Topologia geral - General topology

A curva senoidal do topologista , um exemplo útil na topologia de conjuntos de pontos. Ele está conectado, mas não conectado ao caminho.

Em matemática , a topologia geral é o ramo da topologia que lida com as definições e construções básicas da teoria dos conjuntos usadas na topologia. É a base da maioria dos outros ramos da topologia, incluindo topologia diferencial , topologia geométrica e topologia algébrica . Outro nome para topologia geral é topologia de conjunto de pontos .

Os conceitos fundamentais na topologia de conjunto de pontos são continuidade , compactação e conexão :

  • Funções contínuas , intuitivamente, levam pontos próximos a pontos próximos.
  • Conjuntos compactos são aqueles que podem ser cobertos por um número finito de conjuntos de tamanho arbitrariamente pequeno.
  • Conjuntos conectados são conjuntos que não podem ser divididos em duas partes distantes.

Os termos 'próximo', 'arbitrariamente pequeno' e 'distante' podem ser precisos usando o conceito de conjuntos abertos . Se mudarmos a definição de 'conjunto aberto', mudamos o que são funções contínuas, conjuntos compactos e conjuntos conectados. Cada escolha de definição para 'conjunto aberto' é chamada de topologia . Um conjunto com uma topologia é chamado de espaço topológico .

Os espaços métricos são uma classe importante de espaços topológicos onde uma distância real não negativa, também chamada de métrica , pode ser definida em pares de pontos no conjunto. Ter uma métrica simplifica muitas provas, e muitos dos espaços topológicos mais comuns são espaços métricos.

História

A topologia geral cresceu a partir de uma série de áreas, sendo a mais importante a seguinte:

A topologia geral assumiu a forma atual por volta de 1940. Capta, pode-se dizer, quase tudo na intuição da continuidade , de uma forma tecnicamente adequada que pode ser aplicada em qualquer área da matemática.

Uma topologia em um conjunto

Deixe X ser um conjunto e deixar τ ser uma família de subconjuntos de X . Então τ é chamado de topologia em X se:

  1. Tanto o conjunto vazio quanto X são elementos de τ
  2. Qualquer união de elementos de τ é um elemento de τ
  3. Qualquer interseção de muitos elementos finitos de τ é um elemento de τ

Se τ é uma topologia em X , então o par ( X , τ ) é chamado de espaço topológico . A notação X τ pode ser usada para denotar um conjunto X dotado da topologia particular τ .

Os membros do τ são chamados de conjuntos abertos em X . Um subconjunto de X é considerado fechado se seu complemento for em τ (isto é, seu complemento for aberto). Um subconjunto de X pode ser aberto, fechado, ambos ( conjunto clopen ) ou nenhum. O conjunto vazio e o próprio X estão sempre fechados e abertos.

Base para uma topologia

A base de (ou base ) B para um espaço topológico X com topologia T é um conjunto de conjuntos abertos em T de modo a que cada conjunto aberto em T pode ser escrito como uma união de elementos de B . Nós dizemos que a base gera a topologia T . As bases são úteis porque muitas propriedades de topologias podem ser reduzidas a declarações sobre uma base que gera essa topologia - e porque muitas topologias são mais facilmente definidas em termos de uma base que as gera.

Subespaço e quociente

Cada subconjunto de um espaço topológico pode receber a topologia de subespaço em que os conjuntos abertos são as interseções dos conjuntos abertos do espaço maior com o subconjunto. Para qualquer família indexada de espaços topológicos, o produto pode receber a topologia do produto , que é gerada pelas imagens inversas de conjuntos abertos dos fatores sob os mapeamentos de projeção . Por exemplo, em produtos finitos, uma base para a topologia do produto consiste em todos os produtos de conjuntos abertos. Para produtos infinitos, há o requisito adicional de que, em um conjunto aberto básico, todas as projeções, exceto finitamente, sejam o espaço inteiro.

Um espaço quociente é definido como segue: se X é um espaço topológico e Y é um conjunto, e se f  : XY é uma função sobrejetiva , então a topologia quociente em Y é a coleção de subconjuntos de Y que têm imagens inversas abertas sob f . Em outras palavras, a topologia quociente é a melhor topologia em Y para a qual f é contínua. Um exemplo comum de uma topologia quociente é quando uma relação de equivalência é definido no espaço topológico X . O mapa f é então a projeção natural no conjunto de classes de equivalência .

