Teoria dos conjuntos de Morse – Kelley - Morse–Kelley set theory

Nos fundamentos da matemática , a teoria dos conjuntos de Morse – Kelley ( MK ), a teoria dos conjuntos de Kelley – Morse ( KM ), a teoria dos conjuntos de Morse – Tarski ( MT ), a teoria dos conjuntos de Quine – Morse ( QM ) ou o sistema de Quine e Morse é um teoria dos conjuntos axiomática de primeira ordem que está intimamente relacionada com a teoria dos conjuntos de von Neumann – Bernays – Gödel (NBG). Enquanto a teoria dos conjuntos de von Neumann – Bernays – Gödel restringe as variáveis ​​limitadas na fórmula esquemática que aparece no esquema axiomático da Compreensão de Classes para variar apenas em conjuntos, a teoria de conjuntos de Morse – Kelley permite que essas variáveis ​​limitadas variam em classes adequadas , bem como conjuntos, como sugerido pela primeira vez por Quine em 1940 para seu sistema ML .

A teoria dos conjuntos de Morse-Kelley é nomeada em homenagem aos matemáticos John L. Kelley e Anthony Morse e foi apresentada pela primeira vez por Wang (1949) e mais tarde em um apêndice do livro de Kelley, General Topology (1955), uma introdução de nível de graduação à topologia . Kelley disse que o sistema em seu livro era uma variante dos sistemas devido a Thoralf Skolem e Morse. A versão do próprio Morse apareceu mais tarde em seu livro A Theory of Sets (1965).

Enquanto a teoria dos conjuntos de von Neumann – Bernays – Gödel é uma extensão conservadora da teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel (ZFC, a teoria dos conjuntos canônicos) no sentido de que uma declaração na linguagem de ZFC é demonstrável em NBG se e somente se for demonstrável em ZFC, a teoria dos conjuntos de Morse – Kelley é uma extensão adequada de ZFC. Ao contrário da teoria dos conjuntos de von Neumann – Bernays – Gödel, onde o esquema axioma de compreensão de classes pode ser substituído por finitamente muitas de suas instâncias, a teoria dos conjuntos de Morse – Kelley não pode ser axiomatizada finitamente.

Axiomas e ontologia MK

NBG e MK compartilham uma ontologia comum . O universo do discurso consiste em classes . As classes que são membros de outras classes são chamadas de conjuntos . Uma classe que não é um conjunto é uma classe adequada . As sentenças atômicas primitivas envolvem associação ou igualdade.

Com exceção da compreensão de classes, os axiomas a seguir são iguais aos do NBG , deixando os detalhes não essenciais. As versões simbólicas dos axiomas empregam os seguintes dispositivos notacionais:

• As letras maiúsculas diferentes de M , que aparecem em Extensionality, Class Comprehension e Foundation, denotam variáveis ​​que variam entre as classes. Uma letra minúscula denota uma variável que não pode ser uma classe própria , porque aparece à esquerda de um ∈. Como MK é uma teoria de classificação única, essa convenção notacional é apenas mnemônica .
• O predicado monádico cuja leitura pretendida é "a classe x é um conjunto", abrevia ${\ displaystyle \ Mx,}$${\ displaystyle \ existe W (x \ em W).}$
• O conjunto vazio é definido por${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ forall x (x \ não \ em \ varnothing).}$
• A classe V , a classe universal tendo todos os conjuntos possíveis como membros, é definida por V é também o universo de von Neumann .${\ displaystyle \ forall x (Mx \ to x \ in V).}$

Extensionalidade : classes com os mesmos membros são a mesma classe.

${\ displaystyle \ forall X \, \ forall Y \, (\ forall z \, (z \ in X \ leftrightarrow z \ in Y) \ rightarrow X = Y).}$

Um conjunto e uma classe com a mesma extensão são idênticos. Conseqüentemente, MK não é uma teoria de duas categorias, apesar das aparências em contrário.

Fundação : Cada classe A não vaziaé separada de pelo menos um de seus membros.

