Na Esfera e no Cilindro - On the Sphere and Cylinder

Uma página de "On the Sphere and Cylinder" em latim

On the Sphere and Cylinder ( grego : Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ) é uma obra que foi publicada por Arquimedes em dois volumes c. 225 aC. Ele detalha principalmente como encontrar a área da superfície de uma esfera e o volume da bola contida e os valores análogos para um cilindro , e foi o primeiro a fazê-lo.

Conteúdo

O volume de uma esfera em relação ao volume do cilindro é de 2 a 3

As principais fórmulas derivadas em Na esfera e no cilindro são aquelas mencionadas acima: a área da superfície da esfera, o volume da bola contida e a área da superfície e o volume do cilindro. Let Ser o raio da esfera e cilindro, e ser a altura do cilindro, com a suposição de que o cilindro é um cilindro direito - o lado é perpendicular a ambas as tampas. Em seu trabalho, Arquimedes mostrou que a área de superfície de um cilindro é igual a:

e que o volume do mesmo é:

Na esfera, ele mostrou que a área da superfície é quatro vezes a área do seu grande círculo . Em termos modernos, isso significa que a área de superfície é igual a:

O resultado para o volume da bola contida afirmou que é dois terços do volume de um cilindro circunscrito , o que significa que o volume é

Quando o cilindro de inscrição é apertado e tem uma altura , de modo que a esfera toca o cilindro na parte superior e inferior, ele mostrou que tanto o volume quanto a área da superfície da esfera eram dois terços do cilindro. Isso implica que a área da esfera é igual à área do cilindro sem suas tampas. Esse resultado eventualmente levaria à projeção cilíndrica de área igual de Lambert , uma forma de mapear o mundo que representa áreas com precisão. Arquimedes estava particularmente orgulhoso deste último resultado, e então ele pediu um esboço de uma esfera inscrita em um cilindro para ser inscrito em seu túmulo. Mais tarde, o filósofo romano Marcus Tullius Cicero descobriu a tumba, que havia sido coberta pela vegetação circundante.

O argumento que Arquimedes usou para provar a fórmula para o volume de uma bola estava bastante envolvido em sua geometria, e muitos livros didáticos modernos têm uma versão simplificada usando o conceito de limite , que não existia na época de Arquimedes. Arquimedes usou um meio-polígono inscrito em um semicírculo, depois girou ambos para criar um conglomerado de troncos em uma esfera, do qual ele então determinou o volume.

Parece que este não é o método original que Arquimedes usou para derivar esse resultado, mas o melhor argumento formal disponível para ele na tradição matemática grega. Seu método original provavelmente envolvia um uso inteligente de alavancas. Um palimpsesto roubado da Igreja Ortodoxa Grega no início do século 20, que reapareceu em leilão em 1998, continha muitas das obras de Arquimedes, incluindo O Método dos Teoremas Mecânicos , em que ele descreve um método para determinar volumes que envolve balanços, centros de massa e fatias infinitesimais.

Veja também

Notas

Referências

  • Lucio Lombardo Radice, La matematica da Pitagora a Newton , Roma, Editori Riuniti , 1971.
  • Attilio Frajese, Opere di Archimede , Torino, UTET, 1974.