Exemplos de espaços topológicos

Um determinado conjunto pode ter muitas topologias diferentes. Se um conjunto receber uma topologia diferente, ele será visto como um espaço topológico diferente.

Topologias discretas e triviais

Qualquer conjunto pode receber a topologia discreta , na qual cada subconjunto é aberto. As únicas sequências convergentes ou redes nesta topologia são aquelas eventualmente constantes. Além disso, qualquer conjunto pode receber a topologia trivial (também chamada de topologia indiscreta), na qual apenas o conjunto vazio e todo o espaço estão abertos. Cada sequência e rede nesta topologia convergem para todos os pontos do espaço. Este exemplo mostra que em espaços topológicos gerais, os limites das sequências não precisam ser únicos. No entanto, muitas vezes os espaços topológicos devem ser espaços de Hausdorff onde os pontos limites são únicos.

Topologias cofinitas e co-contáveis

Qualquer conjunto pode receber a topologia cofinito em que os conjuntos abertos são o conjunto vazio e os conjuntos cujo complemento é finito. Esta é a menor T 1 topologia em qualquer conjunto infinito.

Qualquer conjunto pode receber a topologia co - contável , na qual um conjunto é definido como aberto se estiver vazio ou se seu complemento for contável. Quando o conjunto é incontável, essa topologia serve como contraexemplo em muitas situações.

Topologias em números reais e complexos

Existem muitas maneiras de definir uma topologia em R , o conjunto de números reais . A topologia padrão em R é gerada pelos intervalos abertos . O conjunto de todos os intervalos abertos forma uma base ou base para a topologia, o que significa que cada conjunto aberto é uma união de alguma coleção de conjuntos da base. Em particular, isso significa que um conjunto está aberto se houver um intervalo aberto de raio diferente de zero em torno de cada ponto do conjunto. Mais geralmente, os espaços euclidianos R n podem receber uma topologia. Na topologia usual em R n, os conjuntos abertos básicos são as bolas abertas . Da mesma forma, C , o conjunto de números complexos , e C n têm uma topologia padrão na qual os conjuntos abertos básicos são bolas abertas.

A linha real também pode receber a topologia de limite inferior . Aqui, os conjuntos abertos básicos são os intervalos semiabertos [ a , b ). Esta topologia em R é estritamente mais fina do que a topologia euclidiana definida acima; uma sequência converge para um ponto nesta topologia se e somente se convergir de cima na topologia euclidiana. Este exemplo mostra que um conjunto pode ter muitas topologias distintas definidas nele.

A topologia métrica

Cada espaço métrico pode receber uma topologia métrica, na qual os conjuntos abertos básicos são bolas abertas definidas pela métrica. Esta é a topologia padrão em qualquer espaço vetorial normalizado . Em um espaço vetorial de dimensão finita, essa topologia é a mesma para todas as normas.

Outros exemplos

Funções contínuas

Continuidade é expressa em termos de bairros : f é contínua em algum ponto x  ∈  X se e somente se para qualquer vizinhança V de f ( x ) , existe uma vizinhança L de x de modo a que f ( L ) ⊆  V . Intuitivamente, continuidade significa que não importa o quão "pequeno" V se torne, sempre há um U contendo x que mapeia dentro de V e cuja imagem sob f contém f ( x ) . Isto é equivalente à condição de que os preimages dos conjuntos abertos (fechado) em Y estão abertas (fechado) em X . Em espaços métricos, esta definição é equivalente à definição ε – δ que é freqüentemente usada em análise.

Um exemplo extremo: se um conjunto X recebe a topologia discreta , todas as funções

a qualquer espaço topológico T são contínuos. Por outro lado, se X está equipado com a topologia indiscreta e o conjunto de espaço T é pelo menos T 0 , então as únicas funções contínuas são as funções constantes. Por outro lado, qualquer função cujo intervalo seja indiscreto é contínua.

Definições alternativas

Existem várias definições equivalentes para uma estrutura topológica e, portanto, existem várias maneiras equivalentes de definir uma função contínua.

