Efeito Quantum Hall - Quantum Hall effect

O efeito Hall quântico (ou efeito Hall quântico inteiro ) é uma versão quantizada do efeito Hall que é observado em sistemas de elétrons bidimensionais sujeitos a baixas temperaturas e campos magnéticos fortes , nos quais a resistência Hall R _xy exibe etapas que assumem valores quantizados

${\ displaystyle R_ {xy} = {\ frac {V _ {\ text {Hall}}} {I _ {\ text {channel}}}} = {\ frac {h} {e ^ {2} \ nu}}, }$

onde V _Municipal é a tensão de Hall , que _canal é o canal de corrente , e é a carga elementar e h é a constante de Planck . O divisor ν pode ser inteiro ( ν = 1, 2, 3, ... ) ou fracionário ( ν = 1/3, 2/5, 3/7, 2/3, 3/5, 1/5, 2/9, 3/13, 5/2, 12/5, ... ) valores. Aqui, ν é aproximadamente, mas não exatamente igual, ao fator de preenchimento dos níveis de Landau . O efeito Hall quântico é referido como o efeito Hall quântico inteiro ou fracionário dependendo se ν é um inteiro ou fração, respectivamente.

A característica marcante do efeito Hall quântico inteiro é a persistência da quantização (isto é, o platô de Hall) conforme a densidade do elétron é variada. Uma vez que a densidade do elétron permanece constante quando o nível de Fermi está em uma lacuna espectral limpa, esta situação corresponde a uma onde o nível de Fermi é uma energia com uma densidade finita de estados, embora esses estados sejam localizados (ver localização de Anderson ).

O efeito Hall quântico fracionário é mais complicado; sua existência depende fundamentalmente das interações elétron-elétron. O efeito Hall quântico fracionário também é entendido como um efeito Hall quântico inteiro, embora não de elétrons, mas de compostos de fluxo de carga conhecidos como férmions compostos . Em 1988, foi proposto que havia efeito Hall quântico sem os níveis de Landau . Esse efeito Hall quântico é conhecido como efeito Hall anômalo quântico (QAH). Há também um novo conceito de efeito Hall de spin quântico, que é um análogo do efeito Hall quântico, em que as correntes de spin fluem em vez de correntes de carga.

Formulários

A quantização da condutância Hall ( ) tem a importante propriedade de ser extremamente precisa. As medições reais da condutância Hall foram encontradas como números inteiros ou múltiplos fracionários de${\ displaystyle G_ {xy} = 1 / R_ {xy}}$e ²/hpara quase uma parte em um bilhão. Este fenômeno, conhecido como quantização exata , não é realmente compreendido, mas às vezes foi explicado como uma manifestação muito sutil do princípio da invariância de calibre . Ele permitiu a definição de uma nova prática padrão para a resistência eléctrica , com base na resistência quântica dado pela constante de von Klitzing R _K . Este é o nome de Klaus von Klitzing , o descobridor da quantização exata. O efeito Hall quântico também fornece uma determinação independente extremamente precisa da constante de estrutura fina , uma quantidade de importância fundamental na eletrodinâmica quântica .

Em 1990, um valor convencional fixo R _K-90 =25 812 0,807 Ω foi definido para uso em calibrações de resistência em todo o mundo. Em 16 de novembro de 2018, a 26ª reunião da Conferência Geral de Pesos e Medidas decidiu fixar os valores exatos de h (a constante de Planck) e e (a carga elementar), substituindo o valor de 1990 com um valor permanente exato R _K =h/e ² = 25 812 0,807 45 ... Ω .

História

O MOSFET ( transistor de efeito de campo semicondutor de óxido metálico ), inventado por Mohamed Atalla e Dawon Kahng no Bell Labs em 1959, permitiu aos físicos estudar o comportamento do elétron em um gás bidimensional quase ideal . Em um MOSFET, os elétrons de condução viajam em uma camada superficial fina, e uma tensão de " porta " controla o número de portadores de carga nessa camada. Isso permite que os pesquisadores explorem os efeitos quânticos operando MOSFETs de alta pureza em temperaturas de hélio líquido .

