número Salem - Salem number

Em matemática , um número Salem é um verdadeiro inteiro algébrico α  > 1 cuja raízes conjugado todos têm valor absoluto não superior a 1, e pelo menos um dos quais tem valor absoluto exatamente 1. números Salem são de interesse em Diophantine aproximação e análise harmônica . Eles são nomeados após Raphaël Salem .

propriedades

Porque tem a raiz de valor absoluto 1, o polinômio mínimo para um número Salem deve ser recíproco . Isto implica que 1 / α é também uma raiz, e que todas as outras raízes têm valor absoluto exatamente um. Como consequência α deve ser uma unidade em anel de números inteiros algébricos , sendo de norma  1.

Cada número Salem é um número Perron (um número algébrica verdadeira superior a um cuja totalidade das conjugados têm menor valor absoluto).

Relação com números Pisot-Vijayaraghavan

O menor número Salem conhecido é o maior verdadeira raiz do polinômio de Lehmer (nomeado após Derrick Henry Lehmer )

${\ Displaystyle P (x) = x ^ {10} ^ + X {9} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + x + 1,}$

que é de cerca de X = 1,17628: conjectura-se que é de facto o número Salem menor, e o mais pequeno possível medida Mahler de um polinómio não-CYCLOTOMIC irredutível.

polinomial de Lehmer é um fator de menor polinomial 12 graus,

${\ Q displaystyle (x) = x ^ {12} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} 1,}$

todos os doze raízes das quais satisfazem a relação

${\ Displaystyle x ^ {630} -1 = {\ {frac (x ^ {315} -1) (x ^ {210} -1) (x ^ {126} -1) ^ {2} (x ^ { 90} -1) (x ^ {3} -1) ^ {3} (x ^ {2} -1) ^ {5} (x-1) ^ 3} {} {(x ^ {35} -1 ) (x ^ {15} -1) ^ {2} (x ^ {14} -1) ^ {2} (x ^ {5} -1) ^ {6} \, x ^ {68}}}}$

Números Salem pode ser construído a partir de números Pisot-Vijayaraghavan . Para recordar, o menor da última é a única verdadeira raiz do polinômio cúbico,

${\ Displaystyle x ^ {3} -x-um,}$

conhecido como o número de plástico e aproximadamente igual a 1,324718. Isso pode ser usado para gerar uma família de números Salem, incluindo o menor encontrado até agora. A abordagem geral é tomar o mínimo polinómio P ( x ) de um número Pisot-Vijayaraghavan e sua polinomial recíproco , P * ( x ), e resolver a equação,

${\ Displaystyle x ^ {n} P (x) = \ pm P ^ {*} (x) \,}$

para integrante n acima de um limite. Subtraindo-se um lado do outro, factoring, sem ter em conta factores triviais, em seguida, se obter o polinómio mínima de certos números Salem. Por exemplo, usando o caso negativo o que precede,

${\ Displaystyle x ^ {n} (x ^ {3} -x-1) = - (x ^ {3} + x ^ {2} -1)}$

em seguida, para n = 8, esta factores como,

${\ Displaystyle (x-1) (x ^ {10} ^ + X {9} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + x + 1) = 0}$

onde o Decic é polinomial de Lehmer. Usando superior n vai produzir uma família com uma raiz que se aproxima o número de plástico . Isto pode ser melhor compreendido tomando n th raízes de ambos os lados,

${\ Displaystyle x (x ^ {3} -x-1) ^ {1 / N} = \ h (x ^ {3} + x ^ {2} -1) ^ {1 / N}}$

assim como n sobe, x vai aproximar-se a solução de x ³  -  x  - 1 = 0. Se o caso positivo é utilizado, então x se aproxima do número de plástico a partir da direcção oposta. Usando o polinômio mínimo do próximo número menor Pisot-Vijayaraghavan dá,

${\ Displaystyle x ^ {n} (x ^ {4} -x ^ {3} -1) = - (x ^ {4} + x-1)}$

que para n = 7 factores como,

${\ Displaystyle (x-1) (x ^ {10} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} 1) = 0}$

um Decic não gerada no anterior e tem a raiz x  = 1.216391 ... que é o número Salem conhecido menor 5º. Como n  → infinito, esta família por sua vez, tende para a verdadeira raiz maior de  x ⁴  -  x ³  - 1 = 0.

Referências

• Borwein, Peter (2002). Excursões Computacionais em Análise e Teoria dos Números . CMS Livros em matemática. Springer-Verlag . ISBN  0-387-95444-9 . ZBL  1.020,12001 .Rachar. 3.
• Boyd, David (2001) [1994], "número de Salem" , em Hazewinkel, Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4
• MJ Mossinghoff. "Números pequeno Salem" . Retirado 2016/01/07 .
• Salem, R. (1963). Os números algébricos e análise de Fourier . Heath monografias matemáticos. Boston, MA: DC Heath and Company . ZBL  0.126,07802 .