Definição de vizinhança

As definições baseadas em pré-imagens costumam ser difíceis de usar diretamente. O critério seguinte expressa em termos de continuidade bairros : f é contínua em algum ponto x  ∈  X se e somente se para qualquer vizinhança V de f ( x ), existe uma vizinhança L de x de modo a que f ( L ) ⊆  V . Intuitivamente, meios de continuidade não importa como "pequeno" V torna-se, há sempre um U contendo x que são mapeados dentro V .

Se X e Y são espaços métricos, é equivalente a considerar o sistema bairro de bolas abertas centradas em x e f ( x ) em vez de todos os bairros. Isso retorna a definição δ-ε acima de continuidade no contexto de espaços métricos. No entanto, em espaços topológicos gerais, não há noção de proximidade ou distância.

Observe, entretanto, que se o espaço alvo for Hausdorff , ainda é verdade que f é contínuo em a se e somente se o limite de f quando x se aproxima de a é f ( a ). Em um ponto isolado, toda função é contínua.

Sequências e redes

Em vários contextos, a topologia de um espaço é convenientemente especificada em termos de pontos limites . Em muitos casos, isto é conseguido através da especificação quando um ponto representa o limite de uma sequência , mas em alguns espaços que são demasiado grandes, em certo sentido, a pessoa especifica também quando um ponto é o limite de conjuntos mais gerais de pontos indexados por um dirigida conjunto , conhecido como redes . Uma função é contínua apenas se levar limites de sequências a limites de sequências. No primeiro caso, a preservação dos limites também é suficiente; no último, uma função pode preservar todos os limites das sequências, mas ainda assim deixar de ser contínua, e a preservação das redes é uma condição necessária e suficiente.

Em detalhe, uma função f : XY é sequencialmente contínua se sempre que uma sequência ( x n ) em X converge para um limite x , a sequência ( f ( x n )) converge para f ( x ). Assim, as funções sequencialmente contínuas "preservam os limites sequenciais". Cada função contínua é sequencialmente contínua. Se X for um primeiro espaço contável e a escolha contável for válida, o inverso também será válido: qualquer função que preserve os limites sequenciais é contínua. Em particular, se X é um espaço métrico, continuidade sequencial e continuidade são equivalentes. Para espaços não contáveis ​​na primeira vez, a continuidade sequencial pode ser estritamente mais fraca do que a continuidade. (Os espaços para os quais as duas propriedades são equivalentes são chamados de espaços sequenciais .) Isso motiva a consideração de redes em vez de sequências em espaços topológicos gerais. As funções contínuas preservam os limites das redes e, de fato, essa propriedade caracteriza as funções contínuas.

Definição do operador de fechamento

Em vez de especificar os subconjuntos abertos de um espaço topológico, a topologia também pode ser determinada por um operador de fechamento (denotado cl), que atribui a qualquer subconjunto AX seu fechamento , ou um operador interno (denotado int), que atribui a qualquer subconjunto A de X em seu interior . Nestes termos, uma função

entre espaços topológicos é contínuo no sentido acima se e somente se para todos os subconjuntos A de X

Ou seja, dado qualquer elemento x de X que esteja no fechamento de qualquer subconjunto A , f ( x ) pertence ao fechamento de f ( A ). Isso é equivalente ao requisito de que, para todos os subconjuntos A 'de X '

Além disso,

é contínuo se e somente se

para qualquer subconjunto Um de X .

Propriedades

Se f : XY e g : YZ são contínuos, então a composição gf : XZ também é . Se f : XY é contínuo e

As topologias possíveis em um conjunto fixo X são parcialmente ordenadas : uma topologia τ 1 é dita ser mais grosseira do que outra topologia τ 2 (notação: τ 1 ⊆ τ 2 ) se todo subconjunto aberto em relação a τ 1 também for aberto em relação a τ 2 . Então, o mapa de identidade

id X : ( X , τ 2 ) → ( X , τ 1 )

é contínuo se e somente se τ 1 ⊆ τ 2 (veja também comparação de topologias ). Mais geralmente, uma função contínua

permanece contínuo se a topologia τ Y é substituída por uma topologia mais grosseira e / ou τ X é substituído por uma topologia mais fina .

