Função matemática especial definida como sin (x) / x
Em matemática , física e engenharia , a função sinc , denotada por sinc ( x ) , tem duas formas, normalizada e não normalizada.
A função sinc normalizada (azul) e a função sinc não normalizada (vermelho) mostrada na mesma escala
O sinc funciona como áudio, a 2.000 Hz (± 1,5 segundos em torno de zero).
Em matemática, a função sinc histórica não normalizada é definida para x ≠ 0 por
Alternativamente, a função sinc não normalizada é freqüentemente chamada de função de amostragem , indicada como Sa ( x ).
No processamento de sinal digital e teoria da informação , a função sinc normalizada é comumente definida para x ≠ 0 por
Em qualquer caso, o valor em x = 0 é definido como o valor limite
-
para todo real a ≠ 0 .
A normalização faz com que a integral definida da função sobre os números reais seja igual a 1 (enquanto a mesma integral da função sinc não normalizada tem um valor de π ). Como outra propriedade útil, os zeros da função sinc normalizada são os valores inteiros diferentes de zero de x .
A função sinc normalizada é a transformada de Fourier da função retangular sem escala. É usado no conceito de reconstrução de um sinal contínuo limitado em banda a partir de amostras uniformemente espaçadas desse sinal.
A única diferença entre as duas definições está na escala da variável independente (o eixo x ) por um fator de π . Em ambos os casos, o valor da função na singularidade removível em zero é entendido como o valor limite 1. A função sinc é então analítica em todos os lugares e, portanto, uma função inteira .
O termo sinc foi introduzido por Philip M. Woodward em seu artigo 1952 "teoria da informação e da probabilidade inversa em telecomunicações", na qual ele disse que a função "ocorre com tanta frequência na análise de Fourier e suas aplicações que parece merecer alguma notação própria ", e seu livro de 1953 Probability and Information Theory, with Applications to Radar . A função em si foi primeiro derivada matematicamente nesta forma por Lord Rayleigh em sua expressão ( fórmula de Rayleigh ) para a função de Bessel esférica de ordem zero do primeiro tipo.
Propriedades
Os máximos e mínimos locais (pequenos pontos brancos) da função sinc vermelha não normalizada correspondem às suas interseções com a
função cosseno azul .
A parte real do complexo sinc
Re (sinc z ) = Re (
sin z/z)
A parte imaginária do complexo sinc
Im (sinc z ) = Im (sin z/z)
O valor absoluto
| sinc z | = |sin z/z|
Os cruzamentos de zero do sinc não normalizado estão em múltiplos inteiros diferentes de zero de π , enquanto os cruzamentos de zero do sinc normalizado ocorrem em inteiros diferentes de zero.
Os máximos e mínimos locais do sinc não normalizado correspondem às suas interseções com a função cosseno . Isso é,sin ( ξ )/ξ= cos ( ξ ) para todos os pontos ξ onde a derivada desin ( x )/xé zero e, portanto, um extremo local é atingido. Isso segue da derivada da função sinc:
Os primeiros poucos termos da série infinita para a coordenada x do n -ésimo extremo com coordenada x positiva são
Onde
e onde ímpar n leva a um mínimo local e par n a um máximo local. Devido à simetria em torno do y eixo, existem extremos com x coordenadas - x n . Além disso, existe um máximo absoluto em ξ 0 = (0, 1) .
A função sinc normalizada tem uma representação simples como o produto infinito :
e está relacionado à função gama Γ ( x ) através da fórmula de reflexão de Euler :
Euler descobriu que
e por causa da identidade do produto para a soma
o produto de Euler pode ser reformulado como uma soma
A transformação contínua de Fourier do sinc normalizado (para a frequência normal) é rect ( f ) :
onde a função retangular é 1 para argumento entre -1/2 e 1/2e zero caso contrário. Isso corresponde ao fato de que o filtro sinc é o filtro passa-baixas ideal ( parede de tijolos , significando resposta de frequência retangular) .
