Forma - Shape

Brinquedo infantil usado para aprender várias formas

Uma forma ou figura é a forma de um objeto ou seu limite externo, contorno ou superfície externa , em oposição a outras propriedades, como cor , textura ou tipo de material . Uma forma plana , forma bidimensional ou forma 2D ( figura plana , figura bidimensional ou figura 2D ) é restrita a se posicionar em um plano , em contraste com as figuras sólidas .

Classificação de formas simples

Uma variedade de formas poligonais .

Algumas formas simples podem ser colocadas em categorias amplas. Por exemplo, polígonos são classificados de acordo com seu número de arestas como triângulos , quadriláteros , pentágonos , etc. Cada um deles é dividido em categorias menores; triângulos podem ser equiláteros , isósceles , obtusos , agudos , escalenos , etc., enquanto os quadriláteros podem ser retângulos , losangos , trapézios , quadrados , etc.

Outras formas comuns são pontos , linhas , planos e seções cônicas , como elipses , círculos e parábolas .

Entre as formas tridimensionais mais comuns estão os poliedros , que são formas com faces planas; elipsóides , que são objetos em forma de ovo ou esfera; cilindros ; e cones .

Se um objeto se enquadra em uma dessas categorias exatamente ou aproximadamente, podemos usá-lo para descrever a forma do objeto. Assim, dizemos que a forma de uma tampa de bueiro é um disco , porque é aproximadamente o mesmo objeto geométrico de um disco geométrico real.

Em geometria

Formas geométricas em 2 dimensões: paralelogramo , triângulo e círculo

Formas geométricas em 3 dimensões: pirâmide , bola e cubo

Uma forma geométrica é a informação geométrica que permanece quando a localização , escala , orientação e reflexão são removidas da descrição de um objeto geométrico . Ou seja, o resultado de mover uma forma, ampliá-la, girá-la ou refleti-la em um espelho é a mesma forma do original, e não uma forma distinta.

Muitas formas geométricas bidimensionais podem ser definidas por um conjunto de pontos ou vértices e linhas conectando os pontos em uma cadeia fechada, bem como os pontos internos resultantes. Essas formas são chamadas de polígonos e incluem triângulos , quadrados e pentágonos . Outras formas podem ser delimitadas por curvas , como o círculo ou a elipse .

Muitas formas geométricas tridimensionais podem ser definidas por um conjunto de vértices, linhas conectando os vértices e faces bidimensionais delimitadas por essas linhas, bem como os pontos internos resultantes. Essas formas são chamadas de poliedros e incluem cubos , bem como pirâmides , como tetraedros . Outras formas tridimensionais podem ser delimitadas por superfícies curvas, como o elipsóide e a esfera .

Uma forma é considerada convexa se todos os pontos em um segmento de linha entre quaisquer dois de seus pontos também fizerem parte da forma.

Propriedades

As figuras mostradas na mesma cor têm a mesma forma e são consideradas semelhantes.

Existem várias maneiras de comparar as formas de dois objetos:

Congruência : dois objetos são congruentes se um pode ser transformado no outro por uma sequência de rotações, translações e / ou reflexos.
Similaridade : dois objetos são semelhantes se um pode ser transformado no outro por uma escala uniforme, junto com uma sequência de rotações, translações e / ou reflexos.
Isotopia : dois objetos são isotópicos se um pode ser transformado no outro por uma sequência de deformações que não rasgam o objeto nem fazem furos nele.

Às vezes, dois objetos semelhantes ou congruentes podem ser considerados como tendo uma forma diferente se um reflexo for necessário para transformar um no outro. Por exemplo, as letras " b " e " d " são um reflexo uma da outra e, portanto, são congruentes e semelhantes, mas em alguns contextos não são consideradas como tendo a mesma forma. Às vezes, apenas o contorno ou limite externo do objeto é considerado para determinar sua forma. Por exemplo, uma esfera oca pode ser considerada como tendo a mesma forma de uma esfera sólida. A análise de Procrustes é usada em muitas ciências para determinar se dois objetos têm ou não a mesma forma, ou para medir a diferença entre duas formas. Em matemática avançada, a quase isometria pode ser usada como um critério para afirmar que duas formas são aproximadamente iguais.

