Lei de Snell - Snell's law

Refração da luz na interface entre dois meios de diferentes índices de refração , com n 2 > n 1 . Como a velocidade é menor no segundo meio (v 2 <v 1 ), o ângulo de refração θ 2 é menor que o ângulo de incidência θ 1 ; ou seja, o raio no meio de índice mais alto está mais próximo do normal.

A lei de Snell (também conhecida como lei de Snell-Descartes e lei de refração ) é uma fórmula usada para descrever a relação entre os ângulos de incidência e refração , quando se refere à luz ou outras ondas que passam por um limite entre dois meios isotrópicos diferentes , como como água, vidro ou ar. A lei leva o nome de Willebrord Snellius , um astrônomo e matemático holandês conhecido no mundo inglês como Snell.

Na óptica, a lei é usada no traçado de raios para calcular os ângulos de incidência ou refração e na óptica experimental para encontrar o índice de refração de um material. A lei também é satisfeita em metamateriais , que permitem que a luz seja dobrada "para trás" em um ângulo de refração negativo com um índice de refração negativo .

A lei de Snell afirma que a razão dos senos dos ângulos de incidência e refração é equivalente à razão das velocidades de fase nos dois meios, ou equivalente ao recíproco da razão dos índices de refração :

com cada um como o ângulo medido a partir do normal do limite, como a velocidade da luz no respectivo meio (unidades SI são metros por segundo, ou m / s), e como o índice de refração (que é sem unidade) do respectivo meio.

A lei segue de Fermat do princípio de menos tempo , o que por sua vez se segue a partir da propagação da luz como ondas.

História

Reprodução de uma página do manuscrito de Ibn Sahl mostrando sua descoberta da lei da refração.

Ptolomeu , em Alexandria , Egito, havia encontrado uma relação com relação aos ângulos de refração, mas era imprecisa para ângulos que não eram pequenos. Ptolomeu estava confiante de que havia encontrado uma lei empírica precisa, em parte como resultado da leve alteração de seus dados para se adequar à teoria (ver: viés de confirmação ). Alhazen , em seu Livro de Óptica (1021), chegou mais perto de descobrir a lei da refração, embora não tenha dado esse passo.

Uma visão de 1837 da história da "Lei de Sines"

A lei com o nome de Snell foi descrita pela primeira vez com precisão pelo cientista persa Ibn Sahl no tribunal de Bagdá em 984. No manuscrito On Burning Mirrors and Lenses , Sahl usou a lei para derivar formas de lentes que focalizam a luz sem aberrações geométricas.

A lei foi redescoberta por Thomas Harriot em 1602, que, entretanto, não publicou seus resultados, embora tivesse se correspondido com Kepler sobre este assunto. Em 1621, o astrônomo holandês Willebrord Snellius (1580–1626) —Snell — derivou uma forma matematicamente equivalente, que permaneceu inédita durante sua vida. René Descartes derivou independentemente a lei usando argumentos heurísticos de conservação de momento em termos de senos em seu ensaio Dioptrique de 1637 , e usou-a para resolver uma série de problemas ópticos. Rejeitando a solução de Descartes, Pierre de Fermat chegou à mesma solução baseado unicamente em seu princípio de menor tempo . Descartes presumiu que a velocidade da luz era infinita, mas em sua derivação da lei de Snell também presumiu que quanto mais denso o meio, maior a velocidade da luz. Fermat apoiou as suposições opostas, ou seja, a velocidade da luz é finita e sua derivação dependia da velocidade da luz ser mais lenta em um meio mais denso. A derivação de Fermat também utilizou sua invenção da adequação , um procedimento matemático equivalente ao cálculo diferencial, para encontrar máximos, mínimos e tangentes.

Em seu influente livro de matemática Geometria , Descartes resolve um problema que foi trabalhado por Apolônio de Perga e Pappus de Alexandria . Dados n linhas L e um ponto P (L) em cada linha, encontre o local dos pontos Q de modo que os comprimentos dos segmentos de linha QP (L) satisfaçam certas condições. Por exemplo, quando n = 4, dadas as linhas a, b, c e d e um ponto A em a, B em b e assim por diante, encontre o locus dos pontos Q de modo que o produto QA * QB seja igual ao produto QC * QD. Quando as retas não são todas paralelas, Pappus mostrou que os loci são cônicos, mas quando Descartes considerou n maior, obteve curvas cúbicas e de grau superior. Para mostrar que as curvas cúbicas eram interessantes, ele mostrou que elas surgiam naturalmente na ótica da lei de Snell.

