Isomorfismo de ordem - Order isomorphism

No campo matemático da teoria da ordem , um isomorfismo de ordem é um tipo especial de função monótona que constitui uma noção adequada de isomorfismo para conjuntos parcialmente ordenados (posets). Sempre que dois posets são de ordem isomórfica, eles podem ser considerados "essencialmente os mesmos" no sentido de que qualquer uma das ordens pode ser obtida da outra apenas renomeando os elementos. Duas noções estritamente mais fracas que se relacionam com isomorfismos de ordem são embeddings de ordem e conexões de Galois .

Definição

Formalmente, dados dois posets e , um isomorfismo de ordem de a é uma função bijetiva de a com a propriedade que, para todo e em , se e somente se . Ou seja, é uma incorporação de ordem bijetivo .

Também é possível definir um isomorfismo de ordem como uma incorporação de ordem sobrejetiva . Os dois pressupostos que abrangem todos os elementos e que preservam ordenações, são suficientes para garantir que também seja um a um, pois se então (pelo pressuposto que preserva a ordem) isso seguiria e , implicando pela definição de uma ordem parcial que .

Outra caracterização dos isomorfismos de ordem é que eles são exatamente as bijeções monótonas que têm um inverso monótono.

Um isomorfismo de ordem de um conjunto parcialmente ordenado para si mesmo é chamado de automorfismo de ordem .

Quando uma estrutura algébrica adicional é imposta aos posets e , uma função de a deve satisfazer propriedades adicionais para ser considerada um isomorfismo. Por exemplo, dados dois grupos parcialmente ordenados ( grupos -po) e , um isomorfismo de grupos-po de a é um isomorfismo de ordem que também é um isomorfismo de grupo , não apenas uma bijeção que é uma incorporação de ordem .

Exemplos

  • A função de identidade em qualquer conjunto parcialmente ordenado é sempre um automorfismo de ordem.
  • A negação é um isomorfismo de ordem de a (onde é o conjunto de números reais e denota a comparação numérica usual), uma vez que - x ≥ - y se e somente se xy .
  • O intervalo aberto (novamente, ordenado numericamente) não tem um isomorfismo de ordem para ou do intervalo fechado : o intervalo fechado tem um elemento mínimo, mas o intervalo aberto não, e os isomorfismos de ordem devem preservar a existência de elementos mínimos.
  • Pelo teorema do isomorfismo de Cantor , toda ordem linear densa contável ilimitada é isomórfica à ordem dos números racionais . Isomorfismos de ordem explícita entre os números algébricos quadráticos, os números racionais e os números racionais diádicos são fornecidos pela função de ponto de interrogação de Minkowski .

Tipos de pedidos

Se for um isomorfismo de ordem, então também será sua função inversa . Além disso, se é um isomorfismo de ordem de para e é um isomorfismo de ordem de para , então a composição da função de e é ela própria um isomorfismo de ordem, de para .

Dois conjuntos parcialmente ordenados são considerados isomórficos de ordem quando existe um isomorfismo de ordem de um para o outro. Funções de identidade, funções inversas e composições de funções correspondem, respectivamente, às três características definidoras de uma relação de equivalência : reflexividade , simetria e transitividade . Portanto, isomorfismo de ordem é uma relação de equivalência. A classe de conjuntos parcialmente ordenados pode ser particionada por ele em classes de equivalência , famílias de conjuntos parcialmente ordenados que são todos isomórficos entre si. Essas classes de equivalência são chamadas de tipos de pedido .

Veja também

Notas

Referências