Tunelamento quântico - Quantum tunnelling

Tunelamento ou tunelamento quântico (US) é o fenômeno da mecânica quântica em que uma função de onda pode se propagar através de uma barreira de potencial .

A transmissão através da barreira pode ser finita e depende exponencialmente da altura e largura da barreira. A função de onda pode desaparecer de um lado e reaparecer do outro lado. A função de onda e sua primeira derivada são contínuas . No estado estacionário, o fluxo de probabilidade na direção direta é espacialmente uniforme. Nenhuma partícula ou onda é perdida. O tunelamento ocorre com barreiras de espessura em torno de 1-3 nm e menores.

Alguns autores também identificam como efeito de tunelamento a mera penetração da função de onda na barreira, sem transmissão do outro lado. O tunelamento quântico não é previsto pelas leis da mecânica clássica, onde a superação de uma barreira de potencial requer energia potencial.

O tunelamento quântico desempenha um papel essencial nos fenômenos físicos, como a fusão nuclear . Ele tem aplicações no diodo de túnel , computação quântica e no microscópio de tunelamento de varredura .

O efeito foi previsto no início do século 20. Sua aceitação como fenômeno físico geral veio em meados do século.

O tunelamento quântico é projetado para criar limites físicos para o tamanho dos transistores usados ​​na microeletrônica , devido aos elétrons serem capazes de tunelar transistores que são muito pequenos.

O tunelamento pode ser explicado em termos do princípio da incerteza de Heisenberg, em que um objeto quântico pode ser conhecido como uma onda ou como uma partícula em geral. Em outras palavras, a incerteza na localização exata das partículas de luz permite que essas partículas quebrem as regras da mecânica clássica e se movam no espaço sem ultrapassar a barreira de energia potencial.

O tunelamento quântico pode ser um dos mecanismos de decaimento do próton .

História

O tunelamento quântico foi desenvolvido a partir do estudo da radioatividade, descoberto em 1896 por Henri Becquerel . A radioatividade foi examinada posteriormente por Marie Curie e Pierre Curie , pelos quais eles ganharam o Prêmio Nobel de Física em 1903. Ernest Rutherford e Egon Schweidler estudaram sua natureza, que foi posteriormente verificada empiricamente por Friedrich Kohlrausch . A ideia de meia-vida e a possibilidade de prever a deterioração foi criada a partir de seu trabalho.

Em 1901, Robert Francis Earhart descobriu um regime de condução inesperado enquanto investigava a condução de gases entre eletrodos próximos usando o interferômetro de Michelson . JJ Thomson comentou que a descoberta justifica uma investigação mais aprofundada. Em 1911 e depois em 1914, o então estudante graduado Franz Rother mediu diretamente as correntes de emissão de campo estável. Ele empregou o método de Earhart para controlar e medir a separação do eletrodo, mas com um galvanômetro de plataforma sensível . Em 1926, Rother mediu as correntes de emissão de campo em um vácuo "rígido" entre eletrodos próximos .

O tunelamento quântico foi notado pela primeira vez em 1927 por Friedrich Hund enquanto ele calculava o estado fundamental do potencial de poço duplo . Leonid Mandelstam e Mikhail Leontovich o descobriram independentemente no mesmo ano. Eles estavam analisando as implicações da então nova equação de onda de Schrödinger .

Sua primeira aplicação foi uma explicação matemática para a decadência alfa , que foi desenvolvida em 1928 por George Gamow (que estava ciente das descobertas de Mandelstam e Leontovich) e independentemente por Ronald Gurney e Edward Condon . Os últimos pesquisadores resolveram simultaneamente a equação de Schrödinger para um potencial nuclear modelo e derivaram uma relação entre a meia-vida da partícula e a energia de emissão que dependia diretamente da probabilidade matemática de tunelamento.

