Número Pisot – Vijayaraghavan - Pisot–Vijayaraghavan number

Em matemática , um número Pisot-Vijayaraghavan , também chamado simplesmente de número Pisot ou número PV , é um inteiro algébrico real maior que 1, todos cujos conjugados de Galois são menores que 1 em valor absoluto . Esses números foram descobertos por Axel Thue em 1912 e redescobertos por GH Hardy em 1919 no contexto da aproximação diofantina . Eles se tornaram amplamente conhecidos após a publicação da dissertação de Charles Pisot em 1938. Eles também ocorrem no problema da singularidade da série de Fourier . Tirukkannapuram Vijayaraghavan e Raphael Salem continuaram seus estudos na década de 1940. Os números de Salem são um conjunto de números intimamente relacionado.

Uma propriedade característica dos números PV é que suas potências se aproximam dos inteiros a uma taxa exponencial. Pisot provou um inverso notável: se α  > 1 é um número real tal que a sequência

${\ displaystyle \ | \ alpha ^ {n} \ |}$

medir a distância de suas potências consecutivas até o inteiro mais próximo é somador ao quadrado , ou ℓ ² , então α é um número de Pisot (e, em particular, algébrico). Com base nessa caracterização dos números PV, Salem mostrou que o conjunto S de todos os números PV é fechado . Seu elemento mínimo é uma irracionalidade cúbica conhecida como número de plástico . Muito se sabe sobre os pontos de acumulação de S . O menor deles é a proporção áurea .

Definição e propriedades

Um inteiro algébrico de grau n é uma raiz α de um polinômio mônico irredutível P ( x ) de grau n com coeficientes inteiros, seu polinômio mínimo . As outras raízes de P ( x ) são chamadas de conjugados de α . Se α  > 1, mas todas as outras raízes de P ( x ) são números reais ou complexos de valor absoluto menor que 1, de modo que eles ficam estritamente dentro do círculo | x | = 1 no plano complexo , então α é chamado de número de Pisot , número de Pisot-Vijayaraghavan ou simplesmente número de PV . Por exemplo, a proporção áurea , φ ≈ 1,618, é um inteiro quadrático real maior que 1, enquanto o valor absoluto de seu conjugado, - φ ⁻¹ ≈ −0,618, é menor que 1. Portanto, φ é um número Pisot . Seu polinômio mínimo é x ² - x - 1.

Propriedades elementares

• Todo número inteiro maior que 1 é um número PV. Por outro lado, todo número PV racional é um número inteiro maior que 1.
• Se α for um número PV irracional cujo polinômio mínimo termina em k, então α é maior que | k |. Consequentemente, todos os números PV menores que 2 são unidades algébricas.
• Se α é um número PV, então o mesmo ocorre com suas potências α ^k , para todos os expoentes de números naturais k .
• Todo campo de número algébrico real K de grau n contém um número PV de grau n . Este número é um gerador de campo. O conjunto de todos os números PV de grau n em K é fechado sob multiplicação.
• Dado um limite superior M e grau n , existem apenas um número finito de números de PV de grau n que são menos do que M .
• Cada número PV é um número de Perron (um número algébrico real maior do que um cujos conjugados têm menor valor absoluto).

Propriedades diofantinas

O principal interesse pelos números PV se deve ao fato de seus poderes terem uma distribuição muito "enviesada" (mod 1). Se α é um número PV e λ é qualquer inteiro algébrico no campo, então a sequência ${\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ alpha)}$

${\ displaystyle \ | \ lambda \ alpha ^ {n} \ |,}$

onde || x || denota a distância do número real x ao inteiro mais próximo, aproxima-se de 0 a uma taxa exponencial. Em particular, é uma sequência de soma quadrada e seus termos convergem para 0.

Duas afirmações inversas são conhecidas: elas caracterizam os números PV entre todos os números reais e entre os números algébricos (mas sob uma suposição diofantina mais fraca).

