Elementos orbitais - Orbital elements

Os elementos orbitais são os parâmetros necessários para identificar com exclusividade uma órbita específica . Na mecânica celeste, esses elementos são considerados em sistemas de dois corpos usando uma órbita Kepler . Existem muitas maneiras diferentes de descrever matematicamente a mesma órbita, mas certos esquemas, cada um consistindo de um conjunto de seis parâmetros, são comumente usados ​​em astronomia e mecânica orbital .

Uma órbita real e seus elementos mudam ao longo do tempo devido a perturbações gravitacionais por outros objetos e os efeitos da relatividade geral . Uma órbita Kepler é uma aproximação matemática idealizada da órbita em um determinado momento.

Elementos keplerianos

Neste diagrama, o plano orbital (amarelo) cruza um plano de referência (cinza). Para satélites em órbita da Terra, o plano de referência é geralmente o plano equatorial da Terra, e para satélites em órbitas solares é o plano da eclíptica . A interseção é chamada de linha de nós , pois conecta o centro de massa com os nós ascendentes e descendentes. O plano de referência, junto com o ponto vernal ( ♈︎ ), estabelece um referencial.

Os elementos orbitais tradicionais são os seis elementos Keplerianos , após Johannes Kepler e suas leis do movimento planetário .

Quando vistos de uma estrutura inercial , dois corpos orbitais traçam trajetórias distintas. Cada uma dessas trajetórias tem seu foco no centro de massa comum . Quando visto de uma moldura não inercial centrada em um dos corpos, apenas a trajetória do corpo oposto é aparente; Elementos keplerianos descrevem essas trajetórias não inerciais. Uma órbita tem dois conjuntos de elementos Keplerianos, dependendo de qual corpo é usado como ponto de referência. O corpo de referência (geralmente o mais maciço) é chamado de primário , o outro corpo é chamado de secundário . O primário não possui necessariamente mais massa do que o secundário, e mesmo quando os corpos são de igual massa, os elementos orbitais dependem da escolha do primário.

Dois elementos definem a forma e o tamanho da elipse:

  • Excentricidade ( e ) - forma da elipse, descrevendo o quanto ela é alongada em comparação com um círculo (não marcado no diagrama).
  • Semieixo maior ( a ) - a soma das distâncias do periapsis e apoapsis dividida por dois. Para órbitas clássicas de dois corpos, o semieixo maior é a distância entre os centros dos corpos, não a distância dos corpos do centro de massa.

Dois elementos definem a orientação do plano orbital no qual a elipse está embutida:

  • Inclinação ( i ) - inclinação vertical da elipse em relação ao plano de referência, medida no nó ascendente (onde a órbita passa para cima através do plano de referência, o ângulo verde i no diagrama). O ângulo de inclinação é medido perpendicularmente à linha de intersecção entre o plano orbital e o plano de referência. Quaisquer três pontos em uma elipse definirão o plano orbital da elipse. O plano e a elipse são objetos bidimensionais definidos no espaço tridimensional.
  • Longitude do nó ascendente ( Ω ) - orienta horizontalmente o nó ascendente da elipse (onde a órbita passa para cima através do plano de referência, simbolizado por ) em relação ao ponto vernal do referencial (simbolizado por ♈︎). Isso é medido no plano de referência e é mostrado como o ângulo verde Ω no diagrama.

Os dois elementos restantes são os seguintes:

  • O argumento do periapsia ( ω ) define a orientação da elipse no plano orbital, como um ângulo medido do nó ascendente ao periapsia (o ponto mais próximo em que o objeto satélite chega ao objeto principal em torno do qual orbita, o ângulo azul ω em o diagrama).
  • A anomalia verdadeira ( ν , θ ou f ) na época ( t 0 ) define a posição do corpo orbital ao longo da elipse em um momento específico (a "época").

A anomalia média M é um "ângulo" fictício matematicamente conveniente que varia linearmente com o tempo, mas que não corresponde a um ângulo geométrico real. Ele pode ser convertido na verdadeira anomalia ν , que representa o ângulo geométrico real no plano da elipse, entre o periapsia (maior aproximação do corpo central) e a posição do objeto orbital em um determinado momento. Assim, a anomalia verdadeira é mostrada como o ângulo vermelho ν no diagrama, e a anomalia média não é mostrada.

Os ângulos de inclinação, longitude do nó ascendente e argumento de periapsia também podem ser descritos como ângulos de Euler que definem a orientação da órbita em relação ao sistema de coordenadas de referência.