De acordo com Dijksterhuis, "In De natura lucis et proprietate (1662) Isaac Vossius disse que Descartes tinha visto o artigo de Snell e inventou sua própria prova. Agora sabemos que essa acusação não é merecida, mas foi adotada muitas vezes desde então." Tanto Fermat quanto Huygens repetiram essa acusação de que Descartes havia copiado Snell. Em francês , a Lei de Snell é chamada de "la loi de Descartes" ou "loi de Snell-Descartes".

Construção de Christiaan Huygens

Em seu Traité de la Lumière de 1678 , Christiaan Huygens mostrou como a lei dos senos de Snell poderia ser explicada ou derivada da natureza ondulatória da luz, usando o que chamamos de princípio de Huygens-Fresnel .

Com o desenvolvimento da moderna teoria ótica e eletromagnética, a antiga lei de Snell entrou em um novo estágio. Em 1962, Bloembergen mostrou que na fronteira do meio não linear, a lei de Snell deveria ser escrita de uma forma geral. Em 2008 e 2011, as metassuperfícies plasmônicas também demonstraram alterar as direções de reflexão e refração do feixe de luz.

Explicação

Lei de Snell em uma parede em Leiden

A lei de Snell é usada para determinar a direção dos raios de luz através de meios refrativos com índices variáveis ​​de refração. Os índices de refracção dos meios de comunicação, marcados , e assim por diante, são utilizados para representar o factor pelo qual a velocidade de um raio de luz diminui quando se viaja através de um meio de refracção, tal como o vidro ou a água, em oposição a sua velocidade no vácuo.

Conforme a luz passa pela fronteira entre os meios, dependendo dos índices de refração relativos dos dois meios, a luz será refratada a um ângulo menor ou maior. Esses ângulos são medidos em relação à linha normal , representada perpendicularmente à fronteira. No caso da luz viajando do ar para a água, a luz seria refratada em direção à linha normal, porque a luz é desacelerada na água; a luz viajando da água para o ar refrataria longe da linha normal.

A refração entre duas superfícies também é chamada de reversível porque, se todas as condições fossem idênticas, os ângulos seriam os mesmos para a propagação da luz na direção oposta.

A lei de Snell é geralmente verdadeira apenas para meios isotrópicos ou especulares (como o vidro ). Em meios anisotrópicos , como alguns cristais , a birrefringência pode dividir o raio refratado em dois raios, o comum ou o -ray que segue a lei de Snell, e o outro extraordinário ou e -ray que pode não ser coplanar com o raio incidente.

Quando a luz ou outra onda envolvida é monocromática, ou seja, de uma única frequência, a lei de Snell também pode ser expressa em termos de uma razão de comprimentos de onda nos dois meios, e :

Derivações e fórmula

Frentes de onda de uma fonte pontual no contexto da lei de Snell. A região abaixo da linha cinza tem um índice de refração mais alto e velocidade da luz proporcionalmente menor do que a região acima dela.

A lei de Snell pode ser derivada de várias maneiras.

Derivação do princípio de Fermat

A lei de Snell pode ser derivada do princípio de Fermat , que afirma que a luz viaja pelo caminho que leva menos tempo. Tirando a derivada do comprimento do caminho óptico , o ponto estacionário é encontrado fornecendo o caminho percorrido pela luz. (Existem situações em que a luz viola o princípio de Fermat por não seguir o menor caminho do tempo, como na reflexão em um espelho (esférico).) Em uma analogia clássica, a área de menor índice de refração é substituída por uma praia, a área de maior refração Índice à beira-mar, e a maneira mais rápida de um resgatador na praia chegar a uma pessoa que está se afogando no mar é correr por um caminho que segue a lei de Snell.

A luz do meio 1, ponto Q, entra no meio 2, ocorre a refração e finalmente atinge o ponto P.

Conforme mostrado na figura à direita, suponha que o índice de refração do meio 1 e do meio 2 seja e, respectivamente. A luz entra no meio 2 do meio 1 via ponto O.

é o ângulo de incidência, é o ângulo de refração em relação ao normal.

As velocidades de fase da luz no meio 1 e meio 2 são

e
respectivamente.

é a velocidade da luz no vácuo.

Seja T o tempo necessário para a luz viajar do ponto Q, através do ponto O, para o ponto P.

onde a, b, le x são indicados na figura à direita, sendo x o parâmetro variável.

Para minimizá-lo, pode-se diferenciar:

(ponto estacionário)

Observe que

e

Portanto,

Derivação do princípio de Huygens

Alternativamente, a lei de Snell pode ser derivada usando a interferência de todos os caminhos possíveis da onda de luz da fonte ao observador - ela resulta em interferência destrutiva em todos os lugares, exceto extremos de fase (onde a interferência é construtiva) - que se tornam caminhos reais.

