Schwarzschild metric - Schwarzschild metric

Em Einstein teoria de 's relatividade geral , a métrica de Schwarzschild (também conhecido como o vácuo Schwarzschild ou solução de Schwarzschild ) é uma solução exacta para as equações de campo de Einstein que descreve o campo gravitacional fora de uma massa esférica, no pressuposto de que a carga eléctrica de a massa, o momento angular da massa e a constante cosmológica universal são todos zero. A solução é uma aproximação útil para descrever objetos astronômicos de rotação lenta, como muitas estrelas e planetas , incluindo a Terra e o Sol. Foi descoberto por Karl Schwarzschild em 1916, e na mesma época de forma independente por Johannes Droste , que publicou sua discussão muito mais completa e moderna apenas quatro meses depois de Schwarzschild.

De acordo com o teorema de Birkhoff , a métrica de Schwarzschild é a solução de vácuo esfericamente simétrica mais geral das equações de campo de Einstein. Um buraco negro de Schwarzschild ou buraco negro estático é um buraco negro que não tem carga elétrica nem momento angular. Um buraco negro de Schwarzschild é descrito pela métrica de Schwarzschild e não pode ser distinguido de qualquer outro buraco negro de Schwarzschild, exceto por sua massa.

O buraco negro de Schwarzschild é caracterizado por uma fronteira esférica circundante, chamada de horizonte de eventos , que está situada no raio de Schwarzschild , geralmente chamado de raio de um buraco negro. A fronteira não é uma superfície física, e uma pessoa que caísse no horizonte de eventos (antes de ser dilacerada pelas forças das marés) não notaria nenhuma superfície física naquela posição; é uma superfície matemática significativa para determinar as propriedades do buraco negro. Qualquer massa não rotativa e não carregada menor que seu raio de Schwarzschild forma um buraco negro. A solução das equações de campo de Einstein é válida para qualquer massa M , então, em princípio (de acordo com a teoria da relatividade geral), um buraco negro de Schwarzschild de qualquer massa poderia existir se as condições se tornassem suficientemente favoráveis ​​para permitir sua formação.

Formulação

A métrica Schwarzschild é uma métrica Lorentziana esfericamente simétrica (aqui, com convenção de assinatura (-, +, +, +) ,) definida em (um subconjunto de)

onde está o espaço euclidiano tridimensional, e é a esfera dupla. O grupo de rotação atua no fator ou como rotações ao redor do centro , enquanto deixa o primeiro fator inalterado. A métrica de Schwarzschild é uma solução das equações de campo de Einstein no espaço vazio, o que significa que é válida apenas fora do corpo gravitante. Ou seja, para um corpo esférico de raio a solução é válida . Para descrever o campo gravitacional dentro e fora do corpo gravitante, a solução de Schwarzschild deve ser combinada com alguma solução interna adequada , como a métrica de Schwarzschild interna .

Nas coordenadas de Schwarzschild, a métrica de Schwarzschild (ou equivalentemente, o elemento de linha para o tempo adequado ) tem a forma

onde é a métrica nas duas esferas, ou seja . Além disso,

  • é positivo para o tempo, como curvas, e é o tempo adequado (tempo medido por um relógio se movendo ao longo da mesma linha de mundo com a partícula de teste ),
  • é a velocidade da luz ,
  • é a coordenada de tempo (medida por um relógio estacionário localizado infinitamente longe do corpo massivo),
  • é a coordenada radial (medida como a circunferência, dividida por 2 π , de uma esfera centrada em torno do corpo maciço),
  • é um ponto nas duas esferas ,
  • é a colatitude de (ângulo do norte, em unidades de radianos ) definida após escolher arbitrariamente um eixo z ,
  • é a longitude de (também em radianos) em torno do eixo z escolhido , e
  • é o raio de Schwarzschild do corpo maciço, um fator de escala que está relacionado à sua massa por , onde está a constante gravitacional .