Observe que trajetórias não elípticas também existem, mas não são fechadas e, portanto, não são órbitas. Se a excentricidade for maior que um, a trajetória é uma hipérbole . Se a excentricidade for igual a um e o momento angular for zero, a trajetória é radial . Se a excentricidade for uma e houver momento angular, a trajetória é uma parábola .

Parâmetros obrigatórios

Dado um quadro de referência inercial e uma época arbitrária (um ponto específico no tempo), exatamente seis parâmetros são necessários para definir de forma inequívoca uma órbita arbitrária e sem perturbações.

Isso ocorre porque o problema contém seis graus de liberdade . Estes correspondem às três dimensões espaciais que definem a posição ( x , y , z em um sistema de coordenadas cartesianas ), mais a velocidade em cada uma dessas dimensões. Eles podem ser descritos como vetores de estado orbitais , mas geralmente é uma forma inconveniente de representar uma órbita, razão pela qual os elementos Keplerianos são comumente usados.

Às vezes, a época é considerada um "sétimo" parâmetro orbital, em vez de parte do referencial.

Se a época for definida como o momento em que um dos elementos é zero, o número de elementos não especificados é reduzido para cinco. (O sexto parâmetro ainda é necessário para definir a órbita; ele é simplesmente definido numericamente como zero por convenção ou "movido" para a definição da época em relação ao relógio do mundo real.)

Parametrizações alternativas

Os elementos keplerianos podem ser obtidos a partir de vetores de estado orbitais (um vetor tridimensional para a posição e outro para a velocidade) por transformações manuais ou com software de computador.

Outros parâmetros orbitais podem ser calculados a partir dos elementos Keplerianos, como o período , apoapsis e periapsis . (Ao orbitar a Terra, os dois últimos termos são conhecidos como apogeu e perigeu.) É comum especificar o período em vez do semieixo maior em conjuntos de elementos Keplerianos, pois cada um pode ser calculado a partir do outro, desde que o padrão gravitacional parâmetro , GM , é dado para o corpo central.

Em vez da anomalia média na época , a anomalia média M , longitude média , anomalia verdadeira ν 0 ou (raramente) a anomalia excêntrica pode ser usada.

Usar, por exemplo, a "anomalia média" em vez de "anomalia média na época" significa que o tempo t deve ser especificado como um sétimo elemento orbital. Às vezes, presume-se que a anomalia média é zero na época (escolhendo a definição apropriada da época), deixando apenas os outros cinco elementos orbitais a serem especificados.

Diferentes conjuntos de elementos são usados ​​para vários corpos astronômicos. A excentricidade, e , e o semieixo maior, a , ou a distância do periapsia, q , são usados ​​para especificar a forma e o tamanho de uma órbita. A longitude do nó ascendente, Ω , a inclinação, i , e o argumento do periapsia, ω , ou a longitude do periapsia, ϖ , especificam a orientação da órbita em seu plano. Tanto a longitude na época, L 0 , a anomalia média na época, M 0 , ou o tempo de passagem do periélio, T 0 , são usados ​​para especificar um ponto conhecido na órbita. As escolhas feitas dependem se o equinócio vernal ou o nó são usados ​​como a referência primária. O semi-eixo maior é conhecido se o movimento médio e a massa gravitacional forem conhecidos.

Também é bastante comum ver a anomalia média ( M ) ou a longitude média ( L ) expressa diretamente, sem M 0 ou L 0 como etapas intermediárias, como uma função polinomial em relação ao tempo. Este método de expressão consolidará o movimento médio ( n ) no polinômio como um dos coeficientes. A aparência será que L ou M são expressos de uma maneira mais complicada, mas pareceremos precisar de um elemento orbital a menos.

Movimento significativo também pode ser obscurecida por detrás citações do período orbital P .

Conjuntos de elementos orbitais
Objeto Elementos usados
Planeta principal e , a , i , Ω , ϖ , L 0
Cometa e , q , i , Ω, ω , T 0
Asteróide e , a , i , Ω, ω , M 0
Elementos de duas linhas e , i , Ω, ω , n , M 0

Transformações de ângulo de Euler

Os ângulos Ω , i , ω são os ângulos de Euler (correspondentes a α , β , γ na notação usada naquele artigo) caracterizando a orientação do sistema de coordenadas

, ŷ , do quadro de coordenadas inerciais Î , Ĵ ,

Onde:

  • Î , Ĵ está no plano equatorial do corpo central. Î está na direção do equinócio vernal. Ĵ é perpendicular a Î e com Î define o plano de referência. é perpendicular ao plano de referência. Elementos orbitais de corpos (planetas, cometas, asteróides, ...) no Sistema Solar geralmente usam a eclíptica como esse plano.
  • , ŷ estão no plano orbital e com na direção do pericentro ( periapsia ). é perpendicular ao plano da órbita. ŷ é mutuamente perpendicular a e .