Depois de assistir a um seminário Gamow, Max Born reconheceu a generalidade do tunelamento. Ele percebeu que não se restringia à física nuclear , mas era um resultado geral da mecânica quântica que se aplicava a muitos sistemas diferentes. Pouco tempo depois, ambos os grupos consideraram o caso de partículas em túnel no núcleo. O estudo de semicondutores e o desenvolvimento de transistores e diodos levaram à aceitação do tunelamento de elétrons em sólidos em 1957. Leo Esaki , Ivar Giaever e Brian Josephson previram o tunelamento de pares supercondutores de Cooper , pelos quais receberam o Prêmio Nobel de Física em 1973 Em 2016, foi descoberto o tunelamento quântico de água .

Introdução ao conceito

Animação mostrando o efeito túnel e sua aplicação a um STM

O tunelamento quântico cai sob o domínio da mecânica quântica : o estudo do que acontece na escala quântica . O tunelamento não pode ser percebido diretamente. Muito de sua compreensão é moldada pelo mundo microscópico, que a mecânica clássica não consegue explicar. Para entender o fenômeno , as partículas que tentam atravessar uma barreira potencial podem ser comparadas a uma bola que tenta rolar sobre uma colina.

A mecânica quântica e a mecânica clássica diferem no tratamento desse cenário. A mecânica clássica prevê que as partículas que não têm energia suficiente para superar uma barreira classicamente não podem alcançar o outro lado. Assim, uma bola sem energia suficiente para superar a colina rolaria de volta para baixo. Uma bola que não tem energia para penetrar na parede salta para trás. Alternativamente, a bola pode se tornar parte da parede (absorção).

Na mecânica quântica, essas partículas podem, com uma pequena probabilidade, fazer um túnel para o outro lado, cruzando assim a barreira. A bola, em certo sentido, pega emprestada energia de seus arredores para cruzar a parede. Em seguida, ele retribui a energia tornando os elétrons refletidos mais energéticos do que teriam sido de outra forma.

A razão para essa diferença vem de tratar a matéria como tendo propriedades de ondas e partículas . Uma interpretação dessa dualidade envolve o princípio da incerteza de Heisenberg , que define um limite em como precisamente a posição e o momento de uma partícula podem ser conhecidos simultaneamente. Isso implica que nenhuma solução tem probabilidade exatamente igual a zero (ou um), embora possa se aproximar do infinito. Se, por exemplo, o cálculo de sua posição fosse tomado como uma probabilidade de 1, sua velocidade teria que ser infinita (uma impossibilidade). Conseqüentemente, a probabilidade de existência de uma dada partícula no lado oposto de uma barreira intermediária é diferente de zero, e tais partículas aparecerão no 'outro' (uma palavra semanticamente difícil neste caso) em proporção a essa probabilidade.

O problema de tunelamento

Uma simulação de um incidente de pacote de ondas em uma barreira potencial. Em unidades relativas, a energia da barreira é 20, maior do que a energia média do pacote de ondas de 14. Uma parte do pacote de ondas passa pela barreira.

A função de onda de uma partícula resume tudo o que pode ser conhecido sobre um sistema físico . Portanto, problemas em mecânica quântica analisam a função de onda do sistema. Usando formulações matemáticas, como a equação de Schrödinger , a função de onda pode ser deduzida. O quadrado do valor absoluto dessa função de onda está diretamente relacionado à distribuição de probabilidade da posição da partícula, que descreve a probabilidade de a partícula estar em um determinado lugar. Quanto mais larga a barreira e mais alta a energia da barreira, menor a probabilidade de tunelamento.

Um modelo simples de uma barreira de tunelamento, como a barreira retangular , pode ser analisado e resolvido algebricamente. Na teoria de campos canônicos, o tunelamento é descrito por uma função de onda que tem uma amplitude diferente de zero dentro do túnel; mas a corrente é zero porque a fase relativa da amplitude da função de onda conjugada (a derivada do tempo) é ortogonal a ela.

A simulação mostra um desses sistemas.

Um pacote de ondas de elétrons direcionado a uma barreira de potencial. Observe o ponto escuro à direita que representa os elétrons em túnel.