A métrica de Schwarzschild tem uma singularidade, para a qual é uma singularidade de curvatura intrínseca. Também parece ter uma singularidade no horizonte de eventos . Dependendo do ponto de vista, a métrica é, portanto, definida apenas na região exterior , apenas na região interior ou na sua união disjunta. No entanto, a métrica é realmente não singular ao longo do horizonte de eventos, como pode ser visto em coordenadas adequadas (veja abaixo). Pois , a métrica de Schwarzschild é assintótica à métrica de Lorentz padrão no espaço de Minkowski. Para quase todos os objetos astrofísicos, a proporção é extremamente pequena. Por exemplo, o raio de Schwarzschild da Terra é aproximadamente 8,9 mm , enquanto o Sol, que é3,3 × 10 5 vezes mais massivo tem um raio de Schwarzschild de aproximadamente 3,0 km. A proporção torna-se grande apenas na proximidade de buracos negros e outros objetos ultradensos, como estrelas de nêutrons .

A coordenada radial acaba tendo um significado físico como a "distância adequada entre dois eventos que ocorrem simultaneamente em relação aos relógios geodésicos que se movem radialmente, os dois eventos situando-se na mesma linha de coordenada radial".

A solução de Schwarzschild é análoga a uma teoria newtoniana clássica da gravidade que corresponde ao campo gravitacional em torno de uma partícula pontual. Mesmo na superfície da Terra, as correções da gravidade newtoniana são apenas uma parte em um bilhão.

História

A solução de Schwarzschild recebeu esse nome em homenagem a Karl Schwarzschild , que encontrou a solução exata em 1915 e a publicou em janeiro de 1916, pouco mais de um mês após a publicação da teoria da relatividade geral de Einstein. Foi a primeira solução exata das equações de campo de Einstein diferente da solução trivial do espaço plano . Schwarzschild morreu logo após a publicação de seu artigo, como resultado de uma doença que desenvolveu enquanto servia no exército alemão durante a Primeira Guerra Mundial .

Johannes Droste em 1916 produziu independentemente a mesma solução que Schwarzschild, usando uma derivação mais simples e direta.

Nos primeiros anos da relatividade geral, havia muita confusão sobre a natureza das singularidades encontradas no Schwarzschild e outras soluções das equações de campo de Einstein . No artigo original de Schwarzschild, ele colocou o que agora chamamos de horizonte de eventos na origem de seu sistema de coordenadas. Neste artigo, ele também introduziu o que agora é conhecido como coordenada radial de Schwarzschild ( r nas equações acima), como uma variável auxiliar. Em suas equações, Schwarzschild estava usando uma coordenada radial diferente que era zero no raio de Schwarzschild.

Uma análise mais completa da estrutura de singularidades foi dada por David Hilbert no ano seguinte, identificando as singularidades tanto em r = 0 quanto em r = r s . Embora houvesse um consenso geral de que a singularidade em r = 0 era uma singularidade física 'genuína', a natureza da singularidade em r = r s permaneceu obscura.

Em 1921, Paul Painlevé e em 1922 Allvar Gullstrand produziram independentemente uma métrica, uma solução esfericamente simétrica das equações de Einstein, que agora sabemos ser a transformação de coordenadas da métrica de Schwarzschild, coordenadas de Gullstrand – Painlevé , na qual não havia singularidade em r = r s . Eles, no entanto, não reconheceram que suas soluções eram apenas transformações de coordenadas e, na verdade, usaram sua solução para argumentar que a teoria de Einstein estava errada. Em 1924, Arthur Eddington produziu a primeira transformação de coordenadas (coordenadas de Eddington-Finkelstein ) que mostrou que a singularidade em r = r s era um artefato de coordenadas, embora ele também pareça não estar ciente do significado desta descoberta. Mais tarde, em 1932, Georges Lemaître deu uma transformação de coordenadas diferente ( coordenadas de Lemaître ) para o mesmo efeito e foi o primeiro a reconhecer que isso implicava que a singularidade em r = r s não era física. Em 1939, Howard Robertson mostrou que um observador em queda livre descendo na métrica de Schwarzschild cruzaria a singularidade r = r s em uma quantidade finita de tempo adequado , embora isso levasse uma quantidade infinita de tempo em termos de tempo coordenado t .

