Geometria não comutativa - Noncommutative geometry

A geometria não comutativa ( NCG ) é um ramo da matemática preocupado com uma abordagem geométrica de álgebras não comutativas e com a construção de espaços que são apresentados localmente por álgebras não comutativas de funções (possivelmente em algum sentido generalizado). Uma álgebra não comutativa é uma álgebra associativa em que a multiplicação não é comutativa , ou seja, para a qual nem sempre é igual ; ou mais geralmente uma estrutura algébrica na qual uma das principais operações binárias não é comutativa; também se permite que estruturas adicionais, por exemplo, topologia ou norma , sejam possivelmente transportadas pela álgebra não comutativa de funções. ${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle yx}$

Uma abordagem que fornece uma visão profunda sobre espaços não comutativos é por meio de álgebras de operadores (ou seja, álgebras de operadores lineares limitados em um espaço de Hilbert ). Talvez um dos exemplos típicos de um espaço não comutativo seja o " tori não comutativo ", que desempenhou um papel fundamental no desenvolvimento inicial deste campo na década de 1980 e levou a versões não comutativas de feixes de vetores , conexões , curvatura , etc.

Motivação

A principal motivação é estender a dualidade comutativa entre espaços e funções para o ambiente não comutativo. Em matemática, os espaços , que são de natureza geométrica, podem ser relacionados a funções numéricas neles. Em geral, tais funções formarão um anel comutativo . Por exemplo, pode-se levar o anel C ( X ) de contínuas complexos funções -valued em um espaço topológico X . Em muitos casos ( por exemplo , se X é um espaço de Hausdorff compacto ), podemos recuperar X de C ( X ) e, portanto, faz algum sentido dizer que X tem topologia comutativa .

Mais especificamente, em topologia, espaços topológicos de Hausdorff compactos podem ser reconstruídos a partir da álgebra de Banach de funções no espaço ( Gelfand – Naimark ). Na geometria algébrica comutativa , os esquemas algébricos são espectros localmente primos de anéis unitais comutativos ( A. Grothendieck ), e cada esquema quase separado pode ser reconstruído até o isomorfismo de esquemas da categoria de feixes quase- erentes de módulos ( P. Gabriel –A . Rosenberg). Para topologias de Grothendieck , as propriedades cohomológicas de um sítio são invariantes da categoria correspondente de feixes de conjuntos vistos abstratamente como um topos (A. Grothendieck). Em todos esses casos, um espaço é reconstruído a partir da álgebra de funções ou de sua versão categorizada - alguma categoria de feixes naquele espaço. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle O_ {X}}$

Funções em um espaço topológico podem ser multiplicadas e adicionadas pontualmente, portanto, elas formam uma álgebra comutativa; na verdade, essas operações são locais na topologia do espaço da base, portanto, as funções formam um feixe de anéis comutativos sobre o espaço da base.

O sonho da geometria não comutativa é generalizar esta dualidade para a dualidade entre álgebras não comutativas, ou feixes de álgebras não comutativas, ou estruturas algébricas não comutativas em forma de feixe ou algébrica de operador e entidades geométricas de certos tipos, e dar uma interação entre as álgebras não comutativas e descrição geométrica daqueles através desta dualidade.

Considerando que os anéis comutativos correspondem a esquemas afins usuais, e álgebras C * comutativas a espaços topológicos usuais, a extensão para anéis e álgebras não comutativos requer generalização não trivial de espaços topológicos como " espaços não comutativos". Por esse motivo, fala -se em topologia não comutativa , embora o termo também tenha outros significados.

Aplicações em física matemática

Algumas aplicações em física de partículas são descritas nas entradas Modelo padrão não comutativo e Teoria quântica de campo não comutativa . O súbito aumento do interesse pela geometria não comutativa na física segue-se às especulações sobre seu papel na teoria-M feitas em 1997.