Então, a transformação do quadro de coordenadas Î , Ĵ , para o quadro , ŷ , com os ângulos de Euler Ω , i , ω é:

Onde

A transformação inversa, que calcula as 3 coordenadas no sistema IJK dadas as 3 (ou 2) coordenadas no sistema xyz, é representada pela matriz inversa. De acordo com as regras da álgebra matricial , a matriz inversa do produto das 3 matrizes de rotação é obtida invertendo a ordem das três matrizes e trocando os sinais dos três ângulos de Euler.

A transformação de , ŷ , para os ângulos de Euler Ω , i , ω é:

onde arg ( x , y ) significa o argumento polar que pode ser calculado com a função padrão atan2 (y, x) disponível em muitas linguagens de programação.

Previsão de órbita

Sob condições ideais de um corpo central perfeitamente esférico e perturbações nulas, todos os elementos orbitais, exceto a anomalia média, são constantes. A anomalia média muda linearmente com o tempo, escalada pelo movimento médio ,

Portanto, se em qualquer instante t 0 os parâmetros orbitais forem [ e 0 , a 0 , i 0 , Ω 0 , ω 0 , M 0 ] , então os elementos no tempo t = t 0 + δt são dados por [ e 0 , a 0 , i 0 , Ω 0 , ω 0 , M 0 + n δt ]

Perturbações e variância elementar

Imperturbável, de dois corpos , newtoniana órbitas são sempre secções cónicas , de modo que os elementos keplerianas definem uma elipse , parábola ou hipérbole . As órbitas reais têm perturbações, então um determinado conjunto de elementos Keplerianos descreve com precisão uma órbita apenas na época. A evolução dos elementos orbitais ocorre devido à atração gravitacional de outros corpos que não o primário, a não esfericidade do primário, arrasto atmosférico , efeitos relativísticos , pressão de radiação , forças eletromagnéticas e assim por diante.

Os elementos keplerianos muitas vezes podem ser usados ​​para produzir previsões úteis em momentos próximos à época. Alternativamente, as trajetórias reais podem ser modeladas como uma sequência de órbitas Keplerianas que osculam ("beijam" ou tocam) a trajetória real. Eles também podem ser descritos pelas chamadas equações planetárias , equações diferenciais que vêm em diferentes formas desenvolvidas por Lagrange , Gauss , Delaunay , Poincaré ou Hill .

Elementos de duas linhas

Os parâmetros dos elementos Keplerianos podem ser codificados como texto em vários formatos. O mais comum deles é o formato "elementos de duas linhas" (TLE) da NASA / NORAD , originalmente projetado para uso com cartões perfurados de 80 colunas, mas ainda em uso porque é o formato mais comum e pode ser manuseado facilmente por todos modernos armazenamentos de dados também.

Dependendo da aplicação e da órbita do objeto, os dados derivados de TLEs com mais de 30 dias podem se tornar não confiáveis. As posições orbitais podem ser calculadas a partir de TLEs por meio dos algoritmos SGP / SGP4 / SDP4 / SGP8 / SDP8.

Exemplo de um elemento de duas linhas:

1 27651U 03004A   07083.49636287  .00000119  00000-0  30706-4 0  2692
2 27651 039.9951 132.2059 0025931 073.4582 286.9047 14.81909376225249

Variáveis ​​de Delaunay

Os elementos orbitais Delaunay foram introduzidos por Charles-Eugène Delaunay durante seu estudo do movimento da Lua . Comumente chamadas de variáveis ​​de Delaunay , elas são um conjunto de variáveis ​​canônicas , que são coordenadas do ângulo de ação . Os ângulos são somas simples de alguns dos ângulos Keplerianos:

juntamente com os seus respectivos momentos conjugados , L , G , e H . Os momentos L , G e H são as variáveis ​​de ação e são combinações mais elaboradas dos elementos Keplerianos a , e e i .

As variáveis ​​de Delaunay são usadas para simplificar os cálculos perturbativos na mecânica celeste, por exemplo, ao investigar as oscilações de Kozai – Lidov em sistemas hierárquicos triplos. A vantagem das variáveis ​​de Delaunay é que elas permanecem bem definidas e não singulares (exceto para h , que pode ser tolerado) quando e e / ou i são muito pequenos: Quando a órbita da partícula de teste é quase circular ( ), ou muito quase “plano” ( ).

Veja também

Referências

links externos

  • "FAQ" . Celestrak . Elementos de duas linhas. Arquivado do original em 26 de março de 2016.