Em 1950, John Synge produziu um artigo que mostrava a extensão analítica máxima da métrica de Schwarzschild, novamente mostrando que a singularidade em r = r s era um artefato coordenado e que representava dois horizontes. Um resultado semelhante foi mais tarde redescoberto por George Szekeres e, independentemente, Martin Kruskal . As novas coordenadas hoje conhecidas como coordenadas de Kruskal-Szekeres eram muito mais simples do que as de Synge, mas ambas forneciam um único conjunto de coordenadas que cobria todo o espaço-tempo. No entanto, talvez devido à obscuridade das revistas em que os artigos de Lemaître e Synge foram publicados, suas conclusões passaram despercebidas, com muitos dos principais jogadores no campo, incluindo Einstein, acreditando que a singularidade no raio de Schwarzschild era física.

Um progresso real foi feito na década de 1960, quando as ferramentas mais exatas da geometria diferencial entraram no campo da relatividade geral, permitindo definições mais exatas do que significa uma variedade Lorentziana ser singular. Isso levou à identificação definitiva da singularidade r = r s na métrica de Schwarzschild como um horizonte de eventos (uma hipersuperfície no espaço-tempo que pode ser cruzada em apenas uma direção).

Singularidades e buracos negros

A solução de Schwarzschild parece ter singularidades em r = 0 e r = r s ; alguns dos componentes métricos "explodem" (implicam divisão por zero ou multiplicação por infinito) nesses raios. Uma vez que se espera que a métrica de Schwarzschild seja válida apenas para os raios maiores que o raio R do corpo gravitante, não há problema, desde que R > r s . Para estrelas e planetas comuns, esse é sempre o caso. Por exemplo, o raio do Sol é de aproximadamente700 000  km , enquanto seu raio de Schwarzschild é de apenas3 km .

A singularidade em r = r s divide as coordenadas de Schwarzschild em dois fragmentos desconectados . A solução exterior de Schwarzschild com r > r s é aquela que está relacionada aos campos gravitacionais de estrelas e planetas. A solução de Schwarzschild interior com 0 ≤ r < r s , que contém a singularidade em r = 0 , é completamente separada do retalho externo pela singularidade em r = r s . As coordenadas de Schwarzschild, portanto, não fornecem nenhuma conexão física entre os dois patches, que podem ser vistos como soluções separadas. A singularidade em r = r s é uma ilusão, entretanto; é uma instância do que se denomina singularidade coordenada . Como o nome indica, a singularidade surge de uma má escolha de coordenadas ou condições de coordenadas . Ao mudar para um sistema de coordenadas diferente (por exemplo , coordenadas de Lemaitre , coordenadas de Eddington-Finkelstein , coordenadas de Kruskal-Szekeres , coordenadas de Novikov ou coordenadas de Gullstrand-Painlevé ) a métrica torna-se regular em r = r s e pode estender o patch externo para valores de r menor que r s . Usando uma transformação de coordenadas diferente, pode-se então relacionar o patch externo estendido ao patch interno.

O caso r = 0 é diferente, entretanto. Se alguém pedir que a solução seja válida para todos os r, encontraremos uma verdadeira singularidade física, ou singularidade gravitacional , na origem. Para ver que esta é uma singularidade verdadeira, devemos olhar para as quantidades que são independentes da escolha das coordenadas. Uma dessas quantidades importantes é o invariante de Kretschmann , que é dado por

Em r = 0 a curvatura torna-se infinita, indicando a presença de uma singularidade. Nesse ponto, a métrica não pode ser estendida de maneira suave (o invariante de Kretschmann envolve as derivadas secundárias da métrica), o próprio espaço-tempo não está mais bem definido. Além disso, Sbierski mostrou que a métrica não pode ser estendida mesmo de maneira contínua. Por muito tempo, pensou-se que tal solução não era física. No entanto, um maior entendimento da relatividade geral levou à compreensão de que tais singularidades eram uma característica genérica da teoria e não apenas um caso especial exótico.