A segunda ilustração mostra o princípio da incerteza em ação. Uma onda atinge a barreira; a barreira obriga-o a ficar mais alto e mais estreito. A onda se torna muito mais deslocada - agora está em ambos os lados da barreira, é mais larga em cada lado e menor em amplitude máxima, mas igual em amplitude total. Em ambas as ilustrações, a localização da onda no espaço provoca a localização da ação da barreira no tempo, espalhando assim a energia / momento da onda.

Problemas na vida real muitas vezes não têm um, então métodos "semiclássicos" ou "quase-clássicos" foram desenvolvidos para oferecer soluções aproximadas, como a aproximação de WKB . Probabilidades pode ser determinada com precisão arbitrária, como limitada pela recursos computacionais, através Feynman 's integrante caminho método. Essa precisão raramente é necessária na prática de engenharia.

Tunelamento Dinâmico

Oscilações de probabilidade de tunelamento quântico em um poço de potencial duplo integrável, visto no espaço de fase.

O conceito de tunelamento quântico pode ser estendido a situações onde existe um transporte quântico entre regiões que não estão classicamente conectadas, mesmo que não haja uma barreira potencial associada. Este fenômeno é conhecido como tunelamento dinâmico.

Tunelamento no espaço de fase

O conceito de tunelamento dinâmico é particularmente adequado para resolver o problema de tunelamento quântico em dimensões altas (d> 1). No caso de um sistema integrável , onde trajetórias clássicas limitadas são confinadas em toros no espaço de fase , tunelamento pode ser entendido como o transporte quântico entre estados semiclássicos construídos em dois toros distintos, mas simétricos.

Tunelamento assistido pelo caos

Oscilações de tunelamento assistidas pelo caos entre dois toros regulares embutidos em um mar caótico, vistas no espaço de fase

Na vida real, a maioria dos sistemas não são integráveis ​​e exibem vários graus de caos. A dinâmica clássica é então considerada mista e o espaço de fase do sistema é tipicamente composto de ilhas de órbitas regulares rodeadas por um grande mar de órbitas caóticas. A existência do mar caótico, onde o transporte é classicamente permitido, entre os dois toros simétricos auxilia no tunelamento quântico entre eles. Este fenômeno é conhecido como tunelamento assistido pelo caos. e é caracterizado por ressonâncias nítidas da taxa de tunelamento ao variar qualquer parâmetro do sistema.

Tunelamento assistido por ressonância

Quando é pequeno em relação ao tamanho das ilhas regulares, a estrutura fina do espaço de fase clássico desempenha um papel fundamental na construção de túneis. Em particular, os dois toros simétricos são acoplados "por meio de uma sucessão de transições classicamente proibidas em ressonâncias não lineares" em torno das duas ilhas.

Fenômenos relacionados

Vários fenômenos têm o mesmo comportamento que o tunelamento quântico e podem ser descritos com precisão por tunelamento. Os exemplos incluem o tunelamento de uma associação clássica onda-partícula, acoplamento de onda evanescente (a aplicação da equação de onda de Maxwell à luz ) e a aplicação da equação de onda não dispersiva da acústica aplicada a "ondas em cordas" . O acoplamento de ondas evanescentes, até recentemente, era apenas chamado de "tunelamento" na mecânica quântica; agora ele é usado em outros contextos.

Esses efeitos são modelados de forma semelhante à barreira de potencial retangular . Nestes casos, um meio de transmissão através do qual a onda se propaga é o mesmo ou quase o mesmo em toda a extensão e um segundo meio através do qual a onda viaja de forma diferente. Isso pode ser descrito como uma região delgada do meio B entre duas regiões do meio A. A análise de uma barreira retangular por meio da equação de Schrödinger pode ser adaptada a esses outros efeitos, desde que a equação de onda tenha soluções de ondas viajantes no meio A, mas soluções exponenciais reais no meio B.

Em óptica , o meio A é um vácuo, enquanto o meio B é o vidro. Em acústica, o meio A pode ser um líquido ou gás e o meio B um sólido. Para ambos os casos, o meio A é uma região do espaço onde a energia total da partícula é maior do que sua energia potencial e o meio B é a barreira potencial. Eles têm uma onda de entrada e ondas resultantes em ambas as direções. Pode haver mais meios e barreiras, e as barreiras não precisam ser discretas. As aproximações são úteis neste caso.