A quantização inteira da condutância Hall foi originalmente prevista pelos pesquisadores da Universidade de Tóquio , Tsuneya Ando, ​​Yukio Matsumoto e Yasutada Uemura, em 1975, com base em um cálculo aproximado que eles próprios não acreditavam ser verdadeiro. Em 1978, os pesquisadores Jun-ichi Wakabayashi e Shinji Kawaji da Universidade de Gakushuin subsequentemente observaram o efeito em experimentos realizados na camada de inversão de MOSFETs.

Em 1980, Klaus von Klitzing , trabalhando no laboratório de alto campo magnético em Grenoble com amostras MOSFET à base de silício desenvolvidas por Michael Pepper e Gerhard Dorda, fez a descoberta inesperada de que a resistência Hall era exatamente quantizada. Por essa descoberta, von Klitzing recebeu o Prêmio Nobel de Física de 1985 . Uma ligação entre a quantização exata e a invariância do calibre foi subsequentemente proposta por Robert Laughlin , que conectou a condutividade quantizada ao transporte de carga quantizada em uma bomba de carga Thouless. A maioria dos experimentos de Hall quântico inteiro são agora realizados em heteroestruturas de arsenieto de gálio , embora muitos outros materiais semicondutores possam ser usados. Em 2007, o efeito Hall quântico inteiro foi relatado no grafeno em temperaturas tão altas quanto a temperatura ambiente, e no óxido de zinco e magnésio ZnO-Mg _x Zn _{1− x} O.

Efeito Hall quântico inteiro

Tocar mídia

Gráfico animado mostrando o preenchimento dos níveis de Landau à medida que B muda e a posição correspondente em um gráfico do coeficiente Hall e do campo magnético | Apenas ilustrativo. Os níveis se espalham com o aumento do campo. Entre os níveis, o efeito hall quântico é visto.

Níveis Landau

Em duas dimensões, quando os elétrons clássicos são submetidos a um campo magnético, eles seguem órbitas de ciclotron circulares. Quando o sistema é tratado mecanicamente quântico, essas órbitas são quantizadas. Para determinar os valores dos níveis de energia, a equação de Schrödinger deve ser resolvida.

Como o sistema está sujeito a um campo magnético, ele deve ser introduzido como um potencial vetorial eletromagnético na equação de Schrödinger . O sistema considerado é um gás de elétron que é livre para se mover nas direções xey, mas fortemente confinado na direção z. Em seguida, é aplicado um campo magnético ao longo da direção z e de acordo com o medidor de Landau o potencial do vetor eletromagnético é e o potencial escalar é . Assim, a equação de Schrödinger para uma partícula de carga e massa efetiva neste sistema é: ${\ displaystyle \ mathbf {A} = (0, Bx, 0)}$${\ displaystyle \ phi = 0}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle m ^ {*}}$

${\ displaystyle \ left \ {{\ frac {1} {2m ^ {*}}} \ left [\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right] ^ {2} + V (z) \ right \} \ phi (x, y, z) = \ varepsilon \ phi (x, y, z)}$

onde está o momento canônico, que é substituído pelo operador e é a energia total. ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle -i \ hbar \ nabla}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Para resolver esta equação, é possível separá-la em duas equações, uma vez que o campo magnético afeta apenas o movimento ao longo de xe y. A energia total torna-se então, a soma de duas contribuições . As duas equações correspondentes são: ${\ displaystyle \ varepsilon = \ varepsilon _ {z} + \ varepsilon _ {xy}}$

No eixo z:

${\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m ^ {*}}} {\ partial ^ {2} \ over \ partial z ^ {2}} \ right] u (z) = \ varejpsilon _ {z} u (z)}$

Para simplificar a solução ela é considerada como um poço infinito, portanto as soluções para a direção z são as energias e as funções de onda são senoidais. Para as direções xey, a solução da equação de Schrödinger é o produto de uma onda plana na direção y com alguma função desconhecida de x, uma vez que o potencial vetorial não depende de y, ou seja . Substituindo este Ansatz na equação de Schrödinger obtém-se a equação do oscilador harmônico unidimensional centrada em . ${\ displaystyle V (z)}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {z} = {\ frac {n_ {z} ^ {2} \ pi ^ {2} \ hbar ^ {2}} {2m ^ {*} L ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle n_ {z} = 1,2,3 ...}$${\ displaystyle \ varphi _ {xy} = u (x) e ^ {iky}}$${\ displaystyle x_ {k} = {\ frac {\ hbar k} {eB}}}$