As formas simples podem frequentemente ser classificadas em objetos geométricos básicos , como um ponto , uma linha , uma curva , um plano , uma figura plana (por exemplo, quadrado ou círculo ) ou uma figura sólida (por exemplo, cubo ou esfera ). No entanto, a maioria das formas que ocorrem no mundo físico são complexas. Algumas, como estruturas de plantas e linhas costeiras, podem ser tão complicadas a ponto de desafiar a descrição matemática tradicional - caso em que podem ser analisadas por geometria diferencial ou como fractais .

Equivalência de formas

Em geometria, dois subconjuntos de um espaço euclidiano têm a mesma forma se um puder ser transformado no outro por uma combinação de translações , rotações (juntas também chamadas de transformações rígidas ) e escalas uniformes . Em outras palavras, a forma de um conjunto de pontos é toda a informação geométrica invariante a translações, rotações e mudanças de tamanho. Ter a mesma forma é uma relação de equivalência e, portanto, uma definição matemática precisa da noção de forma pode ser dada como sendo uma classe de equivalência de subconjuntos de um espaço euclidiano com a mesma forma.

O matemático e estatístico David George Kendall escreve:

Neste artigo, 'forma' é usada no sentido vulgar e significa o que normalmente se esperaria que significasse. [...] Nós aqui definimos 'forma' informalmente como 'todas as informações geométricas que permanecem quando os efeitos de localização, escala e rotação são filtrados de um objeto.'

As formas de objetos físicos são iguais se os subconjuntos de espaço que esses objetos ocupam satisfazem a definição acima. Em particular, a forma não depende do tamanho e da colocação no espaço do objeto. Por exemplo, um " d " e um " p " têm a mesma forma, pois podem ser perfeitamente sobrepostos se o " d " for transladado para a direita por uma determinada distância, girado de cabeça para baixo e ampliado por um determinado fator (ver Procrustes sobreposição para detalhes). No entanto, uma imagem espelhada pode ser chamada de forma diferente. Por exemplo, um " b " e um " p " têm uma forma diferente, pelo menos quando são forçados a se mover dentro de um espaço bidimensional, como a página na qual foram escritos. Mesmo que tenham o mesmo tamanho, não há como sobrepor perfeitamente traduzindo e girando ao longo da página. Da mesma forma, dentro de um espaço tridimensional, uma mão direita e uma mão esquerda têm uma forma diferente, mesmo que sejam imagens espelhadas uma da outra. As formas podem mudar se o objeto não for dimensionado de maneira uniforme. Por exemplo, uma esfera se torna um elipsóide quando dimensionada de forma diferente nas direções vertical e horizontal. Em outras palavras, preservar os eixos de simetria (se houver) é importante para preservar as formas. Além disso, a forma é determinada apenas pelo limite externo de um objeto.

Congruência e similaridade

Objetos que podem ser transformados uns nos outros por transformações rígidas e espelhamento (mas não escala) são congruentes . Um objeto é, portanto, congruente com sua imagem no espelho (mesmo que não seja simétrico), mas não com uma versão em escala. Dois objetos congruentes sempre têm a mesma forma ou formas de imagem espelhada e têm o mesmo tamanho.

Objetos que têm a mesma forma ou formas de imagem espelhada são chamados de geometricamente semelhantes , tenham ou não o mesmo tamanho. Assim, os objetos que podem ser transformados uns nos outros por transformações rígidas, espelhamento e dimensionamento uniforme são semelhantes. A similaridade é preservada quando um dos objetos é dimensionado uniformemente, enquanto a congruência não. Assim, objetos congruentes são sempre geometricamente semelhantes, mas objetos semelhantes podem não ser congruentes, pois podem ter tamanhos diferentes.

Homeomorfismo

Uma definição mais flexível de forma leva em consideração o fato de que formas realistas são freqüentemente deformáveis, por exemplo, uma pessoa em diferentes posturas, uma árvore que se dobra ao vento ou uma mão com diferentes posições dos dedos.

Uma forma de modelar movimentos não rígidos é por homeomorfismos . Grosso modo, um homeomorfismo é um alongamento e dobra contínuos de um objeto em uma nova forma. Assim, um quadrado e um círculo são homeomórficos um ao outro, mas uma esfera e uma rosquinha não. Uma piada matemática frequentemente repetida é que os topologistas não podem diferenciar sua xícara de café de seu donut, uma vez que um donut suficientemente flexível poderia ser remodelado para a forma de uma xícara de café criando uma covinha e aumentando-a progressivamente, preservando o orifício do donut em uma xícara lidar.