${\ displaystyle \ forall A [A \ not = \ varnothing \ rightarrow \ existe b (b \ in A \ land \ forall c (c \ in b \ rightarrow c \ not \ in A))].}$

Compreensão de classe: Seja φ ( x ) qualquer fórmula na linguagem de MK na qual x é uma variável livre e Y não é livre. φ ( x ) pode conter parâmetros que são conjuntos ou classes apropriadas. Mais conseqüentemente, as variáveis ​​quantificadas em φ ( x ) podem variar sobre todas as classes e não apenas sobre todos os conjuntos; esta é a única maneira pela qual MK difere de NBG . Então existe uma classe cujos membros são exatamente aqueles conjuntos x tais que resultam verdadeiros. Formalmente, se Y não estiver livre em φ: ${\ displaystyle Y = \ {x \ mid \ phi (x) \}}$ ${\ displaystyle \ phi (x)}$

${\ displaystyle \ forall W_ {1} ... W_ {n} \ existe Y \ forall x [x \ in Y \ leftrightarrow (\ phi (x, W_ {1}, ... W_ {n}) \ land Mx)].}$

Emparelhamento : para quaisquer conjuntos x e y , existe um conjuntocujos membros são exatamente x e y . ${\ displaystyle z = \ {x, y \}}$

${\ displaystyle \ forall x \, \ forall y \, [(Mx \ land My) \ rightarrow \ exists z \, (Mz \ land \ forall s \, [s \ in z \ leftrightarrow (s = x \, \ lor \, s = y)])].}$

Emparelhar licenças o par não ordenada, em termos dos quais o par ordenadas , , pode ser definida da maneira usual, como . Com pares ordenados em mãos, a compreensão de classes permite definir relações e funções em conjuntos como conjuntos de pares ordenados, tornando possível o próximo axioma: ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$${\ displaystyle \ \ {\ {x \}, \ {x, y \} \}}$

Limitação de Tamanho : C é uma classe adequada se e somente se V pode ser mapeado um-para-um em C .

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ forall C [\ n MC \ leftrightarrow \ exists F (\ forall x [Mx \ rightarrow \ exists s (s \ in C \ land \ langle x, s \ rangle \ em F)] \ land \\\ qquad \ forall x \ forall y \ forall s [(\ langle x, s \ rangle \ in F \ land \ langle y, s \ rangle \ in F) \ rightarrow x = y] )]. \ end {array}}}$

A versão formal deste axioma lembra o axioma da substituição , e incorpora a função de classe F . A próxima seção explica como a Limitação de Tamanho é mais forte do que as formas usuais do axioma da escolha .

Conjunto de potência : seja p uma classe cujos membros são todos os subconjuntos possíveisdo conjunto a . Então p é um conjunto.

${\ displaystyle \ forall a \, \ forall p \, [(Ma \ land \ forall x \, [x \ in p \ leftrightarrow \ forall y \, (y \ in x \ rightarrow y \ in a)]) \ rightarrow Mp].}$

União : Sejaa classe soma do conjunto a , ou seja, a união de todos os membros de a . Então s é um conjunto. ${\ displaystyle s = \ bigcup a}$

${\ displaystyle \ forall a \, \ forall s \, [(Ma \ land \ forall x \, [x \ in s \ leftrightarrow \ existe y \, (x \ in y \ land y \ in a)]) \ rightarrow Ms].}$

Infinito : Existe um conjunto indutivo y , o que significa que (i) o conjunto vazio é um membro de y ; (ii) se x é membro de y , então é. ${\ displaystyle x \ cup \ {x \}.}$

${\ displaystyle \ exists y [My \ land \ varnothing \ in y \ land \ forall z (z \ in y \ rightarrow \ exists x [x \ in y \ land \ forall w (w \ in x \ leftrightarrow [w = z \ lor w \ in z])])].}$

Observe que p e s em Power Set and Union são universalmente, não existencialmente, quantificados, já que a compreensão de classe é suficiente para estabelecer a existência de p e s . Power Set and Union servem apenas para estabelecer que p e s não podem ser classes adequadas.

Os axiomas acima são compartilhados com outras teorias de conjuntos da seguinte forma:

• ZFC e NBG : emparelhamento, conjunto de energia, união, infinito;
• NBG (e ZFC, se as variáveis ​​quantificadas forem restritas a conjuntos): Extensionalidade, Fundação;
• NBG : Limitação de tamanho.

Discussão

Monk (1980) e Rubin (1967) são textos de teoria de conjuntos construídos em torno de MK; A ontologia de Rubin inclui urelementos . Esses autores e Mendelson (1997: 287) afirmam que MK faz o que se espera de uma teoria de conjuntos, embora seja menos complicado do que ZFC e NBG .

MK é estritamente mais forte do que ZFC e sua extensão conservadora NBG, a outra teoria de conjuntos bem conhecida com classes adequadas . Na verdade, NBG - e, portanto, ZFC - pode ser provado consistente em MK. A força de MK deriva de seu esquema axiomático de compreensão de classes ser impredicativo , o que significa que φ ( x ) pode conter variáveis ​​quantificadas que variam entre as classes. As variáveis ​​quantificadas no esquema de axioma de compreensão de classes do NBG são restritas a conjuntos; portanto, a compreensão de classes em NBG deve ser predicativa . (A separação com respeito aos conjuntos ainda é impredicativa em NBG, porque os quantificadores em φ ( x ) podem variar em todos os conjuntos.) O esquema do axioma NBG de Compreensão de Classes pode ser substituído por um número finito de suas instâncias; isso não é possível no MK. MK é consistente em relação ao ZFC aumentado por um axioma que afirma a existência de cardeais fortemente inacessíveis .