${\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m ^ {*}}} {\ partial ^ {2} \ over \ partial x ^ {2}} + {\ frac {1} {2}} m ^ {*} \ omega _ {\ rm {c}} ^ {2} (x + l_ {B} ^ {2} k) \ right] u (x) = \ varepsilon _ {xy} u (x)}$

onde é definido como a frequência do ciclotron e o comprimento magnético. As energias são: ${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {c}} = {\ frac {eB} {m ^ {*}}}}$${\ displaystyle l_ {B} ^ {2} = {\ frac {\ hbar} {eB}}}$

${\ displaystyle \ varepsilon _ {xy} \ equiv \ varepsilon _ {n} = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}} \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle n = 1,2,3 ...}$

E as funções de onda para o movimento no plano xy são dadas pelo produto de uma onda plana em y e polinômios de Hermite , que são as funções de onda de um oscilador harmônico.

Pela expressão dos níveis de Landau, nota-se que a energia depende apenas de , não de . Estados iguais mas diferentes são degenerados. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$

Densidade de estados

No campo zero, a densidade de estados por unidade de superfície para o gás de elétron bidimensional, levando em consideração a degeneração devido ao spin, é independente da energia

${\ displaystyle n _ {\ rm {2D}} = {\ frac {m ^ {*}} {\ pi \ hbar ^ {2}}}}$.

Quando o campo é ligado, a densidade dos estados colapsa da constante para um pente de Dirac , uma série de funções de Dirac , correspondendo aos níveis de Landau separados . Em temperatura finita, entretanto, os níveis de Landau adquirem uma largura sendo o tempo entre os eventos de espalhamento. Comumente, assume-se que a forma precisa dos níveis de Landau é um perfil gaussiano ou lorentziano . ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ Delta \ varepsilon _ {xy} = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}}}$${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {\ hbar} {\ tau _ {i}}}}$${\ displaystyle \ tau _ {i}}$

Outra característica é que as funções de onda formam faixas paralelas na direção, igualmente espaçadas ao longo do eixo, ao longo das linhas de . Uma vez que não há nada de especial sobre qualquer direção no plano-se o potencial do vetor foi escolhido de forma diferente, deve-se encontrar a simetria circular. ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle xy}$

Dada uma amostra de dimensões e aplicando as condições de contorno periódicas na direção - sendo um inteiro, obtém-se que cada potencial parabólico é colocado em um valor . ${\ displaystyle L_ {x} \ times L_ {y}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {L_ {y}}} j}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle x_ {k} = l_ {B} ^ {2} k}$

Potenciais parabólicos ao longo do eixo -central com as funções de primeira onda correspondendo a um confinamento de poço infinito na direção. Na direção existem ondas planas viajantes.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x_ {k}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle y}$

O número de estados para cada nível de Landau e pode ser calculado a partir da razão entre o fluxo magnético total que passa pela amostra e o fluxo magnético correspondente a um estado. ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle N_ {B} = {\ frac {\ phi} {\ phi _ {0}}} = {\ frac {BA} {BL_ {y} \ Delta x_ {k}}} = {\ frac {A } {2 \ pi l_ {B} ^ {2}}} {\ begin {array} {lcr} & l_ {B} & \\ & = & \\ && \ end {array}} {\ frac {AeB} { 2 \ pi \ hbar}} {\ begin {array} {lcr} & \ omega _ {\ rm {c}} & \\ & = & \\ && \ end {array}} {\ frac {m ^ {* } \ omega _ {\ rm {c}} A} {2 \ pi \ hbar}}}$

Assim, a densidade de estados por unidade de superfície é

${\ displaystyle n_ {B} = {\ frac {m ^ {*} \ omega _ {\ rm {c}}} {2 \ pi \ hbar}}}$.