• Suponha que α é um número real maior que 1 e λ é um número real diferente de zero, de modo que

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ | \ lambda \ alpha ^ {n} \ | ^ {2} <\ infty.}$

Então α é um número de Pisot e λ é um número algébrico no campo ( teorema de Pisot ).${\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ alpha)}$

• Suponha que α é um número algébrico maior que 1 e λ é um número real diferente de zero, de modo que

${\ displaystyle \ | \ lambda \ alpha ^ {n} \ | \ a 0, \ quad n \ a \ infty.}$

Então α é um número de Pisot e λ é um número algébrico no campo .${\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ alpha)}$

Um problema antigo de Pisot-Vijayaraghavan pergunta se a suposição de que α é algébrica pode ser descartada da última afirmação. Se a resposta for afirmativa, os números de Pisot seriam caracterizados entre todos os números reais pela convergência simples de || λα ⁿ || a 0 para algum real auxiliar λ . Sabe-se que existem apenas números contáveis α com esta propriedade. O problema é decidir se algum deles é transcendental.

Propriedades topológicas

O conjunto de todos os números Pisot é denotado S . Como os números de Pisot são algébricos, o conjunto S é contável. Raphael Salem provou que este conjunto é fechado : contém todos os seus pontos limites . Sua prova usa uma versão construtiva da principal propriedade diofantina dos números de Pisot: dado um número de Pisot α , um número real λ pode ser escolhido de modo que 0 < λ ≤ α e

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ | \ lambda \ alpha ^ {n} \ | ^ {2} \ leq 9.}$

Assim, a norma ℓ ² da sequência || λα ⁿ || pode ser limitado por uma constante uniforme independente de α . Na última etapa da prova, a caracterização de Pisot é invocada para concluir que o limite de uma sequência de números de Pisot é ele próprio um número de Pisot.

O fechamento de S implica que ele tem um elemento mínimo . Carl Ludwig Siegel provou que é a raiz positiva da equação x ³ - x - 1 = 0 ( constante de plástico ) e é isolada em S . Construiu duas sequências de números Pisot convergindo para a proporção de ouro φ a partir de baixo e perguntado se φ é o ponto limite menor de S . Isso foi posteriormente provado por Dufresnoy e Pisot, que também determinaram todos os elementos de S que são menores que φ ; nem todos eles pertencem às duas sequências de Siegel. Vijayaraghavan provou que S tem infinitos pontos limites; na verdade, a sequência de conjuntos derivados

${\ displaystyle S, S ', S' ', \ ldots}$

não termina. Por outro lado, a interseção desses conjuntos está vazia, o que significa que a classificação de Cantor – Bendixson de S é ω . Ainda mais precisamente, o tipo de pedido de S foi determinado. ${\ displaystyle S ^ {(\ omega)}}$

O conjunto de números de Salem , indicado por T , está intimamente relacionado com S . Provou-se que S está contido no conjunto T' dos pontos de limite de T . Foi conjecturado que a união de S e T é fechada.

Irracionais quadráticos

Se for um irracional quadrático há apenas um outro conjugado:, obtido pela mudança do sinal da raiz quadrada em de ${\ displaystyle \ alpha \,}$${\ displaystyle \ alpha '\,}$${\ displaystyle \ alpha \,}$

${\ displaystyle \ alpha = a + {\ sqrt {D}} {\ text {to}} \ alpha '= a - {\ sqrt {D}} \,}$

ou de

${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {a + {\ sqrt {D}}} {2}} {\ text {to}} \ alpha '= {\ frac {a - {\ sqrt {D}}} {2 }}. \,}$

Aqui, a e D são inteiros e, no segundo caso, a é ímpar e D é congruente com 1 módulo 4.

As condições requeridas são α  > 1 e −1 <  α '<1. Elas são satisfeitas no primeiro caso exatamente quando a  > 0 e ou . Eles são satisfeitos no segundo caso exatamente quando e ou ou . ${\ displaystyle (a-1) ^ {2} <D <a ^ {2}}$${\ displaystyle a ^ {2} <D <(a + 1) ^ {2}}$${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle (a-2) ^ {2} <D <a ^ {2}}$${\ displaystyle a ^ {2} <D <(a + 2) ^ {2}}$

Assim, os primeiros irracionais quadráticos que são números PV são:

Valor	Raiz de ...	Valor numérico
${\ displaystyle {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$	${\ displaystyle x ^ {2} -x-1}$	1,618033 ... OEIS :  A001622 (a proporção áurea )
${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}} \,}$	${\ displaystyle x ^ {2} -2x-1}$	2,414213 ... OEIS :  A014176 (a proporção de prata )
${\ displaystyle {\ frac {3 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$	${\ displaystyle x ^ {2} -3x + 1}$	2.618033 ... OEIS :  A104457
${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {3}} \,}$	${\ displaystyle x ^ {2} -2x-2}$	2,732050 ... OEIS :  A090388
${\ displaystyle {\ frac {3 + {\ sqrt {13}}} {2}}}$	${\ displaystyle x ^ {2} -3x-1}$	3,302775 ... OEIS :  A098316 (o terceiro meio metálico )
${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {2}} \,}$	${\ displaystyle x ^ {2} -4x + 2}$	3.414213 ...
${\ displaystyle {\ frac {3 + {\ sqrt {17}}} {2}}}$	${\ displaystyle x ^ {2} -3x-2}$	3,561552 .. OEIS :  A178255 .
${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {3}} \,}$	${\ displaystyle x ^ {2} -4x + 1}$	3,732050 ... OEIS :  A019973
${\ displaystyle {\ frac {3 + {\ sqrt {21}}} {2}}}$	${\ displaystyle x ^ {2} -3x-3}$	3,791287 ... OEIS :  A090458
${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {5}} \,}$	${\ displaystyle x ^ {2} -4x-1}$	4,236067 ... OEIS :  A098317 (o quarto meio metálico)

Poderes dos números PV

Números Pisot-Vijayaraghavan pode ser usado para gerar quase inteiros : o n º potência de um número Pisot aproxima inteiros como n cresce. Por exemplo,

${\ displaystyle (3 + {\ sqrt {10}}) ^ {6} = 27379 + 8658 {\ sqrt {10}} = 54757.9999817 \ dots \ approx 54758 - {\ frac {1} {54758}}.}$

Desde e diferem por apenas${\ displaystyle 27379 \,}$${\ displaystyle 8658 {\ sqrt {10}} \,}$${\ displaystyle 0,0000182 \ dots, \,}$

${\ displaystyle {\ frac {27379} {8658}} = 3,162277662 \ pontos}$

é extremamente perto de

${\ displaystyle {\ sqrt {10}} = 3,162277660 \ pontos.}$

De fato

${\ displaystyle \ left ({\ frac {27379} {8658}} \ right) ^ {2} = 10 + {\ frac {1} {8658 ^ {2}}}.}$

Potências mais altas fornecem aproximações racionais correspondentemente melhores.

Esta propriedade decorre do fato de que para cada n , a soma das n- ésimas potências de um inteiro algébrico x e seus conjugados é exatamente um inteiro; isso decorre de uma aplicação das identidades de Newton . Quando x é um número Pisot, o n th potências dos outros conjugados tendem a 0, quando n tende ao infinito. Como a soma é um inteiro, a distância de x ⁿ ao inteiro mais próximo tende a 0 a uma taxa exponencial.

Números pequenos de Pisot

Todos os números de Pisot que não excedem a proporção áurea φ foram determinados pela Dufresnoy e Pisot. A tabela abaixo lista os dez menores números de Pisot em ordem crescente.

