Arago spot - Arago spot

Experiência da mancha de Arago. Uma fonte pontual ilumina um objeto circular, projetando uma sombra na tela. No centro da sombra, um ponto brilhante aparece devido à difração , contradizendo a previsão da ótica geométrica .
Foto da mancha de Arago na sombra de um obstáculo circular de 5,8 mm
Simulação numérica da intensidade da luz monocromática de comprimento de onda λ = 0,5 µm atrás de um obstáculo circular de raio R = 5 µm = 10λ .
Formação do ponto de Arago (selecione "fonte WebM" para boa qualidade)
Mancha de Arago se formando na sombra

Em óptica , o ponto de Arago , ponto de Poisson ou ponto de Fresnel é um ponto brilhante que aparece no centro da sombra de um objeto circular devido à difração de Fresnel . Este ponto desempenhou um papel importante na descoberta da natureza ondulatória da luz e é uma forma comum de demonstrar que a luz se comporta como uma onda (por exemplo, em exercícios de laboratório de física de graduação).

A configuração experimental básica requer uma fonte pontual, como um furo de alfinete iluminado ou um feixe de laser divergente . As dimensões da configuração devem estar de acordo com os requisitos para difração de Fresnel . Ou seja, o número de Fresnel deve satisfazer

Onde

d é o diâmetro do objeto circular,
é a distância entre o objeto e a tela, e
λ é o comprimento de onda da fonte.

Finalmente, a borda do objeto circular deve ser suficientemente lisa.

Essas condições juntas explicam por que o ponto brilhante não é encontrado na vida cotidiana. No entanto, com as fontes de laser disponíveis hoje, é pouco exigente realizar um experimento no local de Arago.

Em astronomia , a mancha de Arago também pode ser observada na imagem fortemente desfocada de uma estrela em um telescópio newtoniano . Lá, a estrela fornece uma fonte pontual quase ideal no infinito, e o espelho secundário do telescópio constitui o obstáculo circular.

Quando a luz incide sobre o obstáculo circular, o princípio de Huygens diz que cada ponto no plano do obstáculo atua como uma nova fonte pontual de luz. A luz que vem de pontos na circunferência do obstáculo e vai para o centro da sombra percorre exatamente a mesma distância, de forma que toda a luz que passa perto do objeto chega na tela em fase e interfere construtivamente . Isso resulta em um ponto brilhante no centro da sombra, onde a ótica geométrica e as teorias das partículas da luz prevêem que não deveria haver luz alguma.

História

No início do século 19, ganhou força a ideia de que a luz não se propaga simplesmente em linhas retas. Thomas Young publicou seu experimento de dupla fenda em 1807. O experimento original do ponto de Arago foi realizado uma década depois e foi o experimento decisivo sobre a questão de saber se a luz é uma partícula ou uma onda. É, portanto, um exemplo de experimentum crucis .

Naquela época, muitos defendiam a teoria corpuscular da luz de Isaac Newton, entre eles o teórico Siméon Denis Poisson . Em 1818, a Academia Francesa de Ciências lançou um concurso para explicar as propriedades da luz, onde Poisson foi um dos membros da comissão julgadora. O engenheiro civil Augustin-Jean Fresnel entrou nesta competição apresentando uma teoria da luz de novas ondas .

Poisson estudou a teoria de Fresnel em detalhes e, sendo um defensor da teoria das partículas da luz, procurou uma maneira de provar que ela estava errada. Poisson pensou que havia encontrado uma falha quando argumentou que uma consequência da teoria de Fresnel era que existiria um ponto brilhante no eixo na sombra de um obstáculo circular, onde deveria haver escuridão completa de acordo com a teoria da luz das partículas. Como a mancha de Arago não é facilmente observada em situações cotidianas, Poisson interpretou-a como um resultado absurdo e que deveria refutar a teoria de Fresnel.

No entanto, o chefe do comitê, Dominique-François-Jean Arago (que aliás mais tarde se tornou primeiro-ministro da França), decidiu realizar a experiência com mais detalhes. Ele moldou um disco metálico de 2 mm em uma placa de vidro com cera. Ele conseguiu observar o local previsto, o que convenceu a maioria dos cientistas da natureza ondulatória da luz e deu a vitória a Fresnel.

Arago observou mais tarde que o fenômeno (mais tarde conhecido como "mancha de Poisson" ou "mancha de Arago") já havia sido observado por Delisle e Maraldi um século antes.

Ele só acabou de um século mais tarde (em um de Albert Einstein 's annus Mirabilis papéis ) que a luz deve ser descrito como uma partícula e uma onda ( dualidade partícula-onda da luz).

Teoria

Notação para calcular a amplitude da onda no ponto P 1 a partir de uma fonte de ponto esférico em P 0 .