A solução de Schwarzschild, considerada válida para todo r > 0 , é chamada de buraco negro de Schwarzschild . É uma solução perfeitamente válida para as equações de campo de Einstein, embora (como outros buracos negros) tenha propriedades um tanto bizarras. Para r < r s, a coordenada radial de Schwarzschild r torna-se semelhante ao tempo e a coordenada temporal t torna-se semelhante ao espaço . Uma curva em r constante não é mais uma linha de mundo possível de uma partícula ou observador, nem mesmo se uma força for exercida para tentar mantê-la ali; isso ocorre porque o espaço-tempo foi curvado tanto que a direção de causa e efeito (o futuro cone de luz da partícula ) aponta para a singularidade. A superfície r = r s demarca o que é chamado de horizonte de eventos do buraco negro. Ele representa o ponto a partir do qual a luz não pode mais escapar do campo gravitacional. Qualquer objeto físico cujo raio R se torne menor ou igual ao raio de Schwarzschild sofreu um colapso gravitacional e se tornou um buraco negro.

Coordenadas alternativas

A solução de Schwarzschild pode ser expressa em uma gama de diferentes escolhas de coordenadas além das coordenadas de Schwarzschild usadas acima. Diferentes escolhas tendem a destacar diferentes recursos da solução. A tabela abaixo mostra algumas opções populares.

Coordenadas alternativas
Coordenadas Elemento de linha Notas Recursos
Coordenadas de Eddington-Finkelstein
(entrada)
regular no horizonte futuro - o horizonte
passado está em v = - infinito
Coordenadas de Eddington-Finkelstein
(de saída)
regular no horizonte passado
se estende ao longo do horizonte passado.
Horizonte futuro em u = infinito
Coordenadas de Gullstrand-Painlevé regular no horizonte (+ futuro / passado)
Coordenadas isotrópicas
Válido apenas fora do horizonte de eventos:
lightcones isotrópicos em fatias de tempo constantes
Coordenadas de Kruskal-Szekeres regular no horizonte
Estende-se ao máximo até o espaço-tempo completo
Coordenadas de Lemaître regular no horizonte futuro / passado
Coordenadas harmônicas

Na tabela acima, algumas abreviações foram introduzidas para abreviar. A velocidade da luz c foi definida como um . A notação

é usado para a métrica de uma esfera bidimensional de raio unitário. Além disso, em cada entrada e denotam escolhas alternativas de coordenada radial e de tempo para as coordenadas particulares. Observe que o e / ou pode variar de uma entrada para outra.

As coordenadas de Kruskal-Szekeres têm a forma na qual a transformada de Belinski-Zakharov pode ser aplicada. Isso implica que o buraco negro de Schwarzschild é uma forma de soliton gravitacional .

Parabolóide de Flamm

Um enredo do parabolóide de Flamm. Não deve ser confundido com o conceito não relacionado de um poço gravitacional .

A curvatura espacial da solução de Schwarzschild para r > r s pode ser visualizada como mostra o gráfico. Considere uma fatia equatorial de tempo constante através da solução de Schwarzschild ( θ = π2 , t = constante) e deixe a posição de uma partícula em movimento neste plano ser descrita com as coordenadas de Schwarzschild restantes ( r , φ ) . Imagine agora que existe uma dimensão euclidiana adicional w , que não tem realidade física (não faz parte do espaço-tempo). Em seguida, substitua o plano ( r , φ ) por uma superfície ondulada na direção w de acordo com a equação ( parabolóide de Flamm )

Esta superfície tem a propriedade de que as distâncias medidas dentro dela correspondem às distâncias na métrica Schwarzschild, porque com a definição de w acima,

