Sobre Tamanhos e Distâncias (Aristarchus) - On the Sizes and Distances (Aristarchus)

Cálculos de Aristarco do século III aC sobre os tamanhos relativos, a partir da esquerda, do Sol, da Terra e da Lua, de uma cópia grega do século 10 dC

Sobre os tamanhos e distâncias (do Sol e da Lua) (Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων [ἡλίου καὶ σελήνης], Peri megethon kai apostematon ) é amplamente aceito como o único antigo astrônomo grego escrito por Aristarca de Samos , um antigo astrônomo que viveu –230 AC. Este trabalho calcula os tamanhos do Sol e da Lua , bem como suas distâncias da Terra em termos de raio da Terra.

O livro foi presumivelmente preservado por alunos do curso de matemática de Pappus de Alexandria , embora não haja evidências disso. A editio princeps foi publicada por John Wallis em 1688, usando vários manuscritos medievais compilados por Sir Henry Savile . A primeira tradução latina foi feita por Giorgio Valla em 1488. Há também uma tradução latina de 1572 e um comentário de Frederico Commandino .

Símbolos

O método do trabalho baseou-se em várias observações:

  • O tamanho aparente do Sol e da Lua no céu.
  • O tamanho da sombra da Terra em relação à Lua durante um eclipse lunar
  • O ângulo entre o Sol e a Lua durante a meia lua é muito próximo de 90 °.

O resto do artigo detalha uma reconstrução do método e resultados de Aristarco. A reconstrução usa as seguintes variáveis:

Símbolo Significado
φ Ângulo entre a Lua e o Sol durante uma meia lua (mensurável diretamente)
eu Distância da Terra à Lua
S Distância da Terra ao Sol
Raio da lua
s Raio do sol
t Raio da terra
D Distância do centro da Terra ao vértice do cone de sombra da Terra
d Raio da sombra da Terra no local da Lua
n Razão, d / ℓ (uma quantidade diretamente observável durante um eclipse lunar )
x Razão, S / L = s / ℓ (que é calculado a partir de φ )

Meia-lua

Aristarco partiu da premissa de que, durante a meia-lua , a lua forma um triângulo retângulo com o Sol e a Terra. Observando o ângulo entre o Sol e a Lua, φ , a razão das distâncias ao Sol e à Lua pode ser deduzida usando uma forma de trigonometria .

AristarchusHalfLitMoon2.png

A partir do diagrama e da trigonometria, podemos calcular que

O diagrama é muito exagerado porque, na realidade, S = 390 L e φ é extremamente próximo de 90 °. Aristarco determinou que φ é um trigésimo de um quadrante (em termos modernos, 3 °) a menos que um ângulo reto: na terminologia atual, 87 °. As funções trigonométricas ainda não haviam sido inventadas, mas usando a análise geométrica no estilo de Euclides , Aristarco determinou que

Em outras palavras, a distância ao Sol era algo entre 18 e 20 vezes maior que a distância à Lua. Esse valor (ou valores próximos a ele) foi aceito pelos astrônomos pelos próximos dois mil anos, até que a invenção do telescópio permitiu uma estimativa mais precisa da paralaxe solar .

Aristarco também raciocinou que, como o tamanho angular do Sol e da Lua eram iguais, mas a distância ao Sol era entre 18 e 20 vezes maior do que a Lua, o Sol deve, portanto, ser 18-20 vezes maior.

Eclipse lunar

Aristarco então usou outra construção baseada em um eclipse lunar:

AristarchusLunar Eclipse2.png

Por semelhança dos triângulos, e

Dividindo essas duas equações e usando a observação de que os tamanhos aparentes do Sol e da Lua são iguais , resulta

A equação mais à direita pode ser resolvida para ℓ / t

ou s / t

A aparência dessas equações pode ser simplificada usando n = d / ℓ e x = s / ℓ .

As equações acima fornecem os raios da Lua e do Sol inteiramente em termos de quantidades observáveis.

As seguintes fórmulas fornecem as distâncias ao Sol e à Lua em unidades terrestres:

onde θ é o raio aparente da Lua e do Sol medido em graus.

É improvável que Aristarco usasse essas fórmulas exatas, mas essas fórmulas são provavelmente uma boa aproximação para as de Aristarco.

Resultados

As fórmulas acima podem ser usadas para reconstruir os resultados de Aristarco. A tabela a seguir mostra os resultados de uma reconstrução de longa data (mas duvidosa) usando n = 2, x = 19,1 ( φ = 87 °) e θ = 1 °, ao lado dos valores aceitos nos dias modernos.