Observe a dependência da densidade dos estados com o campo magnético. Quanto maior for o campo magnético, mais estados existem em cada nível de Landau. Como consequência, há mais confinamento no sistema, uma vez que menos níveis de energia são ocupados.

Reescrevendo a última expressão, pois é claro que cada nível de Landau contém tantos estados quanto em um 2DEG em a . ${\ displaystyle n_ {B} = {\ frac {\ hbar \ omega _ {\ rm {c}}} {2}} {\ frac {m ^ {*}} {\ pi \ hbar ^ {2}}} }$${\ displaystyle \ Delta \ varepsilon = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}}}$

Dado que os elétrons são férmions , para cada estado disponível nos níveis de Landau correspondem dois elétrons, um elétron com cada valor de spin . No entanto, se um grande campo magnético for aplicado, as energias se dividem em dois níveis devido ao momento magnético associado ao alinhamento do spin com o campo magnético. A diferença nas energias está sendo um fator que depende do material ( para elétrons livres) e do magneto de Bohr . O sinal é obtido quando o spin é paralelo ao campo e quando é antiparalelo. Este fato denominado spin split implica que a densidade de estados para cada nível é reduzida pela metade. Observe que é proporcional ao campo magnético, portanto, quanto maior for o campo magnético, mais relevante será a divisão. ${\ displaystyle s = \ pm {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle \ Delta E = \ pm {\ frac {1} {2}} g \ mu _ {\ rm {B}} B}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g = 2}$${\ displaystyle \ mu _ {\ rm {B}}}$${\ displaystyle +}$${\ displaystyle -}$${\ displaystyle \ Delta E}$

Densidade de estados em um campo magnético, desprezando a divisão de spin. (a) Os estados em cada faixa são compactados em uma função-nível de Landau. (b) Os níveis de Landau têm uma largura diferente de zero em uma imagem mais realista e se sobrepõem se . (c) Os níveis tornam-se distintos quando .${\ displaystyle \ hbar \ omega _ {\ rm {c}}}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ hbar \ omega _ {\ rm {c}} <\ Gamma}$${\ displaystyle \ hbar \ omega _ {\ rm {c}}> \ Gamma}$

Para obter o número de níveis de Landau ocupados, define-se o chamado fator de preenchimento como a razão entre a densidade de estados em um 2DEG e a densidade de estados nos níveis de Landau. ${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle \ nu = {\ frac {n _ {\ rm {2D}}} {n_ {B}}} = {\ frac {hn _ {\ rm {2D}}} {eB}}}$

Em geral, o fator de preenchimento não é um número inteiro. Acontece que é um número inteiro quando há um número exato de níveis de Landau preenchidos. Em vez disso, ele se torna um número não inteiro quando o nível superior não está totalmente ocupado. Visto que , ao aumentar o campo magnético, os níveis de Landau sobem em energia e o número de estados em cada nível aumenta, então menos elétrons ocupam o nível superior até que ele se torne vazio. Se o campo magnético continuar aumentando, eventualmente, todos os elétrons estarão no nível de Landau mais baixo ( ) e isso é chamado de limite quântico magnético. ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle n_ {B} \ propto B}$${\ displaystyle \ nu <1}$

Ocupação dos níveis de Landau em um campo magnético negligenciando a divisão do spin, mostrando como o nível de Fermi se move para manter uma densidade constante de elétrons. Os campos estão na proporção e dão e .${\ displaystyle 2: 3: 4}$${\ displaystyle \ nu = 4, {\ frac {8} {3}}}$${\ displaystyle 2}$

Resistividade longitudinal

É possível relacionar o fator de enchimento com a resistividade e, portanto, com a condutividade do sistema. Quando é um inteiro, a energia de Fermi encontra-se entre os níveis de Landau onde não há estados disponíveis para portadores, então a condutividade torna-se zero (considera-se que o campo magnético é grande o suficiente para que não haja sobreposição entre os níveis de Landau, caso contrário, seriam poucos elétrons e a condutividade seria aproximadamente ). Conseqüentemente, a resistividade também se torna zero (em campos magnéticos muito altos, é provado que a condutividade longitudinal e a resistividade são proporcionais). ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle 0}$

