos os protótipos possíveis para as equações, que daí em diante explicitamente constituem o verdadeiro objeto de estudo. Por outro lado, a ideia de uma equação por si mesma surge desde o início e, dir-se-ia, de forma genérica, na medida em que não surge simplesmente no decurso da resolução de um problema, mas é especificamente chamada a definir uma classe infinita de problemas.

JJ O'Connor e EF Robertson escreveram no arquivo MacTutor History of Mathematics :

Talvez um dos avanços mais significativos da matemática árabe tenha começado nessa época com o trabalho de al-Khwarizmi, ou seja, o início da álgebra. É importante entender o quão significativa foi essa nova ideia. Foi um afastamento revolucionário do conceito grego de matemática, que era essencialmente geometria. A álgebra era uma teoria unificadora que permitia que números racionais , números irracionais , magnitudes geométricas, etc., fossem tratados como "objetos algébricos". Deu à matemática um caminho de desenvolvimento totalmente novo, muito mais amplo em conceito do que existia antes, e forneceu um veículo para o desenvolvimento futuro do assunto. Outro aspecto importante da introdução de idéias algébricas foi que ela permitiu que a matemática fosse aplicada a si mesma de uma forma que não tinha acontecido antes.

O livro

O livro foi uma compilação e extensão de regras conhecidas para resolver equações quadráticas e para alguns outros problemas, e considerado a base da álgebra, estabelecendo-a como uma disciplina independente. A palavra álgebra é derivada do nome de uma das operações básicas com equações descritas neste livro, seguindo sua tradução para o latim por Robert de Chester .

Equações quadráticas

Páginas de uma cópia árabe do século 14 do livro, mostrando soluções geométricas para duas equações quadráticas

O livro classifica equações quadráticas em um dos seis tipos básicos e fornece métodos algébricos e geométricos para resolver os básicos. O historiador Carl Boyer observa o seguinte em relação à falta de notações abstratas modernas no livro:

... a álgebra de al-Khwarizmi é totalmente retórica, sem nenhuma das sincopações (ver História da álgebra ) encontradas na Aritmética grega ou na obra de Brahmagupta . Até os números foram escritos em palavras ao invés de símbolos!

-  Carl B. Boyer, A History of Mathematics

Assim, as equações são descritas verbalmente em termos de "quadrados" (o que hoje seria " x 2 "), "raízes" (o que hoje seria " x ") e "números" ("constantes": números comuns soletrados, como 'quarenta e dois'). Os seis tipos, com notações modernas, são:

  1. quadrados raízes iguais ( ax 2 = bx )
  2. quadrados iguais em número ( ax 2 = c )
  3. raízes iguais em número ( bx = c )
  4. quadrados e raízes iguais em número ( ax 2 + bx = c )
  5. quadrados e número de raízes iguais ( ax 2 + c = bx )
  6. raízes e número de quadrados iguais ( bx + c = ax 2 )

Os matemáticos islâmicos, ao contrário dos hindus, não lidavam com números negativos; portanto, uma equação como bx + c = 0 não aparece na classificação, porque ela não tem soluções positivas se todos os coeficientes forem positivos. Da mesma forma, os tipos de equação 4, 5 e 6, que parecem equivalentes ao olho moderno, foram diferenciados porque os coeficientes devem ser todos positivos.

A operação al-ğabr ("forçar", "restaurar") está movendo uma quantidade deficiente de um lado da equação para o outro lado. No exemplo de um al-Khwarizmi (na notação moderna), " x 2 = 40 x  - 4 x 2 " é transformado por al-ğabr em "5 x 2 = 40 x ". A aplicação repetida desta regra elimina as quantidades negativas dos cálculos.

Al-Muqabala ( المقابله , "balanceamento" ou "correspondente") significa subtração da mesma quantidade positiva de ambos os lados: " x 2 + 5 = 40 x + 4 x 2 " é transformado em "5 = 40 x + 3 x 2 " A aplicação repetida desta regra faz com que as quantidades de cada tipo ("quadrado" / "raiz" / "número") apareçam na equação no máximo uma vez, o que ajuda a ver que existem apenas 6 tipos básicos de problemas solucionáveis, quando restritos a coeficientes e soluções positivas.

As partes subsequentes do livro não dependem da resolução de equações quadráticas.

Área e volume

O segundo capítulo do livro cataloga métodos de localização de área e volume . Isso inclui aproximações de pi (π), dadas três maneiras, como 3 1/7, √10 e 62832/20000. Esta última aproximação, igual a 3,1416, apareceu anteriormente no Āryabhaṭīya indiano (499 EC).

Outros tópicos

Al-Khwārizmī explica o calendário judaico e o ciclo de 19 anos descrito pela convergência de meses lunares e anos solares.

Cerca de metade do livro trata das regras islâmicas de herança , que são complexas e exigem habilidade em equações algébricas de primeira ordem.

Notas

Referências

Leitura adicional

links externos