Homeomorfismos

Simétrico ao conceito de um mapa contínuo é um mapa aberto , para o qual as imagens de conjuntos abertos são abertas. De fato, se um mapa aberto f tem uma função inversa , esse inverso é contínuo, e se um mapa contínuo g tem um inverso, esse inverso é aberto. Dada uma função bijetiva f entre dois espaços topológicos, a função inversa f −1 não precisa ser contínua. Uma função contínua bijetiva com função inversa contínua é chamada de homeomorfismo .

Se uma bijeção contínua tem como domínio um espaço compacto e seu codomínio é Hausdorff , então é um homeomorfismo.

Definindo topologias por meio de funções contínuas

Dada uma função

onde X é um espaço topológico e S é um conjunto (sem uma topologia especificada), a topologia final em S é definida permitindo que os conjuntos abertos de S sejam os subconjuntos A de S para os quais f −1 ( A ) é aberto em X . Se S tem uma topologia existente, f é contínua com relação a esta topologia se e somente se a topologia existente é mais grossa do que a topologia final sobre S . Assim, a topologia final pode ser caracterizada como a melhor topologia em S que torna f contínua. Se f é sobrejetiva , esta topologia é canonicamente identificada com a topologia quociente sob a relação de equivalência definida por f .

Dualmente, para uma função F a partir de um conjunto S de um espaço topológico, a topologia inicial em S tem como subconjuntos abertos Um de S esses subconjuntos para o qual f ( A ) é aberta em X . Se S tem uma topologia existente, f é contínua com relação a esta topologia se e somente se a topologia existente é mais fina do que a topologia inicial sobre S . Assim, a topologia inicial pode ser caracterizada como a topologia mais grosseira em S que torna f contínua. Se f é injetivo, esta topologia é canonicamente identificado com a topologia subespaço de S , vista como um subconjunto de X .

Uma topologia em um conjunto S é unicamente determinada pela classe de todas as funções contínuas em todos os espaços topológico X . Duplamente , uma ideia semelhante pode ser aplicada a mapas

Conjuntos compactos

Formalmente, um espaço topológico X é denominado compacto se cada uma de suas tampas abertas tiver uma subcobertura finita . Caso contrário, é denominado não compacto . Explicitamente, isso significa que para cada coleção arbitrária

de subconjuntos abertos de X, de modo que

há um subconjunto finito J de A tal que

Alguns ramos da matemática, como a geometria algébrica , tipicamente influenciada pela escola francesa de Bourbaki , usam o termo quase-compacto para a noção geral e reservam o termo compacto para espaços topológicos que são tanto de Hausdorff quanto quase-compactos . Um conjunto compacto é algumas vezes denominado compactum , plural compacta .

Cada intervalo fechado em R de comprimento finito é compacto . Mais é verdade: em R n , um conjunto é compacto se e somente se for fechado e limitado. (Veja teorema de Heine-Borel ).

Cada imagem contínua de um espaço compacto é compacta.

Um subconjunto compacto de um espaço de Hausdorff é fechado.

Cada bijeção contínua de um espaço compacto para um espaço de Hausdorff é necessariamente um homeomorfismo .

Cada sequência de pontos em um espaço métrico compacto tem uma subsequência convergente.

Cada dimensão finita compacto colector pode ser incorporado em algum espaço euclidiano R n .

Conjuntos conectados

Um espaço topológico X é considerado desconectado se for a união de dois conjuntos abertos não vazios disjuntos . Caso contrário, X é considerado conectado . Um subconjunto de um espaço topológico é considerado conectado se estiver conectado em sua topologia de subespaço . Alguns autores excluem o conjunto vazio (com sua topologia única) como um espaço conectado, mas este artigo não segue essa prática.

Para um espaço topológico X, as seguintes condições são equivalentes:

  1. X está conectado.
  2. X não pode ser dividido em dois conjuntos fechados não vazios separados .
  3. Os únicos subconjuntos de X que são abertos e fechados ( conjuntos clopen ) são X e o conjunto vazio.
  4. Os únicos subconjuntos de X com limite vazio são X e o conjunto vazio.
  5. X não pode ser escrito como a união de dois conjuntos separados não vazios .
  6. As únicas funções contínuas de X a {0,1}, o espaço de dois pontos dotado de topologia discreta, são constantes.