No cerne da teoria das ondas de Fresnel está o princípio de Huygens-Fresnel , que afirma que cada ponto desobstruído de uma frente de onda se torna a fonte de uma onda esférica secundária e que a amplitude do campo óptico E em um ponto na tela é dada pelo sobreposição de todas essas wavelets secundárias levando em consideração suas fases relativas. Isso significa que o campo em um ponto P 1 na tela é dado por uma integral de superfície:

onde o fator de inclinação que garante que as ondas secundárias não se propaguem para trás é dado por

e

A é a amplitude da onda de origem
é o número de onda
S é a superfície desobstruída.

O primeiro termo fora da integral representa as oscilações da onda de origem a uma distância r 0 . Da mesma forma, o termo dentro da integral representa as oscilações das ondas secundárias nas distâncias r 1 .

A fim de derivar a intensidade por trás do obstáculo circular usando este integral, assume-se que os parâmetros experimentais cumprem os requisitos do regime de difração de campo próximo (o tamanho do obstáculo circular é grande em comparação com o comprimento de onda e pequeno em comparação com as distâncias g = P 0 C e b = CP 1 ). Ir para as coordenadas polares, em seguida, produz a integral para um objeto circular de raio a (ver por exemplo Born and Wolf):

A intensidade no eixo no centro da sombra de um pequeno obstáculo circular converge para a intensidade desobstruída.

Esta integral pode ser resolvida numericamente (veja abaixo). Se g é grande e b é pequeno de modo que o ângulo não seja desprezível, pode-se escrever a integral para o caso no eixo (P 1 está no centro da sombra) como (ver):

A intensidade da fonte , que é o quadrado da amplitude do campo, é e a intensidade na tela . A intensidade no eixo em função da distância b é, portanto, dada por:

Isso mostra que a intensidade no eixo no centro da sombra tende à intensidade da fonte, como se o objeto circular não estivesse presente. Além disso, isso significa que o ponto de Arago está presente mesmo com alguns diâmetros de obstáculo atrás do disco.

Cálculo de imagens de difração

Para calcular a imagem de difração completa que é visível na tela, deve-se considerar a integral de superfície da seção anterior. Não se pode mais explorar a simetria circular, uma vez que a linha entre a fonte e um ponto arbitrário na tela não passa pelo centro do objeto circular. Com a função de abertura que é 1 para partes transparentes do plano do objeto e 0 caso contrário (ou seja, é 0 se a linha direta entre a fonte e o ponto na tela passa pelo objeto circular de bloqueio.) A integral que precisa ser resolvida é dado por:

O cálculo numérico da integral usando a regra trapezoidal ou a regra de Simpson não é eficiente e se torna numericamente instável, especialmente para configurações com grande número de Fresnel . No entanto, é possível resolver a parte radial da integral de forma que apenas a integração sobre o ângulo de azimute deva ser feita numericamente. Para um determinado ângulo, deve-se resolver a integral de linha para o raio com origem no ponto de interseção da linha P 0 P 1 com o plano do objeto circular. A contribuição para um determinado raio com ângulo de azimute e passando uma parte transparente do plano do objeto de para é:

Portanto, para cada ângulo, deve-se calcular o ( s ) ponto ( s ) de interseção do raio com o objeto circular e então somar as contribuições para um certo número de ângulos entre 0 e . Os resultados de tal cálculo são mostrados nas imagens a seguir.

Simulação Poissonspot d4mm.jpg Simulação Poissonspot d2mm.jpg Simulação Poissonspot d1mm.jpg

As imagens mostram manchas de Arago simuladas na sombra de um disco de diâmetro variável (4 mm, 2 mm, 1 mm - da esquerda para a direita) a uma distância de 1 m do disco. A fonte pontual tem um comprimento de onda de 633 nm (por exemplo, He-Ne Laser) e está localizada a 1 m do disco. A largura da imagem corresponde a 16 mm.

Aspectos experimentais

Intensidade e tamanho

Para uma fonte pontual ideal , a intensidade da mancha de Arago é igual à da frente de onda não perturbada . Apenas a largura do pico de intensidade do ponto de Arago depende das distâncias entre a fonte, o objeto circular e a tela, bem como o comprimento de onda da fonte e o diâmetro do objeto circular. Isso significa que é possível compensar a redução no comprimento de onda da fonte aumentando a distância l entre o objeto circular e a tela ou reduzindo o diâmetro do objeto circular.

A distribuição de intensidade lateral na tela tem de fato a forma de uma função de Bessel zeroth quadrada do primeiro tipo quando perto do eixo óptico e usando uma fonte de onda plana (fonte pontual no infinito):

Onde

r é a distância do ponto P 1 na tela do eixo óptico
d é o diâmetro do objeto circular
λ é o comprimento de onda
b é a distância entre o objeto circular e a tela.

As imagens a seguir mostram a distribuição de intensidade radial das imagens simuladas do ponto de Arago acima:

Simulação Poissonspot d4mm lateral.jpg Simulação Poissonspot d2mm lateral.jpg Simulação Poissonspot d1mm lateral.jpg

As linhas vermelhas nestes três gráficos correspondem às imagens simuladas acima, e as linhas verdes foram calculadas aplicando os parâmetros correspondentes à função de Bessel quadrada fornecida acima.