A única vantagem do axioma da limitação de tamanho é que ele implica o axioma da escolha global . Limitação de tamanho não aparece em Rubin (1967), Monk (1980) ou Mendelson (1997). Em vez disso, esses autores invocam uma forma usual do axioma local de escolha e um "axioma de substituição", afirmando que se o domínio de uma função de classe é um conjunto, seu intervalo também é um conjunto. A substituição pode provar tudo o que a Limitação de Tamanho prova, exceto provar alguma forma do axioma de escolha .

Limitação de Tamanho mais I sendo um conjunto (portanto, o universo não é vazio) torna provável a condição de conjunto do conjunto vazio; portanto, não há necessidade de um axioma de conjunto vazio . Tal axioma poderia ser adicionado, é claro, e pequenas perturbações dos axiomas acima necessitariam desta adição. O conjunto I não se identifica com o ordinal limite como eu poderia ser um conjunto maior do que Neste caso, a existência de seguiria a partir de qualquer forma de limitação de tamanho. ${\ displaystyle \ omega,}$${\ displaystyle \ omega.}$${\ displaystyle \ omega}$

A classe de ordinais de von Neumann pode ser bem ordenada . Não pode ser um conjunto (sob pena de paradoxo); portanto, que é uma classe adequada, e todas as classes adequadas têm o mesmo tamanho que V . Conseqüentemente, V também pode ser bem ordenado.

MK pode ser confundido com ZFC de segunda ordem, ZFC com lógica de segunda ordem (representando objetos de segunda ordem em conjunto em vez de linguagem de predicado) como sua lógica de fundo. A linguagem do ZFC de segunda ordem é semelhante à do MK (embora um conjunto e uma classe com a mesma extensão não possam mais ser identificados), e seus recursos sintáticos para a prova prática são quase idênticos (e são idênticos se MK inclui o forte forma de Limitação de Tamanho). Mas a semântica do ZFC de segunda ordem é bastante diferente daquela do MK. Por exemplo, se MK é consistente, então ele tem um modelo contável de primeira ordem, enquanto ZFC de segunda ordem não tem modelos contáveis.

Teoria do modelo

ZFC, NBG e MK têm, cada um, modelos que podem ser descritos em termos de V , o universo de conjuntos de von Neumann em ZFC . Deixe o cardinal inacessível k ser um membro de V . Também deixe Def ( X ) denotar os subconjuntos Δ ₀ definíveis de X (ver universo construtível ). Então:

• V _κ é o modelo de ZFC ;
• Def ( V _κ ) é um modelo da versão de Mendelson do NBG , que exclui a escolha global, substituindo a limitação de tamanho por substituição e escolha comum;
• V _{κ + 1} , o conjunto de potência de V _κ , é um modelo de MK.

História

MK foi estabelecido pela primeira vez em Wang (1949) e popularizado em um apêndice da Topologia Geral de JL Kelley (1955) , usando os axiomas fornecidos na próxima seção. O sistema de A Teoria dos Conjuntos de Anthony Morse (1965) é equivalente ao de Kelley, mas formulado em uma linguagem formal idiossincrática em vez de, como é feito aqui, na lógica de primeira ordem padrão . O primeiro conjunto de teoria a incluir a compreensão impredicativa da classe foi o ML de Quine , que se baseou em Novos Fundamentos em vez de no ZFC . A compreensão da aula impredicativa também foi proposta em Mostowski (1951) e Lewis (1991).

Os axiomas na topologia geral de Kelley

Os axiomas e definições nesta seção são, apenas para alguns detalhes não essenciais, retirados do Apêndice de Kelley (1955). As observações explicativas abaixo não são dele. O Apêndice declara 181 teoremas e definições, e garante uma leitura cuidadosa como uma exposição abreviada da teoria dos conjuntos axiomática por um matemático de primeira classe. Kelley introduziu seus axiomas gradualmente, conforme necessário para desenvolver os tópicos listados após cada instância de Desenvolver abaixo.