Esta integral de Fourier, incluindo o caso especial
é uma integral imprópria (ver integral de Dirichlet ) e não uma integral de Lebesgue convergente , como
A função sinc normalizada tem propriedades que a tornam ideal em relação à interpolação de funções limitadas em banda amostradas :
- É uma função de interpolação, ou seja, sinc (0) = 1 e sinc ( k ) = 0 para o inteiro diferente de zero k .
- As funções x k ( t ) = sinc ( t - k ) ( k inteiro) formam uma base ortonormal para funções limitadas em banda no espaço funcional L 2 ( R ) , com maior frequência angular ω H = π (ou seja, maior frequência de ciclo f H =1/2)
Outras propriedades das duas funções sinc incluem:
- O sinc não normalizado é a função de Bessel esférica de ordem zero do primeiro tipo, j 0 ( x ) . O sinc normalizado é j 0 (π x ) .
- onde Si ( x ) é a integral do seno ,
-
λ sinc ( λx ) (não normalizado) é uma das duas soluções linearmente independentes para a equação diferencial ordinária linear
O outro é cos ( λx )/x, que não é limitado em x = 0 , ao contrário de sua contraparte de função sinc.
- Usando sinc normalizado,
- A seguinte integral imprópria envolve a função sinc (não normalizada):
Relação com a distribuição delta de Dirac
A função sinc normalizada pode ser usada como uma função delta nascente , o que significa que o seguinte limite fraco é válido:
Este não é um limite comum, uma vez que o lado esquerdo não converge. Em vez disso, significa que
para cada função de Schwartz , como pode ser visto a partir do teorema de inversão de Fourier . Na expressão acima, como a → 0 , o número de oscilações por unidade de comprimento da função sinc se aproxima do infinito. No entanto, a expressão sempre oscila dentro de um envelope de ±1/π x, independentemente do valor de a .
Isso complica a imagem informal de δ ( x ) como sendo zero para todos os x exceto no ponto x = 0 , e ilustra o problema de pensar a função delta como uma função e não como uma distribuição. Uma situação semelhante é encontrada no fenômeno de Gibbs .
Soma
Todas as somas nesta seção referem-se à função sinc não normalizada.
A soma de sinc ( n ) sobre o inteiro n de 1 a ∞ é igual aπ - 1/2:
A soma dos quadrados também é igual π - 1/2:
Quando os sinais dos adendos alternam e começam com +, a soma é igual1/2:
As somas alternadas dos quadrados e cubos também são iguais 1/2:
Expansão da série
A série de Taylor da função sinc não normalizada pode ser obtida a partir do seno:
A série converge para todos os x . A versão normalizada segue facilmente:
Euler comparou essa série à expansão da forma infinita do produto para resolver o problema da Basiléia .
Dimensões superiores
O produto das funções 1-D sinc fornece prontamente uma função sinc multivariada para a grade cartesiana quadrada ( rede ): sinc C ( x , y ) = sinc ( x ) sinc ( y ) , cuja transformada de Fourier é a função indicadora de um quadrado no espaço de frequência (ou seja, a parede de tijolos definida no espaço 2-D). A função sinc para uma rede não cartesiana (por exemplo, rede hexagonal ) é uma função cuja transformada de Fourier é a função indicadora da zona de Brillouin dessa rede. Por exemplo, a função sinc para a rede hexagonal é uma função cuja transformada de Fourier é a função indicadora do hexágono unitário no espaço de frequência. Para uma rede não cartesiana, esta função não pode ser obtida por um produto tensorial simples. No entanto, a fórmula explícita para a função de sincronismo para a hexagonal , de corpo centrado cúbicos , de face centrada cúbicos reticulados maiores dimensões e outros pode ser explicitamente derivadas utilizando as propriedades geométricas das zonas de Brillouin e sua ligação a zonotopes .
Por exemplo, uma rede hexagonal pode ser gerada pela extensão linear (inteira) dos vetores
Denotando
pode-se derivar a função sinc para esta estrutura hexagonal como
Esta construção pode ser usada para projetar a janela Lanczos para treliças multidimensionais gerais.
Veja também
Referências
links externos