Tamanho finito da fonte e coerência espacial

A principal razão pela qual o ponto de Arago é difícil de observar em sombras circulares de fontes de luz convencionais é que essas fontes de luz são más aproximações de fontes pontuais. Se a fonte da onda tiver um tamanho finito S, então o ponto de Arago terá uma extensão que é dada por Sb / g , como se o objeto circular agisse como uma lente. Ao mesmo tempo, a intensidade da mancha de Arago é reduzida em relação à intensidade da frente de onda não perturbada. Definindo a intensidade relativa como a intensidade dividida pela intensidade da frente de onda não perturbada, a intensidade relativa para uma fonte circular estendida de diâmetro w pode ser expressa exatamente usando a seguinte equação:

onde e estão as funções de Bessel do primeiro tipo. R é o raio do disco que projeta a sombra, o comprimento de onda eg a distância entre a fonte e o disco. Para grandes fontes, a seguinte aproximação assintótica se aplica:

Desvio da circularidade

Se a seção transversal do objeto circular se desvia ligeiramente de sua forma circular (mas ainda tem uma borda afiada em uma escala menor), a forma do ponto de origem do ponto de Arago muda. Em particular, se o objeto tem uma seção transversal elipsoidal, a mancha de Arago tem a forma de um evoluto . Observe que este é o caso apenas se a fonte estiver próxima de uma fonte pontual ideal. De uma fonte extensa, a mancha de Arago é apenas afetada marginalmente, uma vez que pode-se interpretar a mancha de Arago como uma função de propagação de pontos . Portanto, a imagem da fonte estendida só fica desbotada devido à convolução com a função de propagação de pontos, mas não diminui em toda a intensidade.

Aspereza da superfície do objeto circular

A mancha de Arago é muito sensível a desvios de pequena escala da seção transversal circular ideal. Isso significa que uma pequena quantidade de aspereza da superfície do objeto circular pode cancelar completamente o ponto brilhante. Isso é mostrado nos três diagramas a seguir, que são simulações do ponto de Arago de um disco de 4 mm de diâmetro ( g  =  b  = 1 m):

Simulação Poissonspot d4mm lateral cor10.jpg Simulação Poissonspot d4mm lateral cor50.jpg Simulação Poissonspot d4mm lateral cor100.jpg

A simulação inclui uma corrugação sinusoidal regular de forma circular de amplitude de 10 μm, 50 μm e 100 μm, respectivamente. Observe que a corrugação da borda de 100 μm remove quase completamente o ponto brilhante central.

Este efeito pode ser melhor compreendido usando o conceito de zona de Fresnel . O campo transmitido por um segmento radial que se origina de um ponto na borda do obstáculo fornece uma contribuição cuja fase é próxima à posição do ponto da borda em relação às zonas de Fresnel. Se a variação no raio do obstáculo for muito menor do que a largura da zona de Fresnel próxima à borda, as contribuições dos segmentos radiais estão aproximadamente em fase e interferem construtivamente. No entanto, se a ondulação de borda aleatória tem amplitude comparável ou maior do que a largura da zona de Fresnel adjacente, as contribuições dos segmentos radiais não estão mais em fase e se cancelam, reduzindo a intensidade do ponto de Arago.

A zona de Fresnel adjacente é aproximadamente dada por:

A ondulação da borda não deve ser muito maior que 10% desta largura para ver um ponto próximo ao ideal de Arago. Nas simulações acima com o disco de 4 mm de diâmetro, a zona de Fresnel adjacente tem uma largura de cerca de 77 μm.

Mancha de Arago com ondas de matéria

Em 2009, o experimento local de Arago foi demonstrado com um feixe de expansão supersônica de moléculas de deutério (um exemplo de ondas de matéria neutra ). As partículas materiais que se comportam como ondas são conhecidas pela mecânica quântica . A natureza ondulatória das partículas na verdade remonta à hipótese de de Broglie, bem como aos experimentos de Davisson e Germer . Uma mancha de elétrons de Arago, que também constitui ondas de matéria, pode ser observada em microscópios eletrônicos de transmissão ao examinar estruturas circulares de um determinado tamanho.

A observação de uma mancha de Arago com grandes moléculas, provando assim sua natureza ondulatória, é um tema de pesquisa atual.

Outras aplicações

Além da demonstração do comportamento das ondas, o spot de Arago também tem algumas outras aplicações. Uma das ideias é usar o spot Arago como referência em linha reta em sistemas de alinhamento. Outra é investigar aberrações em feixes de laser usando a sensibilidade do ponto a aberrações de feixe . Finalmente, o aragoscópio foi proposto como um método para melhorar drasticamente a resolução limitada por difração de telescópios baseados no espaço.

Veja também

Referências