Cada intervalo em R está conectado .

A imagem contínua duma conectado espaço está conectado.

Componentes conectados

Os subconjuntos máximos conectados (ordenados por inclusão ) de um espaço topológico não vazio são chamados de componentes conectados do espaço. Os componentes de qualquer espaço topológico X formam uma partição de  X : eles são disjuntos , não vazios e sua união é todo o espaço. Cada componente é um subconjunto fechado do espaço original. Segue-se que, no caso em que seu número é finito, cada componente também é um subconjunto aberto. No entanto, se seu número for infinito, pode não ser esse o caso; por exemplo, os componentes conectados do conjunto dos números racionais são os conjuntos de um ponto, que não são abertos.

Seja o componente conectado de x em um espaço topológico X , e seja a interseção de todos os conjuntos aberto-fechado contendo x (chamado quase-componente de x ). Então, onde a igualdade é válida se X for Hausdorff compacto ou conectado localmente.

Espaços desconectados

Um espaço no qual todos os componentes são conjuntos de um ponto é denominado totalmente desconectado . Relacionado com esta propriedade, um espaço X é chamado totalmente separados se, por qualquer dos dois elementos distintos de x e y de X , existem disjuntos bairros abertos L de X e V de y tal que X é a união de L e V . É claro que qualquer espaço totalmente separado está totalmente desconectado, mas o inverso não é válido. Por exemplo, pegue duas cópias dos números racionais Q e identifique-os em todos os pontos, exceto em zero. O espaço resultante, com a topologia de quociente, é totalmente desconectado. Porém, ao considerar as duas cópias do zero, percebe-se que o espaço não está totalmente separado. Na verdade, não é nem mesmo Hausdorff , e a condição de estar totalmente separado é estritamente mais forte do que a condição de ser Hausdorff.

Conjuntos conectados por caminho

Este subespaço de é conectado por caminho, porque um caminho pode ser traçado entre quaisquer dois pontos no espaço.

Um caminho a partir de um ponto X para um ponto Y em um espaço topológico X é uma função contínua f a partir do intervalo unitário [0,1] para X com F (0) = x e F (1) = y . Um componente de caminho de X é uma classe de equivalência de X sob a relação de equivalência , o que torna x equivalente ay se houver um caminho de x para y . O espaço X é dito para ser conectado via caminho (ou conexo por caminhos ou 0-ligada ), se houver, no máximo, um caminho-componente, ou seja, se existe um caminho juntar quaisquer dois pontos em X . Novamente, muitos autores excluem o espaço vazio.

Cada espaço conectado por caminho está conectado. O inverso nem sempre é verdadeiro: exemplos de espaços conectados que não são conectados por caminho incluem a linha longa estendida L * e a curva senoidal do topologista .

No entanto, subconjuntos da linha real R são conectados se e somente se eles estiverem conectados por caminho; estes subconjuntos são os intervalos de R . Além disso, subconjuntos abertos de R n ou C n são conectados se e somente se eles estiverem conectados por caminho. Além disso, a conexão e a conexão de caminho são as mesmas para espaços topológicos finitos .

Produtos de espaços

Dado X tal que

é o produto cartesiano dos espaços topológicos X i , indexados por , e as projeções canônicas p i  : XX i , a topologia do produto em X é definida como a topologia mais grosseira (ou seja, a topologia com o menor número de conjuntos abertos) para a qual todos as projeções p i são contínuas . A topologia do produto às vezes é chamada de topologia de Tychonoff .

Os conjuntos abertos na topologia do produto são uniões (finitas ou infinitas) de conjuntos da forma , onde cada U i é aberto em X i e U i  ≠  X i apenas finitamente muitas vezes. Em particular, para um produto finito (em particular, para o produto de dois espaços topológicos), os produtos dos elementos de base de X i fornecem uma base para o produto .

A topologia do produto em X é a topologia gerada por conjuntos da forma p i −1 ( U ), onde i está em I e U é um subconjunto aberto de X i . Em outras palavras, os conjuntos { p i -1 ( L )} formar uma sub-base para a topologia em X . Um subconjunto de X está aberto se e somente se for uma união (possivelmente infinita) de interseções de conjuntos finitos da forma p i −1 ( U ). Os p i −1 ( U ) às vezes são chamados de cilindros abertos e suas interseções são conjuntos de cilindros .

