Proporções Divinas: Trigonometria Racional para Geometria Universal -Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry
Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry é um livro de 2005 do matemático Norman J. Wildberger sobre uma proposta de abordagem alternativa à geometria euclidiana e trigonometria , chamada trigonometria racional . O livro preconiza a substituição das quantidades básicas usuais de trigonometria, distância euclidiana emedida do ângulo , pela distância ao quadrado e pelo quadrado do seno do ângulo, respectivamente. Isso é logicamente equivalente ao desenvolvimento do padrão (já que as quantidades de substituição podem ser expressas em termos dos padrões e vice-versa). O autor afirma que sua abordagem tem algumas vantagens, como evitar a necessidade de números irracionais.
O livro foi "essencialmente publicado pelo próprio" por Wildberger por meio de sua editora Wild Egg. As fórmulas e teoremas do livro são considerados matemática correta, mas as afirmações sobre superioridade prática ou pedagógica são promovidas principalmente pelo próprio Wildberger e têm recebido críticas mistas.
Visão geral
A ideia principal das Proporções Divinas é substituir as distâncias pela distância euclidiana quadrada , renomeada neste livro como quadrância , e substituir os ângulos pelos quadrados de seus senos, renomeados neste livro como propagação e considerada como uma medida de separação (em vez do que uma quantidade de rotação) entre duas linhas. Divine Proportions define ambos os conceitos diretamente a partir das coordenadas cartesianas de pontos que determinam um segmento de linha ou um par de linhas cruzadas, em vez de indiretamente a partir de distâncias e ângulos. Definidas dessa forma, elas são funções racionais dessas coordenadas e podem ser calculadas diretamente sem a necessidade das raízes quadradas necessárias para calcular distâncias de coordenadas ou as funções trigonométricas inversas necessárias para calcular ângulos para coordenadas.
De acordo com as proporções divinas , esta substituição tem várias vantagens principais:
- Para pontos dados por coordenadas de números racionais, a quadrância dos pares de pontos e a distribuição dos triplos de pontos são novamente racionais, evitando a necessidade de números irracionais, ou os conceitos de limites usados para definir os números reais.
- Ao evitar números reais, também evita o que Wildberger afirma serem problemas fundamentais na definição de ângulos e na computabilidade de números reais.
- Ele permite que conceitos análogos sejam estendidos diretamente a outros sistemas numéricos, como campos finitos , usando as mesmas fórmulas para quadrância e dispersão que seriam usadas para números racionais.
Além disso, esse método evita a ambigüidade dos dois ângulos suplementares formados por um par de linhas, já que ambos os ângulos têm a mesma propagação. Este sistema é considerado mais intuitivo e se estende mais facilmente de duas para três dimensões. No entanto, em troca desses benefícios, perde-se a aditividade de distâncias e ângulos: por exemplo, se um segmento de linha é dividido em dois, seu comprimento é a soma dos comprimentos das duas peças, mas a combinação das quadrâncias das peças é mais complicado e requer raízes quadradas.
Organização e tópicos
Proporções Divinas é dividido em quatro partes. A Parte I apresenta uma visão geral do uso de quadrância e espalhamento para substituir distância e ângulo, e apresenta o argumento de suas vantagens. A Parte II formaliza as afirmações feitas na Parte I e as prova com rigor. Em vez de definir linhas como conjuntos infinitos de pontos, eles são definidos por suas coordenadas homogêneas , que podem ser usadas em fórmulas para testar a incidência de pontos e linhas. Como o seno, o cosseno e a tangente são substituídos por equivalentes racionais, chamados de "cruz" e "torção", e as proporções divinas desenvolvem vários análogos de identidades trigonométricas envolvendo essas quantidades, incluindo versões do teorema de Pitágoras , lei dos senos e lei dos cossenos .
Parte III desenvolve a geometria de triângulos e seções cônicas usando as ferramentas desenvolvidas nas duas partes anteriores. Resultados bem conhecidos, como a fórmula de Heron para calcular a área de um triângulo a partir de seus comprimentos laterais, ou o teorema do ângulo inscrito na forma de que os ângulos subtendidos por uma corda de um círculo de outros pontos do círculo são iguais, são reformulados em termos de quadrância e propagação e, portanto, generalizado para campos arbitrários de números. Finalmente, a Parte IV considera as aplicações práticas em física e topografia e desenvolve extensões para o espaço euclidiano de dimensão superior e para as coordenadas polares .