Assim, o parabolóide de Flamm é útil para visualizar a curvatura espacial da métrica de Schwarzschild. Não deve, entretanto, ser confundido com um poço gravitacional . Nenhuma partícula comum (massiva ou sem massa) pode ter uma linha de mundo situada no parabolóide, uma vez que todas as distâncias nela são semelhantes ao espaço (esta é uma seção transversal em um momento do tempo, portanto, qualquer partícula em movimento teria uma velocidade infinita ). Um tachyon pode ter uma linha de mundo semelhante a um espaço que fica inteiramente em um único parabolóide. No entanto, mesmo nesse caso, seu caminho geodésico não é a trajetória que se obtém através de uma analogia de "folha de borracha" do poço gravitacional: em particular, se a covinha for desenhada apontando para cima em vez de para baixo, o caminho geodésico do tachyon ainda se curva em direção à massa central , não para longe. Consulte o artigo do poço de gravidade para obter mais informações.

O parabolóide de Flamm pode ser derivado da seguinte forma. A métrica euclidiana nas coordenadas cilíndricas ( r , φ , w ) é escrita

Deixando a superfície ser descrita pela função w = w ( r ) , a métrica euclidiana pode ser escrita como

Comparando isso com a métrica de Schwarzschild no plano equatorial ( θ = π/2) em um tempo fixo ( t = constante, dt = 0 )

produz uma expressão integral para w ( r ) :

cuja solução é o parabolóide de Flamm.

Movimento orbital

Comparação entre a órbita de uma partícula de teste no espaço-tempo newtoniano (à esquerda) e de Schwarzschild (à direita); observe a precessão apsidal à direita.

Uma partícula orbitando na métrica de Schwarzschild pode ter uma órbita circular estável com r > 3 r s . Órbitas circulares com r entre 1,5 r s e 3 r s são instáveis, e não existem órbitas circulares para r <1,5 r s . A órbita circular de raio mínimo de 1,5 r s corresponde a uma velocidade orbital que se aproxima da velocidade da luz. É possível que uma partícula tenha um valor constante de r entre r s e 1,5 r s , mas apenas se alguma força agir para mantê-la lá.

As órbitas não circulares, como a de Mercúrio , permanecem mais tempo em raios pequenos do que seria esperado na gravidade newtoniana . Isso pode ser visto como uma versão menos extrema do caso mais dramático em que uma partícula passa pelo horizonte de eventos e habita nele para sempre. Intermediário entre o caso de Mercúrio e o caso de um objeto caindo além do horizonte de eventos, existem possibilidades exóticas, como órbitas de ponta de faca, nas quais o satélite pode ser feito para executar um número arbitrariamente grande de órbitas quase circulares, após as quais voa de volta para fora.

Simetrias

O grupo de isometrias da métrica de Schwarzschild é o subgrupo do grupo de Poincaré de dez dimensões que leva o eixo do tempo (trajetória da estrela) para si mesmo. Omite as translações espaciais (três dimensões) e impulsiona (três dimensões). Ele retém as translações de tempo (uma dimensão) e rotações (três dimensões). Portanto, tem quatro dimensões. Como o grupo Poincaré, ele tem quatro componentes conectados: o componente da identidade; o componente reverso do tempo; o componente de inversão espacial; e o componente que é invertido no tempo e espacialmente invertido.

Curvaturas

O escalar de curvatura de Ricci e o tensor de curvatura de Ricci são ambos zero. Componentes diferentes de zero do tensor de curvatura de Riemann são

Os componentes que podem ser obtidos pelas simetrias do tensor de Riemann não são exibidos.

Para entender o significado físico dessas quantidades, é útil expressar o tensor de curvatura em uma base ortonormal. Em uma base ortonormal de um observador, os componentes diferentes de zero em unidades geométricas são

Novamente, os componentes que podem ser obtidos pelas simetrias do tensor de Riemann não são exibidos. Esses resultados são invariantes a qualquer aumento de Lorentz, portanto, os componentes não mudam para observadores não estáticos. A equação do desvio geodésico mostra que a aceleração da maré entre dois observadores separados por é , portanto, um corpo de comprimento é alongado na direção radial por uma aceleração aparente e comprimido nas direções perpendiculares por .

Veja também

Notas

Referências