Em geral, o produto das topologias de cada X i constitui uma base para o que é chamado a topologia caixa em X . Em geral, a topologia de caixa é mais precisa do que a topologia de produto, mas para produtos finitos eles coincidem.

Relacionado à compactação está o teorema de Tychonoff : o produto (arbitrário) dos espaços compactos é compacto.

Axiomas de separação

Muitos desses nomes têm significados alternativos em alguma literatura matemática, conforme explicado em História dos axiomas de separação ; por exemplo, os significados de "normal" e "T 4 " às vezes são trocados, da mesma forma "regular" e "T 3 ", etc. Muitos dos conceitos também têm vários nomes; no entanto, aquele listado primeiro é sempre menos provável de ser ambíguo.

A maioria desses axiomas tem definições alternativas com o mesmo significado; as definições dadas aqui caem em um padrão consistente que relaciona as várias noções de separação definidas na seção anterior. Outras definições possíveis podem ser encontradas nos artigos individuais.

Em todas as definições a seguir, X é novamente um espaço topológico .

  • X é T 0 , ou Kolmogorov , se quaisquer dois pontos distintos em X forem topologicamente distinguíveis . (É um tema comum entre os axiomas de separação ter uma versão de um axioma que requer T 0 e uma versão que não requer .)
  • X é T 1 , ou acessível ou Fréchet , se quaisquer dois pontos distintos em X estiverem separados. Assim, X é T 1 se e somente se for T 0 e R 0 . (Embora você possa dizer coisas como espaço T 1 , topologia de Fréchet e Suponha que o espaço topológico X seja Fréchet , evite dizer espaço de Fréchet neste contexto, uma vez que há outra noção totalmente diferente de espaço de Fréchet na análise funcional .)
  • X é Hausdorff , ou T 2 ou separados , se quaisquer dois pontos distintos em X são separados por vizinhanças. Assim, X é Hausdorff se e somente se for T 0 e R 1 . Um espaço de Hausdorff também deve ser T 1 .
  • X é T , ou Urysohn , se quaisquer dois pontos distintos em X forem separados por vizinhanças fechadas. O espaço AT também deve ser de Hausdorff.
  • X é regular , ou T 3 , se for T 0 e se for dado algum ponto x e conjunto fechado F em X de modo que x não pertença a F , eles são separados por vizinhanças. (Na verdade, em um espaço regular, qualquer x e F também é separado por vizinhanças fechadas.)
  • X é Tychonoff , ou T , completamente T 3 , ou completamente regular , se for T 0 e se f, dado qualquer ponto x e conjunto fechado F em X tal que x não pertence a F , eles são separados por um contínuo função.
  • X é normal , ou T 4 , se for Hausdorff e se quaisquer dois subconjuntos fechados disjuntos de X forem separados por vizinhanças. (Na verdade, um espaço é normal se e somente se quaisquer dois conjuntos fechados disjuntos podem ser separados por uma função contínua; este é o lema de Urysohn .)
  • X é completamente normal , ou T 5 ou completamente T 4 , se for T 1 e se quaisquer dois conjuntos separados estiverem separados por vizinhanças. Um espaço completamente normal também deve ser normal.
  • X é perfeitamente normal , ou T 6 ou perfeitamente T 4 , se for T 1 e se quaisquer dois conjuntos fechados disjuntos estiverem precisamente separados por uma função contínua. Um espaço de Hausdorff perfeitamente normal também deve ser de Hausdorff completamente normal.

O teorema da extensão de Tietze : Em um espaço normal, toda função contínua de valor real definida em um subespaço fechado pode ser estendida para um mapa contínuo definido em todo o espaço.

Axiomas de contabilidade

Um axioma de contabilidade é uma propriedade de certos objetos matemáticos (geralmente em uma categoria ) que requer a existência de um conjunto contável com certas propriedades, enquanto sem ele tais conjuntos podem não existir.

Axiomas de contagem importantes para espaços topológicos :

Relações:

  • Cada primeiro espaço contável é sequencial.
  • Cada segundo espaço contável é primeiro contável, separável e Lindelöf.
  • Todo espaço σ-compacto é Lindelöf.
  • Um espaço métrico é contável pela primeira vez.
  • Para espaços métricos, a segunda contagem, a separabilidade e a propriedade Lindelöf são todas equivalentes.