Público
Divine Proportions não assume muito no que diz respeito à formação matemática de seus leitores, mas suas muitas fórmulas longas, consideração frequente de campos finitos e (após a parte I) ênfase no rigor matemático são provavelmente obstáculos para um público popular de matemática . Em vez disso, foi escrito principalmente para professores e pesquisadores de matemática. No entanto, também pode ser lido por alunos de matemática e contém exercícios que permitem a sua utilização como base para um curso de matemática.
Recepção critica
A característica do livro que foi mais positivamente recebida pelos revisores foi seu trabalho estendendo os resultados em geometria de distância e ângulo para campos finitos. Avaliador Laura Wisewell encontrado este trabalho impressionante, e ficou encantado com o resultado que o campo finito menor contendo um regular pentágono é . Michael Henle chama a extensão da geometria do triângulo e da seção cônica para campos finitos, na parte III do livro, "uma teoria elegante de grande generalidade", e William Barker também escreve com aprovação sobre este aspecto do livro, chamando-o de "particularmente novo" e possivelmente abrindo novas direções de pesquisa.
Wisewell levanta a questão de quantos dos resultados detalhados apresentados sem atribuição neste trabalho são realmente novos. Sob esta luz, Michael Henle observa que o uso da distância euclidiana quadrada "foi freqüentemente considerado conveniente em outro lugar"; por exemplo, é usado em geometria de distância , estatísticas de mínimos quadrados e otimização convexa . James Franklin aponta que para espaços de três ou mais dimensões, modelados convencionalmente usando álgebra linear , o uso de propagação por proporções divinas não é muito diferente dos métodos padrão envolvendo produtos escalares no lugar de funções trigonométricas.
Uma vantagem dos métodos de Wildberger observados por Henle é que, como envolvem apenas álgebra simples, as provas são fáceis de seguir e de verificar por um computador. No entanto, ele sugere que as afirmações do livro de maior simplicidade em sua teoria geral repousam em uma falsa comparação em que quadrância e extensão são pesados não contra os conceitos clássicos correspondentes de distâncias, ângulos e senos, mas o conjunto muito mais amplo de ferramentas do clássico trigonometria. Ele também aponta que, para um aluno com uma calculadora científica, fórmulas que evitam raízes quadradas e funções trigonométricas não são um problema, e Barker acrescenta que as novas fórmulas frequentemente envolvem um número maior de etapas de cálculo individuais. Embora vários revisores achem que uma redução na quantidade de tempo necessária para ensinar trigonometria aos alunos seria muito bem-vinda, Paul Campbell está cético de que esses métodos realmente acelerariam o aprendizado. Gerry Leversha mantém a mente aberta, escrevendo que "Será interessante ver alguns dos livros didáticos destinados a alunos de escolas [que Wildberger] prometeu produzir, e ... experimentos controlados envolvendo estudantes cobaias." Em 2020, no entanto, esses livros e experimentos não foram publicados.
Wisewell não está convencido pela afirmação de que a geometria convencional tem falhas fundamentais que esses métodos evitam. Embora concordando com Wisewell, Barker aponta que pode haver outros matemáticos que compartilham das suspeitas filosóficas de Wildberger sobre o infinito, e que este trabalho deve ser de grande interesse para eles.
Uma questão final levantada por vários revisores é a inércia: supondo, para fins de argumentação, que esses métodos são melhores, eles são o suficiente para fazer valer a pena o grande esforço individual de reaprender geometria e trigonometria nesses termos, e o esforço institucional de re - trabalhar o currículo escolar para usá-los no lugar da geometria clássica e trigonometria? Henle, Barker e Leversha concluem que o livro não defendeu isso, mas Sandra Arlinghaus vê este trabalho como uma oportunidade para campos como sua geografia matemática "que têm relativamente pouco investido na rigidez institucional tradicional" para demonstrar a promessa de tal substituição.
Veja também
- Configuração de Perles , um conjunto finito de pontos e retas no plano euclidiano que não pode ser representado com coordenadas racionais