Em vez disso, quando é um meio inteiro, a energia de Fermi está localizada no pico da distribuição de densidade de algum Nível de Landau. Isso significa que a condutividade terá um máximo. ${\ displaystyle \ nu}$

Esta distribuição de mínimos e máximos corresponde a “oscilações quânticas” chamadas oscilações de Shubnikov – de Haas que se tornam mais relevantes à medida que o campo magnético aumenta. Obviamente, a altura dos picos são maiores à medida que o campo magnético aumenta, uma vez que a densidade dos estados aumenta com o campo, então há mais portadoras que contribuem para a resistividade. É interessante notar que se o campo magnético for muito pequeno, a resistividade longitudinal é uma constante, o que significa que o resultado clássico é alcançado.

Resistividade longitudinal e transversal (Hall), e , de um gás de elétron bidimensional em função do campo magnético. A inserção mostra-se dividida pela unidade quântica de condutância em função do fator de preenchimento .${\ displaystyle \ rho _ {xx}}$${\ displaystyle \ rho _ {xy}}$${\ displaystyle 1 / \ rho _ {xx}}$${\ displaystyle e ^ {2} / h}$${\ displaystyle \ nu}$

Resistividade transversal

A partir da relação clássica da resistividade transversal e substituição descobre-se a quantização da resistividade transversal e da condutividade: ${\ displaystyle \ rho _ {xy} = {\ frac {B} {en _ {\ rm {2D}}}}}$${\ displaystyle n _ {\ rm {2D}} = \ nu {\ frac {eB} {h}}}$

${\ displaystyle \ rho _ {xy} = {\ frac {h} {\ nu e ^ {2}}} \ Rightarrow \ sigma = \ nu {\ frac {e ^ {2}} {h}}}$

Conclui-se então que a resistividade transversal é um múltiplo do inverso do chamado quantum de condutância . No entanto, em experimentos um platô é observado entre os níveis de Landau, o que indica que existem de fato portadores de carga presentes. Esses portadores estão localizados, por exemplo, nas impurezas do material onde estão presos nas órbitas, de forma que não podem contribuir para a condutividade. É por isso que a resistividade permanece constante entre os níveis de Landau. Novamente, se o campo magnético diminui, obtém-se o resultado clássico em que a resistividade é proporcional ao campo magnético. ${\ displaystyle e ^ {2} / h}$

Efeito Hall quântico fotônico

O efeito Hall quântico, além de ser observado em sistemas eletrônicos bidimensionais , pode ser observado nos fótons. Os fótons não possuem carga elétrica inerente , mas através da manipulação de ressonadores ópticos discretos e fase mecânica quântica , nele cria um campo magnético artificial . Esse processo pode ser expresso por meio de uma metáfora de fótons saltando entre vários espelhos. Ao disparar a luz em vários espelhos, os fótons são direcionados e ganham fase adicional proporcional ao seu momento angular . Isso cria um efeito como se eles estivessem em um campo magnético .

Matemática

Borboleta de Hofstadter

Os inteiros que aparecem no efeito Hall são exemplos de números quânticos topológicos . Eles são conhecidos em matemática como os primeiros números de Chern e estão intimamente relacionados à fase de Berry . Um modelo impressionante de muito interesse neste contexto é o modelo Azbel – Harper – Hofstadter, cujo diagrama de fase quântica é a borboleta de Hofstadter mostrada na figura. O eixo vertical é a força do campo magnético e o eixo horizontal é o potencial químico , que fixa a densidade do elétron. As cores representam as condutâncias Hall inteiras. Cores quentes representam inteiros positivos e cores frias inteiros negativos. Observe, entretanto, que a densidade dos estados nessas regiões de condutância Hall quantizada é zero; portanto, eles não podem produzir os platôs observados nos experimentos. O diagrama de fase é fractal e possui estrutura em todas as escalas. Na figura, há uma óbvia auto-similaridade . Na presença de desordem, que é a fonte dos planaltos vistos nos experimentos, este diagrama é muito diferente e a estrutura fractal é quase totalmente apagada.

