Pseudotensor de tensão-energia-momento - Stress–energy–momentum pseudotensor
Na teoria da relatividade geral , um pseudotensor tensão-energia-momento , como o pseudotensor Landau-Lifshitz , é uma extensão do tensor tensão-energia não gravitacional que incorpora a energia-momento da gravidade. Ele permite que a energia-momento de um sistema de matéria gravitante seja definida. Em particular, permite que o total de matéria mais a energia-momento gravitante forme uma corrente conservada dentro da estrutura da relatividade geral , de modo que a energia-momento total cruzando a hipersuperfície (limite tridimensional) de qualquer hipervolume compacto de espaço-tempo ( Subvariedade quadridimensional) desaparece.
Algumas pessoas (como Erwin Schrödinger ) objetaram a esta derivação com o fundamento de que os pseudotensores são objetos inadequados na relatividade geral, mas a lei de conservação requer apenas o uso da 4- divergência de um pseudotensor que é, neste caso, um tensor (que também desaparece). Além disso, a maioria dos pseudotensores são seções de feixes de jato , que agora são reconhecidos como objetos perfeitamente válidos na Relatividade Geral.
Pseudotensor Landau – Lifshitz
O uso do pseudotensor Landau-Lifshitz , um stress-energia-momento pseudotensor para matéria combinado (incluindo fotões e neutrinos) mais gravidade, permite que as leis de conservação de energia-momento para ser estendido em relatividade geral . A subtração do tensor tensão-energia-momento da matéria do pseudotensor combinado resulta no pseudotensor tensão-energia-momento gravitacional.
Requisitos
Landau e Lifshitz foram liderados por quatro requisitos em sua busca por um pseudotensor de momento de energia gravitacional :
- que seja construído inteiramente a partir do tensor métrico , de modo que seja de origem puramente geométrica ou gravitacional.
- que seja índice simétrico, ou seja , (para conservar o momento angular )
- que, quando adicionado ao tensor tensão-energia da matéria, sua 4- divergência total desaparece (isso é exigido de qualquer corrente conservada ) de forma que temos uma expressão conservada para o total tensão-energia-momento.
- que ele desapareça localmente em um referencial inercial (o que requer que ele contenha apenas derivadas de primeira ordem e não derivadas de segunda ordem ou superior da métrica). Isso ocorre porque o princípio de equivalência requer que o campo de força gravitacional, os símbolos de Christoffel , desapareçam localmente em alguns quadros. Se a energia gravitacional é uma função de seu campo de força, como é usual para outras forças, então o pseudotensor gravitacional associado também deve desaparecer localmente.
Definição
Landau & Lifshitz mostraram que existe uma construção única que satisfaz estes requisitos, nomeadamente
Onde:
- G μν é o tensor de Einstein (que é construído a partir da métrica)
- g μν é o inverso do tensor métrico
- g = det ( g μν ) é o determinante do tensor métrico. g <0 , daí sua aparência como.
- são derivadas parciais , não derivadas covariantes .
- G é a constante gravitacional de Newton .
Verificação
Examinando as 4 condições de requisitos, podemos ver que as 3 primeiras são relativamente fáceis de demonstrar:
- Uma vez que o tensor de Einstein,, é ele próprio construído a partir da métrica, portanto, é
- Como o tensor de Einstein,, é simétrico, e os termos adicionais são simétricos por inspeção.
- O pseudotensor Landau-Lifshitz é construído de modo que, quando adicionado ao tensor de energia-momento da matéria, , seu total 4- divergência desaparece: . Isso decorre do cancelamento do tensor de Einstein , com o tensor tensão-energia , pelas equações de campo de Einstein ; o termo restante desaparece algebricamente devido à comutatividade de derivadas parciais aplicadas em índices anti-simétricos.
- O pseudotensor Landau-Lifshitz parece incluir termos segunda derivados na métrica, mas, de facto, os segundos termos derivativos explícitas na pseudotensor cancelar com os segundos termos derivados implícitos contidos dentro do tensor de Einstein , . Isso é mais evidente quando o pseudotensor é expresso diretamente em termos do tensor métrico ou a conexão de Levi-Civita ; apenas os primeiros termos derivados na métrica sobrevivem e desaparecem onde o referencial é localmente inercial em qualquer ponto escolhido. Como resultado, todo o pseudotensor desaparece localmente (novamente, em qualquer ponto escolhido) , o que demonstra a deslocalização da energia gravitacional-momento.
Constante cosmológica
Quando o pseudotensor Landau-Lifshitz foi formulado foi geralmente assumido que a constante cosmológica , , era zero. Hoje em dia não fazemos essa suposição , e a expressão precisa da adição de um termo, fornecendo:
Isso é necessário para consistência com as equações de campo de Einstein .
Versões de conexão métrica e afim
Landau e Lifshitz também fornecem duas expressões equivalentes, mas mais longas, para o pseudotensor Landau – Lifshitz:
-
Versão do tensor métrico :
-
Versão de conexão afim :
Esta definição de energia-momento é covariantemente aplicável não apenas sob transformações de Lorentz, mas também sob transformações de coordenadas gerais.
Pseudotensor Einstein
Este pseudotensor foi originalmente desenvolvido por Albert Einstein .
Paul Dirac mostrou que o pseudotensor de Einstein
satisfaz uma lei de conservação
Claramente, este pseudotensor para tensão-energia gravitacional é construído exclusivamente a partir do tensor métrico e seus primeiros derivados. Conseqüentemente, ele desaparece em qualquer evento quando o sistema de coordenadas é escolhido para fazer as primeiras derivadas da métrica desaparecerem porque cada termo no pseudotensor é quadrático nas primeiras derivadas da métrica. No entanto, não é simétrico e, portanto, não é adequado como base para definir o momento angular.
Veja também
Notas
Referências
- Perturbações não lineares e leis de conservação em fundos curvos em GR e outras teorias métricas de AN Petrov
- lantonov.blogspot.com/2012/02/landau-lifshitz-pseudotensor.html