Formulários

O tunelamento é a causa de alguns fenômenos físicos macroscópicos importantes. O tunelamento quântico tem implicações importantes no funcionamento da nanotecnologia .

Eletrônicos

O encapsulamento é uma fonte de vazamento de corrente em componentes eletrônicos de integração em larga escala (VLSI) e resulta em dreno de energia substancial e efeitos de aquecimento que afetam tais dispositivos. É considerado o limite inferior de como os elementos de dispositivos microeletrônicos podem ser feitos. O tunelamento é uma técnica fundamental usada para programar as portas flutuantes da memória flash .

Emissão de frio

A emissão de elétrons a frio é relevante para a física de semicondutores e supercondutores . É semelhante à emissão termiônica , em que os elétrons saltam aleatoriamente da superfície de um metal para seguir uma tendência de tensão porque estatisticamente acabam com mais energia do que a barreira, por meio de colisões aleatórias com outras partículas. Quando o campo elétrico é muito grande, a barreira se torna fina o suficiente para que os elétrons saiam do estado atômico em um túnel, levando a uma corrente que varia aproximadamente exponencialmente com o campo elétrico. Esses materiais são importantes para a memória flash , tubos de vácuo e também alguns microscópios eletrônicos.

Junção do túnel

Uma barreira simples pode ser criada separando dois condutores com um isolador muito fino . Estas são junções de túnel, cujo estudo requer a compreensão do tunelamento quântico. As junções Josephson aproveitam o tunelamento quântico e a supercondutividade de alguns semicondutores para criar o efeito Josephson . Tem aplicações em medições precisas de tensões e campos magnéticos , bem como em células solares multifuncionais .

Autômatos celulares de pontos quânticos

QCA é uma tecnologia de síntese de lógica binária molecular que opera pelo sistema de tunelamento de elétrons entre ilhas. Este é um dispositivo rápido e de muito baixo consumo de energia que pode operar a uma frequência máxima de 15 PHz .

Diodo túnel

Um mecanismo de funcionamento de um dispositivo de diodo de tunelamento ressonante , baseado no fenômeno de tunelamento quântico através das barreiras potenciais.

Diodos são dispositivos semicondutores elétricos que permitem o fluxo de corrente elétrica em uma direção mais do que na outra. O dispositivo depende de uma camada de depleção entre tipo N e de tipo P semicondutores para servir a sua finalidade. Quando estes são fortemente dopados, a camada de depleção pode ser fina o suficiente para o tunelamento. Quando uma pequena polarização direta é aplicada, a corrente devido ao tunelamento é significativa. Isso tem um máximo no ponto em que a polarização da tensão é tal que o nível de energia das bandas de condução pe n são iguais. Conforme a polarização da tensão é aumentada, as duas bandas de condução não se alinham mais e o diodo atua normalmente.

Como a corrente de tunelamento cai rapidamente, diodos de túnel podem ser criados com uma faixa de tensões para a qual a corrente diminui conforme a tensão aumenta. Esta propriedade peculiar é usada em algumas aplicações, como dispositivos de alta velocidade onde a probabilidade de tunelamento característico muda tão rapidamente quanto a tensão de polarização.

O diodo de tunelamento ressonante faz uso do tunelamento quântico de uma maneira muito diferente para alcançar um resultado semelhante. Este diodo possui uma tensão ressonante para a qual uma grande quantidade de corrente favorece uma determinada tensão, obtida colocando duas camadas finas com uma banda de condutância de alta energia próximas uma da outra. Isso cria um poço de potencial quântico que possui um nível de energia discreto mais baixo . Quando esse nível de energia é superior ao dos elétrons, não ocorre tunelamento e o diodo fica em polarização reversa. Uma vez que as duas energias de voltagem se alinham, os elétrons fluem como um fio aberto. Conforme a tensão aumenta ainda mais, o tunelamento se torna improvável e o diodo atua como um diodo normal novamente antes que um segundo nível de energia se torne perceptível.