Motivação da teoria ergódica

Parte da teoria desenvolvida por Alain Connes para lidar com a geometria não comutativa em um nível técnico tem raízes em tentativas mais antigas, em particular na teoria ergódica . A proposta de George Mackey de criar uma teoria virtual de subgrupos , a respeito da qual ações ergódicas de grupo se tornariam espaços homogêneos de um tipo estendido, já foi subsumida.

Álgebras C * não comutativas, álgebras de von Neumann

Os duos (formais) de não-comutativa C * álgebras são muitas vezes chamado agora espaços não-comutativa. Isso é por analogia com a representação de Gelfand , que mostra que as álgebras C * comutativas são espaços de Hausdorff dual para localmente compactos . Em geral, pode-se associar a qualquer C * -álgebra S um espaço topológico Ŝ ; veja o espectro de uma álgebra C * .

Para a dualidade entre espaços de medida σ-finitos e álgebras de von Neumann comutativas , as álgebras de von Neumann não comutativas são chamadas de espaços de medida não comutativos .

Variedades diferenciáveis ​​não comutativas

Uma variedade Riemanniana suave M é um espaço topológico com muitas estruturas extras. De sua álgebra de funções contínuas C ( M ), recuperamos apenas M topologicamente. O invariante algébrico que recupera a estrutura Riemanniana é um triplo espectral . É construído a partir de um pacote vetorial suave E sobre M , por exemplo, o pacote externo de álgebra. O espaço de Hilbert L ² ( M ,  E ) de seções quadradas integráveis ​​de E carrega uma representação de C ( M) por operadores de multiplicação, e consideramos um operador ilimitado D em L ² ( M ,  E ) com resolvente compacto (por exemplo, a assinatura operador ), de modo que os comutadores [ D ,  f ] são limitados sempre que f é suave. Um teorema profundo recente afirma que M como uma variedade Riemanniana pode ser recuperada a partir desses dados.

Isso sugere que se pode definir uma variedade Riemanniana não comutativa como um triplo espectral ( A ,  H ,  D ), consistindo em uma representação de uma C * -álgebra A em um espaço de Hilbert H , juntamente com um operador ilimitado D em H , com resolvente, de tal modo que [ D ,  um ] é delimitada por toda uma em alguns subálgebra densa de uma . A pesquisa em triplos espectrais é muito ativa e muitos exemplos de variedades não comutativas foram construídos.

Esquemas não comutativos afins e projetivos

Em analogia à dualidade entre esquemas afins e anéis comutativos , definimos uma categoria de esquemas afins não comutativos como o dual da categoria de anéis unitais associativos. Existem certos análogos da topologia de Zariski nesse contexto, de modo que se pode colar esses esquemas afins a objetos mais gerais.

Existem também generalizações do Cone e do Proj de um anel graduado comutativo, mimetizando um teorema de Serre no Proj. Nomeadamente, a categoria de feixes quasi-herentes de módulos O em um Proj de uma álgebra graduada comutativa é equivalente à categoria de módulos graduados sobre o anel localizado na subcategoria de módulos graduados de Serre de comprimento finito; também existe um teorema análogo para feixes coerentes quando a álgebra é noetheriana. Este teorema é estendido como uma definição de geometria projetiva não comutativa por Michael Artin e JJ Zhang, que adicionam também algumas condições teóricas de anéis gerais (por exemplo, regularidade de Artin-Schelter).

Muitas propriedades dos esquemas projetivos se estendem a este contexto. Por exemplo, existe um análogo da célebre dualidade de Serre para os esquemas projetivos não comutativos de Artin e Zhang.

AL Rosenberg criou um conceito relativo bastante geral de esquema quasicompacto não comutativo (sobre uma categoria de base), abstraindo o estudo de Grothendieck dos morfismos de esquemas e coberturas em termos de categorias de feixes quasi-herentes e functores de localização plana. Há também outra abordagem interessante via teoria da localização, devido a Fred Van Oystaeyen , Luc Willaert e Alain Verschoren, onde o conceito principal é o de álgebra esquemática .