	Valor	Raiz de ...	Raiz de ...
1	1.3247179572447460260 OEIS :  A060006 ( número de plástico )	${\ displaystyle x (x ^ {2} -x-1) + (x ^ {2} -1)}$	${\ displaystyle x ^ {3} -x-1}$
2	1.3802775690976141157 OEIS :  A086106	${\ displaystyle x ^ {2} (x ^ {2} -x-1) + (x ^ {2} -1)}$	${\ displaystyle x ^ {4} -x ^ {3} -1}$
3	1.4432687912703731076 OEIS :  A228777	${\ displaystyle x ^ {3} (x ^ {2} -x-1) + (x ^ {2} -1)}$	${\ displaystyle x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + x ^ {2} -1}$
4	1,4655712318767680267 OEIS :  A092526 ( razão supergolden )	${\ displaystyle x ^ {3} (x ^ {2} -x-1) +1}$	${\ displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} -1}$
5	1.5015948035390873664 OEIS :  A293508	${\ displaystyle x ^ {4} (x ^ {2} -x-1) + (x ^ {2} -1)}$	${\ displaystyle x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} + x ^ {2} -1}$
6	1.5341577449142669154 OEIS :  A293509	${\ displaystyle x ^ {4} (x ^ {2} -x-1) +1}$	${\ displaystyle x ^ {5} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$
7	1.5452156497327552432 OEIS :  A293557	${\ displaystyle x ^ {5} (x ^ {2} -x-1) + (x ^ {2} -1)}$	${\ displaystyle x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} + x ^ {2} -1}$
8	1.5617520677202972947	${\ displaystyle x ^ {3} (x ^ {3} -2x ^ {2} + x-1) + (x-1) (x ^ {2} +1)}$	${\ displaystyle x ^ {6} -2x ^ {5} + x ^ {4} -x ^ {2} + x-1}$
9	1.5701473121960543629 OEIS :  A293506	${\ displaystyle x ^ {5} (x ^ {2} -x-1) +1}$	${\ displaystyle x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$
10	1.5736789683935169887	${\ displaystyle x ^ {6} (x ^ {2} -x-1) + (x ^ {2} -1)}$	${\ displaystyle x ^ {8} -x ^ {7} -x ^ {6} + x ^ {2} -1}$

Como esses números PV são menores que 2, eles são todos unidades: seus polinômios mínimos terminam em 1 ou -1. Os polinômios nesta tabela, com exceção de

${\ displaystyle x ^ {6} -2x ^ {5} + x ^ {4} -x ^ {2} + x-1,}$

são fatores de qualquer

${\ displaystyle x ^ {n} (x ^ {2} -x-1) +1 \,}$

ou

${\ displaystyle x ^ {n} (x ^ {2} -x-1) + (x ^ {2} -1). \}$

O primeiro polinômio é divisível por x ²  - 1 quando n é ímpar e por x  - 1 quando n é par. Ele tem um outro zero real, que é um número PV. A divisão de qualquer polinômio por x ⁿ fornece expressões que se aproximam de x ²  -  x  - 1 à medida que n se torna muito grande e tem zeros que convergem para φ . Um par complementar de polinômios,

${\ displaystyle x ^ {n} (x ^ {2} -x-1) -1}$

e

${\ displaystyle x ^ {n} (x ^ {2} -x-1) - (x ^ {2} -1) \,}$

produz números de Pisot que se aproximam de φ de cima.

Referências

• MJ Bertin; A. Decomps-Guilloux; M. Grandet-Hugot; M. Pathiaux-Delefosse; JP Schreiber (1992). Números de Pisot e Salem . Birkhäuser. ISBN 3-7643-2648-4.
• Borwein, Peter (2002). Excursões computacionais em análise e teoria dos números . Livros CMS em Matemática. Springer-Verlag . ISBN 0-387-95444-9. Zbl  1020.12001 .Indivíduo. 3
• Boyd, David W. (1978). "Números de Pisot e Salem em intervalos da linha real" . Matemática. Comp . 32 : 1244–1260. doi : 10.2307 / 2006349 . ISSN  0025-5718 . Zbl  0395.12004 .
• Cassels, JWS (1957). Uma introdução à aproximação Diofantina . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 45 . Cambridge University Press . pp. 133–144.
• Hardy, GH (1919). "Um problema de aproximação diofantina". J. Indian Math. Soc . 11 : 205–243.
• Pisot, Charles (1938). "La répartition modulo 1 et nombres algébriques". Ann. Sc. Norma. Super. Pisa II . Ser. 7 (em francês): 205–248. Zbl  0019.15502 .
• Salem, Raphaël (1963). Números algébricos e análise de Fourier . Monografias matemáticas de Heath. Boston, MA: DC Heath and Company . Zbl  0126.07802 .
• Thue, Axel (1912). "Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann". Christiania Vidensk. selsk. Skrifter . 2 (20): 1–15. JFM  44.0480.04 .

links externos

• Número de Pisot , Enciclopédia de Matemática
• Terr, David & Weisstein, Eric W. "Pisot Number" . MathWorld .