Espaços métricos

Um espaço métrica é um par ordenado em que é um conjunto e é uma métrica no , ou seja, uma função

de modo que para qualquer um , o seguinte se aplica:

  1.     ( não negativo ),
  2. iff     ( identidade de indiscerníveis ),
  3.     ( simetria ) e
  4.     ( desigualdade do triângulo ).

A função também é chamada de função de distância ou simplesmente distância . Freqüentemente, é omitido e apenas se escreve para um espaço métrico se estiver claro no contexto qual métrica é usada.

Todo espaço métrico é paracompacto e de Hausdorff e, portanto, normal .

Os teoremas de metrização fornecem condições necessárias e suficientes para que uma topologia venha de uma métrica.

Teorema da categoria de Baire

O teorema da categoria de Baire diz: Se X é um espaço métrico completo ou um espaço de Hausdorff localmente compacto , então o interior de cada união de muitos conjuntos contáveis ​​em nenhum lugar está vazio.

Qualquer subespaço aberto de um espaço Baire é em si um espaço Baire.

Principais áreas de pesquisa

Três iterações de uma construção de curva de Peano, cujo limite é uma curva de preenchimento de espaço. A curva de Peano é estudada na teoria do contínuo , um ramo da topologia geral .

Teoria do Continuum

Um continuum (pl continua ) é um espaço métrico conectado compacto não vazio ou, menos freqüentemente, um espaço de Hausdorff conectado compacto . A teoria do contínuo é o ramo da topologia dedicado ao estudo dos contínuos. Esses objetos surgem com frequência em quase todas as áreas de topologia e análise , e suas propriedades são fortes o suficiente para produzir muitos recursos "geométricos".

Sistemas dinâmicos

A dinâmica topológica diz respeito ao comportamento de um espaço e seus subespaços ao longo do tempo quando sujeito a mudanças contínuas. Muitos exemplos com aplicações para a física e outras áreas da matemática incluem dinâmica de fluidos , bilhar e fluxos em coletores. As características topológicas dos fractais na geometria fractal, dos conjuntos de Julia e do conjunto de Mandelbrot surgindo na dinâmica complexa e dos atratores nas equações diferenciais são freqüentemente críticas para a compreensão desses sistemas.

Topologia inútil

A topologia sem sentido (também chamada de topologia sem pontos ou sem pontos ) é uma abordagem da topologia que evita mencionar pontos. O nome 'topologia sem sentido' deve-se a John von Neumann . As ideias de topologia sem sentido estão intimamente relacionadas a mereotopologias , nas quais regiões (conjuntos) são tratadas como fundamentais sem referência explícita a conjuntos de pontos subjacentes.

Teoria Dimensional

A teoria das dimensões é um ramo da topologia geral que lida com invariantes dimensionais de espaços topológicos .

Álgebras topológicas

Uma álgebra topológica A sobre um campo topológico K é um espaço vetorial topológico junto com uma multiplicação contínua

que o torna um álgebra sobre K . Uma álgebra topológica associativa unital é um anel topológico .

O termo foi cunhado por David van Dantzig ; aparece no título de sua tese de doutorado (1931).

Teoria da metrizabilidade

Em topologia e áreas afins de matemática , um espaço metrizáveis é um espaço topológico que é homeomorfo a um espaço métrico . Ou seja, um espaço topológico é considerado metrizável se houver uma métrica

de modo que a topologia induzida por d é . Teoremas de metrização são teoremas que fornecem condições suficientes para que um espaço topológico seja metrizável.

Topologia teórica de conjuntos

A topologia teórica dos conjuntos é um assunto que combina a teoria dos conjuntos e a topologia geral. Ele se concentra em questões topológicas que são independentes da teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel (ZFC). Um problema famoso é a questão normal do espaço de Moore , uma questão de topologia geral que foi objeto de intensa pesquisa. A resposta à questão normal do espaço de Moore foi finalmente provada ser independente do ZFC.

Veja também

Referências

Leitura adicional

Alguns livros padrão sobre topologia geral incluem:

O arXiv código assunto é math.GN .

links externos