Transistores de efeito de campo de túnel

Um projeto de pesquisa europeu demonstrou transistores de efeito de campo nos quais a porta (canal) é controlada por tunelamento quântico em vez de injeção térmica, reduzindo a tensão da porta de ≈1 volt para 0,2 volts e reduzindo o consumo de energia em até 100 ×. Se esses transistores puderem ser escalados em chips VLSI , eles melhorariam o desempenho por potência dos circuitos integrados .

Fusão nuclear

O tunelamento quântico é um fenômeno essencial para a fusão nuclear. A temperatura nos núcleos das estrelas é geralmente insuficiente para permitir que os núcleos atômicos superem a barreira de Coulomb e alcancem a fusão termonuclear . O tunelamento quântico aumenta a probabilidade de penetrar essa barreira. Embora essa probabilidade ainda seja baixa, o número extremamente grande de núcleos no centro de uma estrela é suficiente para sustentar uma reação de fusão constante.

Decaimento radioativo

A decadência radioativa é o processo de emissão de partículas e energia do núcleo instável de um átomo para formar um produto estável. Isso é feito por meio do tunelamento de uma partícula para fora do núcleo (um tunelamento de elétrons para o núcleo é a captura de elétrons ). Esta foi a primeira aplicação do tunelamento quântico. O decaimento radioativo é uma questão relevante para a astrobiologia, pois esta consequência do tunelamento quântico cria uma fonte de energia constante durante um grande intervalo de tempo para ambientes fora da zona habitável circunstelar onde a insolação não seria possível ( oceanos subterrâneos ) ou efetiva.

Astroquímica em nuvens interestelares

Ao incluir o tunelamento quântico, a síntese astroquímica de várias moléculas em nuvens interestelares pode ser explicada, como a síntese de hidrogênio molecular , água ( gelo ) e o importante formaldeído prebiótico .

Biologia quântica

O tunelamento quântico está entre os efeitos quânticos não triviais centrais da biologia quântica . Aqui, é importante como tunelamento de elétrons e tunelamento de prótons . O tunelamento de elétrons é um fator chave em muitas reações redox bioquímicas ( fotossíntese , respiração celular ), bem como na catálise enzimática. O tunelamento de prótons é um fator chave na mutação espontânea do DNA .

A mutação espontânea ocorre quando a replicação normal do DNA ocorre depois que um próton particularmente significativo foi tunelizado. Uma ligação de hidrogênio une pares de bases de DNA. Um potencial de poço duplo ao longo de uma ligação de hidrogênio separa uma barreira de energia potencial. Acredita-se que o potencial do poço duplo seja assimétrico, com um bem mais profundo do que o outro, de modo que o próton normalmente repousa no poço mais profundo. Para que ocorra uma mutação, o próton deve ter entrado em um túnel no poço mais raso. O movimento do próton a partir de sua posição regular é chamado de transição tautomérica . Se a replicação do DNA ocorrer neste estado, a regra de emparelhamento de base do DNA pode ser comprometida, causando uma mutação. Per-Olov Lowdin foi o primeiro a desenvolver esta teoria da mutação espontânea dentro da dupla hélice . Acredita-se que outros casos de mutações induzidas por tunelamento quântico na biologia sejam a causa do envelhecimento e do câncer.

Condutividade quântica

Embora o modelo Drude-Lorentz de condutividade elétrica faça excelentes previsões sobre a natureza dos elétrons que conduzem em metais, ele pode ser aprimorado usando o tunelamento quântico para explicar a natureza das colisões de elétrons. Quando um pacote de onda de elétron livre encontra uma longa série de barreiras uniformemente espaçadas , a parte refletida do pacote de onda interfere uniformemente com a parte transmitida entre todas as barreiras, de modo que a transmissão de 100% se torna possível. A teoria prevê que, se os núcleos carregados positivamente formarem um arranjo perfeitamente retangular, os elétrons farão um túnel através do metal como elétrons livres, levando a uma condutância extremamente alta , e que as impurezas no metal irão interrompê-lo significativamente.