Invariantes para espaços não comutativos

Algumas das questões motivadoras da teoria estão preocupadas em estender invariantes topológicos conhecidos a duais formais de álgebras não comutativas (operador) e outras substituições e candidatos a espaços não comutativos. Um dos principais pontos de partida da direção de Alain Connes na geometria não comutativa é sua descoberta de uma nova teoria de homologia associada a álgebras associativas não comutativas e álgebras de operadores não comutativos, ou seja, a homologia cíclica e suas relações com a teoria K algébrica (principalmente via Connes– Mapa de personagens de Chern).

A teoria das classes características de variedades suaves foi estendida aos triplos espectrais, empregando as ferramentas da teoria K do operador e da cohomologia cíclica . Várias generalizações de teoremas de índice agora clássicos permitem a extração eficaz de invariantes numéricos de triplos espectrais. A classe característica fundamental em cohomologia cíclica, o cociclo JLO , generaliza o caráter clássico de Chern .

Exemplos de espaços não comutativos

• Na formulação do espaço de fase da mecânica quântica, o espaço de fase simplético da mecânica clássica é deformado em um espaço de fase não comutativo gerado pelos operadores de posição e momento .
• O modelo padrão não comutativo é uma extensão proposta do modelo padrão da física de partículas.
• O toro não comutativo , deformação da álgebra funcional do toro comum, pode receber a estrutura de uma tripla espectral. Esta classe de exemplos foi estudada intensamente e ainda funciona como um caso de teste para situações mais complicadas.
• Espaço Snyder
• Álgebras não comutativas decorrentes de folheações .
• Exemplos relacionados a sistemas dinâmicos decorrentes da teoria dos números , como o deslocamento de Gauss em frações contínuas, dão origem a álgebras não comutativas que parecem ter geometrias não comutativas interessantes.

Veja também

• Comutatividade
• Formulação do espaço de fase
• Produto Moyal
• Esfera difusa
• Geometria algébrica não comutativa
• Topologia não comutativa

Citações

Referências

Leitura adicional

• Consani, Caterina ; Connes, Alain , eds. (2011), Geometria não comutativa, aritmética e tópicos relacionados. Proceedings of the 21st meeting of the Japan-US Mathematics Institute (JAMI) realizada na Johns Hopkins University, Baltimore, MD, EUA, março 23-26, 2009 , Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-1-4214-0352-6, Zbl  1245.00040
• Grensing, Gerhard (2013). Aspectos estruturais da teoria quântica de campos e geometria não comutativa . Hackensack New Jersey: World Scientific. ISBN 978-981-4472-69-2.

links externos

• Introdução à geometria quântica por Micho Đurđevich
• Ginzburg, Victor (2005). “Aulas de Geometria Não Comutativa”. arXiv : math / 0506603 .
• Khalkhali, Masoud (2004). "Geometria Não Comutativa Muito Básica". arXiv : math / 0408416 .
• Marcolli, Matilde (2004). "Aulas de Geometria Aritmética Não Comutativa". arXiv : math / 0409520 .
• Madore, J. (2000). "Geometria Não Comutativa para Pedestres". Não localidade clássica e quântica : 111. arXiv : gr-qc / 9906059 . Bibcode : 2000cqnl.conf..111M . doi : 10.1142 / 9789812792938_0007 . ISBN 978-981-02-4296-1. S2CID  15595586 .
• Masson, Thierry (2006). "Uma introdução informal às ideias e conceitos da geometria não comutativa". arXiv : math-ph / 0612012 . (Uma introdução mais fácil que ainda é bastante técnica)
• Geometria não comutativa em arxiv.org
• MathOverflow, Theories of Noncomutative Geometry
• Mahanta, Snigdhayan (2005). "Em algumas abordagens à geometria algébrica não comutativa". arXiv : math / 0501166 .
• Sardanashvily, G. (2009). “Aulas de Geometria Diferencial de Módulos e Anéis”. arXiv : 0910.1515 [ matemática-ph ].
• Geometria não comutativa e física de partículas