Com relação aos mecanismos físicos, as impurezas e / ou estados particulares (por exemplo, correntes de borda) são importantes para os efeitos 'inteiro' e 'fracionário'. Além disso, a interação de Coulomb também é essencial no efeito Hall quântico fracionário . A forte semelhança observada entre os efeitos Hall quântico inteiro e fracionário é explicada pela tendência dos elétrons de formarem estados ligados com um número par de quanta de fluxo magnético, chamados férmions compostos .

A interpretação do átomo de Bohr da constante de von Klitzing

O valor da constante de von Klitzing pode ser obtido já no nível de um único átomo dentro do modelo de Bohr enquanto olha para ele como um efeito Hall de um único elétron. Enquanto durante o movimento do ciclotron em uma órbita circular, a força centrífuga é balanceada pela força de Lorentz responsável pela tensão induzida transversal e o efeito Hall, pode-se observar a diferença de potencial de Coulomb no átomo de Bohr como a tensão Hall induzida de um único átomo e a tensão periódica movimento do elétron em um círculo uma corrente de Hall. Definir a corrente Hall de átomo único como uma taxa de carga de um único elétron está fazendo revoluções Kepler com frequência angular${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle I = {\ frac {\ omega e} {2 \ pi}},}$

e a voltagem Hall induzida como uma diferença entre o potencial de Coulomb do núcleo de hidrogênio no ponto orbital do elétron e no infinito:

${\ displaystyle U = V _ {\ text {C}} (\ infty) -V _ {\ text {C}} (r) = 0-V _ {\ text {C}} (r) = {\ frac {e} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r}}}$

Obtém-se a quantização da resistência de Hall da órbita de Bohr definida em etapas da constante de von Klitzing como

${\ displaystyle R _ {\ text {Bohr}} (n) = {\ frac {U} {I}} = n {\ frac {h} {e ^ {2}}}}$

que para o átomo de Bohr é linear, mas não inverso no inteiro n .

Análogos relativísticos

Exemplos relativísticos do efeito Hall quântico inteiro e efeito Hall do spin quântico surgem no contexto da teoria de calibre de rede .

Veja também

Referências

Leitura adicional

• DR Yennie (1987). "Efeito Hall quântico integral para não especialistas". Rev. Mod. Phys . 59 (3): 781–824. Bibcode : 1987RvMP ... 59..781Y . doi : 10.1103 / RevModPhys.59.781 .
• D. Hsieh; D. Qian; L. Wray; Y. Xia; YS Hor; RJ Cava; MZ Hasan (2008). "Um isolador topológico de Dirac em uma fase Hall de spin quântico". Nature . 452 (7190): 970–974. arXiv : 0902.1356 . Bibcode : 2008Natur.452..970H . doi : 10.1038 / nature06843 . PMID  18432240 . S2CID  4402113 .
• 25 anos de Quantum Hall Effect , K. von Klitzing, Poincaré Seminar (Paris-2004). PostScript . Pdf .
• Comunicado à imprensa do Magnet Lab Efeito Quantum Hall observado à temperatura ambiente
• Avron, Joseph E .; Osadchy, Daniel; Seiler, Ruedi (2003). "Uma análise topológica do efeito Quantum Hall". Física hoje . 56 (8): 38. bibcode : 2003PhT .... 56h..38A . doi : 10.1063 / 1.1611351 .
• Zyun F. Ezawa: Efeitos Quantum Hall - Abordagem Teórica de Campo e Tópicos Relacionados. World Scientific, Singapura 2008, ISBN  978-981-270-032-2
• Sankar D. Sarma, Aron Pinczuk: Perspectives in Quantum Hall Effects. Wiley-VCH, Weinheim 2004, ISBN  978-0-471-11216-7
• A. Baumgartner; T. Ihn; K. Ensslin; K. Maranowski; A. Gossard (2007). "Transição do efeito Quantum Hall em experimentos de portas de varredura". Phys. Rev. B . 76 (8): 085316. bibcode : 2007PhRvB..76h5316B . doi : 10.1103 / PhysRevB.76.085316 .
• EI Rashba e VB Timofeev, Quantum Hall Effect, Sov. Phys. - Semiconductors v. 20, pp. 617–647 (1986).