Derivação das Equações de Maxwell

Outra maneira de derivar a Lei de Snell envolve a aplicação das condições gerais de contorno das equações de Maxwell para radiação eletromagnética .

Derivação da conservação de energia e momento

Ainda outra maneira de derivar a lei de Snell é baseada em considerações de simetria de tradução. Por exemplo, uma superfície homogênea perpendicular à direção z não pode alterar o momento transversal. Como o vetor de propagação é proporcional ao momento do fóton, a direção de propagação transversal deve permanecer a mesma em ambas as regiões. Assuma, sem perda de generalidade, um plano de incidência no plano . Usando a conhecida dependência do número de onda no índice de refração do meio, derivamos a lei de Snell imediatamente.

onde está o número de onda no vácuo. Embora nenhuma superfície seja verdadeiramente homogênea na escala atômica, a simetria translacional completa é uma excelente aproximação sempre que a região é homogênea na escala do comprimento de onda da luz.

Forma vetorial

Dado um vetor de luz normalizado (apontando da fonte de luz em direção à superfície) e um vetor normal de plano normalizado , pode-se calcular os raios refletidos e refratados normalizados, através dos cossenos do ângulo de incidência e ângulo de refração , sem usar explicitamente o valores de seno ou quaisquer funções trigonométricas ou ângulos:

Nota: deve ser positivo, que será se for o vetor normal que aponta da superfície para o lado de onde vem a luz, região com índice . Se for negativo, então aponta para o lado sem a luz, então comece de novo com substituído por seu negativo.

Este vetor de direção refletido aponta para o lado da superfície de onde a luz veio.

Agora aplique a lei de Snell à razão de senos para derivar a fórmula para o vetor de direção do raio refratado:

A fórmula pode parecer mais simples em termos de valores simples renomeados e , evitando qualquer aparência de nomes de funções trigonométricas ou nomes de ângulos:

Exemplo:

Os valores do cosseno podem ser salvos e usados ​​nas equações de Fresnel para calcular a intensidade dos raios resultantes.

A reflexão interna total é indicada por um radical negativo na equação para , o que só pode acontecer para raios que cruzam para um meio menos denso ( ).

Reflexão interna total e ângulo crítico

Demonstração de nenhuma refração em ângulos maiores que o ângulo crítico.

Quando a luz viaja de um meio com um índice de refração mais alto para um com um índice de refração mais baixo, a lei de Snell parece exigir em alguns casos (sempre que o ângulo de incidência é grande o suficiente) que o seno do ângulo de refração seja maior que um. Claro que isso é impossível, e a luz em tais casos é completamente refletida pela fronteira, um fenômeno conhecido como reflexão interna total . O maior ângulo de incidência possível que ainda resulta em um raio refratado é chamado de ângulo crítico ; neste caso, o raio refratado viaja ao longo da fronteira entre os dois meios.

Refração da luz na interface entre dois meios.

Por exemplo, considere um raio de luz movendo-se da água para o ar com um ângulo de incidência de 50 °. Os índices de refração da água e do ar são de aproximadamente 1,333 e 1, respectivamente, então a lei de Snell nos dá a relação

o que é impossível de satisfazer. O ângulo crítico θ crit é o valor de θ 1 para o qual θ 2 é igual a 90 °:

Dispersão

Em muitos meios de propagação de onda, a velocidade da onda muda com a frequência ou comprimento de onda das ondas; isso é verdade para a propagação da luz na maioria das substâncias transparentes, exceto o vácuo. Esses meios são chamados de dispersivos. O resultado é que os ângulos determinados pela lei de Snell também dependem da frequência ou do comprimento de onda, de modo que um raio de comprimentos de onda mistos, como a luz branca, se espalhará ou se dispersará. Essa dispersão da luz no vidro ou na água é a base da origem dos arco - íris e de outros fenômenos ópticos , nos quais diferentes comprimentos de onda aparecem como cores diferentes.

Em instrumentos ópticos, a dispersão leva à aberração cromática ; um desfoque dependente da cor que às vezes é o efeito de limitação da resolução. Isso era especialmente verdadeiro em telescópios refratários , antes da invenção das lentes objetivas acromáticas .

Meios com perdas, absorventes ou condutores

Em um meio condutor, a permissividade e o índice de refração têm valores complexos. Conseqüentemente, também o são o ângulo de refração e o vetor de onda. Isso implica que, enquanto as superfícies de fase real constante são planos cujas normais fazem um ângulo igual ao ângulo de refração com a interface normal, as superfícies de amplitude constante, em contraste, são planos paralelos à própria interface. Como esses dois planos em geral não coincidem, a onda é considerada não homogênea. A onda refratada é exponencialmente atenuada, com expoente proporcional ao componente imaginário do índice de refração.

Veja também

Referências

links externos