Microscópio de tunelamento de varredura

O microscópio de tunelamento de varredura (STM), inventado por Gerd Binnig e Heinrich Rohrer , pode permitir imagens de átomos individuais na superfície de um material. Ele opera aproveitando a relação entre o tunelamento quântico e a distância. Quando a ponta da agulha do STM é aproximada de uma superfície de condução com polarização de voltagem, medir a corrente dos elétrons que estão fazendo um túnel entre a agulha e a superfície revela a distância entre a agulha e a superfície. Usando hastes piezoelétricas que mudam de tamanho quando a tensão é aplicada, a altura da ponta pode ser ajustada para manter a corrente de tunelamento constante. As tensões variáveis ​​com o tempo aplicadas a essas hastes podem ser registradas e usadas para criar a imagem da superfície do condutor. STMs têm precisão de 0,001 nm, ou cerca de 1% do diâmetro atômico.

Efeito de isótopo cinético

Em cinética química , a substituição de um isótopo leve de um elemento por um mais pesado normalmente resulta em uma taxa de reação mais lenta. Isso geralmente é atribuído a diferenças nas energias vibracionais de ponto zero para ligações químicas contendo os isótopos mais leves e mais pesados ​​e geralmente é modelado usando a teoria do estado de transição . No entanto, em certos casos, grandes efeitos de isótopos são observados que não podem ser explicados por um tratamento semiclássico, e o tunelamento quântico é necessário. RP Bell desenvolveu um tratamento modificado da cinética de Arrhenius que é comumente usado para modelar esse fenômeno.

Mais rápido que a luz

Alguns físicos afirmam que é possível que as partículas de spin zero viajem mais rápido do que a velocidade da luz durante o tunelamento. Isso aparentemente viola o princípio da causalidade , uma vez que existe um quadro de referência no qual a partícula chega antes de partir. Em 1998, Francis E. Low revisou brevemente o fenômeno do tunelamento em tempo zero. Mais recentemente, dados experimentais de tempo de tunelamento de fônons , fótons e elétrons foram publicados por Günter Nimtz .

Outros físicos, como Herbert Winful , contestaram essas afirmações. Winful argumentou que o pacote de ondas de uma partícula de tunelamento se propaga localmente, então uma partícula não pode tunelar através da barreira não localmente. Winful também argumentou que os experimentos que supostamente mostram propagação não local foram mal interpretados. Em particular, a velocidade de grupo de um pacote de ondas não mede sua velocidade, mas está relacionada à quantidade de tempo que o pacote de ondas fica armazenado na barreira. Mas o problema é que a função de onda ainda aumenta dentro da barreira em todos os pontos ao mesmo tempo. Em outras palavras, em qualquer região inacessível à medição, a propagação não local ainda é matematicamente certa.

Um experimento feito em 2020, supervisionado por Aephraim Steinberg, mostrou que as partículas deveriam ser capazes de criar um túnel em velocidades aparentes mais rápidas do que a luz.

Discussão matemática

Tunelamento quântico através de uma barreira. A energia da partícula em túnel é a mesma, mas a amplitude da probabilidade diminui.

A equação de Schrödinger

A equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em uma dimensão pode ser escrita como

ou

Onde

  • é a constante de Planck reduzida ,
  • m é a massa da partícula,
  • x representa a distância medida na direção do movimento da partícula,
  • Ψ é a função de onda de Schrödinger,
  • V é a energia potencial da partícula (medida em relação a qualquer nível de referência conveniente),
  • E é a energia da partícula que está associada ao movimento no eixo x (medido em relação a V),
  • M (x) é uma quantidade definida por V (x) - E que não tem nome aceito na física.