Quantidade Relação Reconstrução Moderno
s / t Raio do Sol em raios da Terra 6,7 109
t / ℓ Raio da Terra em raios da Lua 2,85 3,50
L / t Distância Terra-Lua em raios da Terra 20 60,32
S / t Distância Terra-Sol em raios da Terra 380 23.500

O erro neste cálculo vem principalmente dos valores ruins para x e θ . O valor pobre para θ é especialmente surpreendente, uma vez que Arquimedes escreve que Aristarco foi o primeiro a determinar que o Sol e a Lua tinham um diâmetro aparente de meio grau. Isso daria um valor de θ = 0,25 e uma distância correspondente à Lua de 80 raios da Terra, uma estimativa muito melhor. A discordância do trabalho com Arquimedes parece ser devido ao fato de ele tomar uma afirmação de Aristarco de que o diâmetro lunisolar é 1/15 de um "meros" do zodíaco para significar 1/15 de um signo zodiacal (30 °), sem saber que o A palavra grega "meros" significava "porção" ou 7 ° 1/2; e 1/15 deste último montante é de 1 ° / 2, de acordo com o depoimento de Arquimedes.

Um procedimento semelhante foi usado posteriormente por Hipparchus , que estimou a distância média até a Lua em 67 raios da Terra, e Ptolomeu , que considerou 59 raios da Terra para esse valor.

Ilustrações

Algumas ilustrações interativas das proposições em On Sizes podem ser encontradas aqui:

  • A hipótese 4 afirma que quando a Lua aparece para nós reduzida à metade, sua distância do Sol é então menor que um quadrante por um trigésimo de um quadrante [isto é, é inferior a 90 ° por 1/30 de 90 ° ou 3 ° , e é, portanto, igual a 87 °] (Heath 1913: 353).
  • A proposição 1 afirma que duas esferas iguais são compreendidas por um e o mesmo cilindro, e duas esferas desiguais por um mesmo cone que tem seu vértice na direção da esfera menor; e a linha reta traçada pelos centros das esferas é perpendicular a cada um dos círculos em que a superfície do cilindro, ou do cone, toca as esferas (Heath 1913: 354).
  • A proposição 2 afirma que se uma esfera for iluminada por uma esfera maior do que ela mesma, a porção iluminada da esfera anterior será maior do que um hemisfério (Heath 1913: 358).
  • A proposição 3 afirma que o círculo na Lua que divide as porções escura e brilhante é menor quando o cone que compreende o Sol e a Lua tem seu vértice em nosso olho (Heath 1913: 362).
  • A proposição 4 afirma que o círculo que divide as porções escuras e brilhantes na Lua não é perceptivelmente diferente de um grande círculo na Lua (Heath 1913: 365).
  • A proposição 6 afirma que a Lua se move [em uma órbita] abaixo [daquela] do Sol e, quando é reduzida pela metade, está distante menos de um quadrante do Sol (Heath 1913: 372).
  • A proposição 7 afirma que a distância do Sol da Terra é maior do que 18 vezes, mas menos do que 20 vezes, a distância da Lua da Terra (Heath 1913: 377). Em outras palavras, o Sol está 18 a 20 vezes mais longe e mais largo do que a lua.
  • A proposição 13 afirma que a linha reta subtendendo a porção interceptada dentro da sombra da terra da circunferência do círculo em que as extremidades do diâmetro do círculo que divide as porções escura e brilhante no movimento da Lua é menor que o dobro do diâmetro de a Lua, mas tem com ela uma proporção maior do que 88 tem para 45; e é menor que 1/9 parte do diâmetro do Sol, mas tem com ele uma proporção maior do que 21 tem para 225. Mas tem que a linha reta traçada do centro do Sol em ângulos retos com o eixo e encontrando os lados do cone uma razão maior do que 979 tem para 10 125 (Heath 1913: 394).
  • A proposição 14 afirma que a linha reta unida do centro da Terra ao centro da Lua tem a linha reta cortada do eixo em direção ao centro da Lua pela linha reta subtendendo a [circunferência] dentro da sombra da Terra a proporção maior do que 675 para 1 (Heath 1913: 400).
  • A proposição 15 afirma que o diâmetro do Sol tem para o diâmetro da Terra uma proporção maior que 19/3, mas menor que 43/6 (Heath 1913: 403). Isso significa que o Sol é (em média) 6¾ vezes mais largo que a Terra, ou que o Sol tem 13½ raios terrestres de largura. A Lua e o Sol devem estar a 20¼ e 387 raios terrestres de nós para subtender um tamanho angular de 2º.
  • A proposição 17a na versão árabe medieval de al-Tusi do livro On Sizes afirma que a proporção da distância do vértice do cone de sombra a partir do centro da Lua (quando a Lua está no eixo [isto é, no meio de um eclipse] do cone contendo a Terra e o Sol) à distância do centro da Lua ao centro da Terra é maior do que a proporção 71 para 37 e menor do que a proporção de 3 para um (Berggren & Sidoli 2007: 218). Em outras palavras, que a ponta do cone de sombra da Terra está entre 108/37 e quatro vezes mais distante do que a lua.

Cópias conhecidas

  • Exposição da Biblioteca do Congresso do Vaticano.

Veja também

Notas

Bibliografia