Uma forma descrita possui linhas externas que você pode ver e compor a forma. Se você estivesse colocando suas coordenadas em um gráfico de coordenadas, você poderia desenhar linhas para mostrar onde você pode ver uma forma, no entanto, nem sempre que você coloca coordenadas em um gráfico, você pode fazer uma forma. Esta forma tem um contorno e um limite para que você possa vê-la, e não apenas pontos regulares em um papel comum.

Análise de forma

As definições matemáticas acima mencionadas de forma rígida e não rígida surgiram no campo da análise estatística de forma . Em particular, a análise de Procrustes é uma técnica usada para comparar formas de objetos semelhantes (por exemplo, ossos de animais diferentes) ou medir a deformação de um objeto deformável. Outros métodos são projetados para trabalhar com objetos não rígidos (dobráveis), por exemplo, para recuperação de forma independente de postura (consulte, por exemplo, Análise de forma espectral ).

Classes de similaridade

Todos os triângulos semelhantes têm a mesma forma. Essas formas podem ser classificadas usando números complexos u, v, w para os vértices, em um método desenvolvido por JA Lester e Rafael Artzy . Por exemplo, um triângulo equilátero pode ser expresso pelos números complexos 0, 1, (1 + i √3) / 2 representando seus vértices. Lester e Artzy chamam a proporção

{\ displaystyle S (u, v, w) = {\ frac {uw} {uv}}}

a forma do triângulo ( u, v, w ). Então, a forma do triângulo equilátero é

(0– (1+ √3) / 2) / (0–1) = (1 + i √3) / 2 = cos (60 °) + i sen (60 °) = exp (i π / 3).

Para qualquer transformação afim do plano complexo , um triângulo é transformado, mas não muda sua forma. Portanto, a forma é uma invariante da geometria afim . A forma p = S ( u, v, w ) depende da ordem dos argumentos da função S, mas as permutações levam a valores relacionados. Por exemplo, ${\ displaystyle z \ mapsto az + b, \ quad a \ neq 0,}$

{\ displaystyle 1-p = 1- (uw) / (uv) = (wv) / (uv) = (vw) / (vu) = S (v, u, w).}

Também

{\ displaystyle p ^ {- 1} = S (u, w, v).}

A combinação dessas permutações dá , além disso, ${\ displaystyle S (v, w, u) = (1-p) ^ {- 1}.}$

{\ displaystyle p (1-p) ^ {- 1} = S (u, v, w) S (v, w, u) = (uw) / (vw) = S (w, v, u).}

Essas relações são "regras de conversão" para a forma de um triângulo.

A forma de um quadrilátero está associada a dois números complexos p, q . Se o quadrilátero tiver vértices u, v, w, x , então p = S ( u, v, w ) eq = S ( v, w, x ). Artzy prova essas proposições sobre as formas quadriláteras:

Se então o quadrilátero é um paralelogramo . ${\ displaystyle p = (1-q) ^ {- 1},}$
Se um paralelogramo tiver | arg p | = | arg q |, então é um losango .
Quando p = 1 + i e q = (1 + i) / 2, o quadrilátero é quadrado .
Se e sgn r = sgn (Im p ), então o quadrilátero é um trapézio . ${\ displaystyle p = r (1-q ^ {- 1})}$

Um polígono tem uma forma definida por n - 2 números complexos. O polígono limita um conjunto convexo quando todos esses componentes de forma têm componentes imaginários do mesmo sinal. ${\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}, ... z_ {n})}$ ${\ displaystyle S (z_ {j}, z_ {j + 1}, z_ {j + 2}), \ j = 1, ..., n-2.}$

Percepção humana das formas

Os psicólogos teorizaram que os humanos quebram mentalmente as imagens em formas geométricas simples chamadas geons . Exemplos de geons incluem cones e esferas. Uma ampla gama de outras representações de forma também foi investigada. Os recursos de forma parecem se resumir a três dimensões básicas: segmentabilidade , compactação e pontiaguda .

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