As soluções da equação de Schrödinger assumem diferentes formas para diferentes valores de x, dependendo se M (x) é positivo ou negativo. Quando M (x) é constante e negativo, a equação de Schrödinger pode ser escrita na forma

As soluções desta equação representam ondas viajantes, com constante de fase + k ou - k . Alternativamente, se M (x) é constante e positivo, então a equação de Schrödinger pode ser escrita na forma

As soluções dessa equação são exponenciais crescentes e decrescentes na forma de ondas evanescentes . Quando M (x) varia com a posição, a mesma diferença no comportamento ocorre, dependendo se M (x) é negativo ou positivo. Segue-se que o sinal de M (x) determina a natureza do meio, com M (x) negativo correspondendo ao meio A e M (x) positivo correspondendo ao meio B. Segue-se, portanto, que o acoplamento de onda evanescente pode ocorrer se uma região de M (x) positivo é imprensado entre duas regiões de M (x) negativo, criando assim uma barreira potencial.

A matemática de lidar com a situação em que M (x) varia com x é difícil, exceto em casos especiais que geralmente não correspondem à realidade física. Um tratamento matemático completo aparece na monografia de 1965 de Fröman e Fröman. Suas ideias não foram incorporadas aos livros de física, mas suas correções têm pouco efeito quantitativo.

A aproximação WKB

A função de onda é expressa como o exponencial de uma função:

, Onde

é então separado em partes reais e imaginárias:

, onde A (x) e B (x) são funções com valor real.

Substituir a segunda equação na primeira e usar o fato de que a parte imaginária precisa ser 0 resulta em:

.
Tunelamento quântico na formulação do espaço de fase da mecânica quântica. Função de Wigner para tunelamento através da barreira de potencial em unidades atômicas (au). As linhas sólidas representam o conjunto de níveis do hamiltoniano .

Para resolver esta equação usando a aproximação semiclássica, cada função deve ser expandida como uma série de potências em . A partir das equações, a série de potências deve começar com pelo menos uma ordem de para satisfazer a parte real da equação; para um bom limite clássico começando com a maior potência da constante de Planck possível é preferível, o que leva a

e

,

com as seguintes restrições nos termos de ordem mais baixa,

e

.

Neste ponto, dois casos extremos podem ser considerados.

Caso 1 Se a amplitude varia lentamente em comparação com a fase e

que corresponde ao movimento clássico. Resolvendo a próxima ordem de resultados de expansão

Caso 2

Se a fase variar lentamente em comparação com a amplitude, e
que corresponde ao tunelamento. Resolvendo a próxima ordem dos rendimentos de expansão

Em ambos os casos, é evidente a partir do denominador que ambas as soluções aproximadas são ruins perto dos pontos de inflexão clássicos . Longe da colina potencial, a partícula atua como uma onda livre e oscilante; abaixo da colina potencial, a partícula sofre mudanças exponenciais em amplitude. Ao considerar o comportamento nesses limites e pontos de inflexão clássicos, uma solução global pode ser feita.

Para começar, um ponto de viragem clássico é escolhido e expandido em uma série de poder sobre :

Manter apenas o termo de primeira ordem garante a linearidade:

.

Usando esta aproximação, a equação próxima se torna uma equação diferencial :

.

Isso pode ser resolvido usando as funções de Airy como soluções.

Tomando essas soluções para todos os pontos de inflexão clássicos, uma solução global pode ser formada que une as soluções limitantes. Dados os dois coeficientes de um lado de um ponto de inflexão clássico, os dois coeficientes do outro lado de um ponto de inflexão clássico podem ser determinados usando esta solução local para conectá-los.

Conseqüentemente, as soluções da função Airy irão assíntotar em funções seno, cosseno e exponencial nos limites apropriados. As relações entre e são

e

Tunelamento quântico através de uma barreira. Na origem (x = 0), existe uma barreira de potencial muito alta, mas estreita. Um efeito de túnel significativo pode ser visto.

Com os coeficientes encontrados, a solução global pode ser encontrada. Portanto, o coeficiente de transmissão para um túnel de partículas através de uma única barreira de potencial é

,

onde estão os dois pontos de viragem clássicos para a barreira de potencial.

Para uma barreira retangular, esta expressão se simplifica para:

.

Veja também

Referências

Leitura adicional

links externos