Notações que aparecem abaixo e agora bem conhecidas não estão definidas. As peculiaridades da notação de Kelley incluem:

• Ele não distinguiu as variáveis ​​que variam entre as classes e as que variam entre os conjuntos;
• domínio f e intervalo f denotam o domínio e intervalo da função f ; esta peculiaridade foi cuidadosamente respeitada abaixo;
• Sua linguagem lógica primitiva inclui resumos de classes na forma "a classe de todos os conjuntos x que satisfazem A ( x )".${\ displaystyle \ \ {x: A (x) \},}$

Definição: x é um conjunto (e, portanto, não é uma classe adequada ) se, por algum y , . ${\ displaystyle x \ in y}$

I. Extensão: Para cada x e cada y , x = y se e somente se para cada z , quando e somente quando${\ displaystyle z \ in x}$${\ displaystyle z \ in y.}$

Idêntico à Extensionalidade acima. Eu seria idêntico ao axioma de extensionalidade em ZFC , exceto que o escopo de I inclui classes próprias, bem como conjuntos.

II. Classificação (esquema): Um axioma resulta se em

Para cada um , se e somente se é um conjunto e${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta \ in \ {\ alpha: A \}}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle B,}$

'α' e 'β' são substituídos por variáveis, ' A ' por uma fórmula Æ, e ' B ' pela fórmula obtida de Æ substituindo cada ocorrência da variável que substituiu α pela variável que substituiu β desde que a variável que substituiu β não parece ligado no a .

Desenvolver : Álgebra booleana de conjuntos . Existência da classe nula e da classe universal V .

III. Subconjuntos: Se x é um conjunto, existe um conjunto y tal que para cada z , se , então${\ displaystyle z \ subseteq x}$${\ displaystyle z \ in y.}$

A importância de III é a do Power Set acima. Esboço da prova de Power Set de III : para qualquer classe z que seja uma subclasse do conjunto x , a classe z é um membro do conjunto y cuja existência III afirma. Portanto, z é um conjunto.

Desenvolver : V não é um conjunto. Existência de singletons . Separação provável.

4. União: Se x e y são ambos conjuntos, então é um conjunto. ${\ displaystyle x \ cup y}$

A importância do IV é a do Emparelhamento acima. Esboço da prova de emparelhamento de IV : o singleton de um conjunto x é um conjunto porque é uma subclasse do conjunto de potência de x (por duas aplicações de III ). Então IV implica que é um conjunto, se x e y são conjuntos. ${\ displaystyle \ {x \}}$${\ displaystyle \ {x, y \}}$

Desenvolver : pares não ordenados e ordenados , relações , funções , domínio , alcance , composição de funções .

V. Substituição: Se f é uma função de [classe] e o domínio f é um conjunto, então o intervalo f é um conjunto.

A importação de V é a do esquema de axioma de substituição em NBG e ZFC .

VI. Amalgamação: se x é um conjunto, então é um conjunto. ${\ displaystyle \ bigcup x}$

A importação de VI é a da União acima. IV e VI podem ser combinados em um axioma.

Desenvolver : produto cartesiano , injeção , sobreposição , bijeção , teoria da ordem .

VII. Regularidade: Se houver um membro y de x tal que${\ displaystyle x \ neq \ varnothing}$${\ displaystyle x \ cap y = \ varnothing.}$

A importância do VII é a da Fundação acima.

Desenvolver : Números ordinais , indução transfinita .

VIII. Infinito: existe um conjunto y , tal que e sempre que${\ displaystyle \ varnothing \ in y}$${\ displaystyle x \ cup \ {x \} \ in y}$${\ displaystyle x \ in y.}$

Este axioma, ou seus equivalentes, estão incluídos em ZFC e NBG. VIII afirma a existência incondicional de dois conjuntos, o conjunto indutivo infinito y , e o conjunto nulo é um conjunto simplesmente porque é um membro de y . Até este ponto, tudo o que foi provado existir é uma classe, e a discussão de Kelley sobre os conjuntos era inteiramente hipotética. ${\ displaystyle \ varnothing.}$ ${\ displaystyle \ varnothing}$

Desenvolver : Números naturais , N é um conjunto, axiomas de Peano , inteiros , números racionais , números reais .

Definição: c é uma função de escolha se c for uma função e para cada membro x do domínio c . ${\ displaystyle c (x) \ in x}$

IX. Escolha: Existe uma função de escolha c cujo domínio é . ${\ displaystyle V - \ {\ varnothing \}.}$

IX é muito semelhante ao axioma da escolha global derivável da Limitação de tamanho acima.

Desenvolver : Equivalentes do axioma da escolha. Como é o caso do ZFC , o desenvolvimento dos números cardinais requer alguma forma de escolha.

Se o escopo de todas as variáveis ​​quantificadas nos axiomas acima for restrito a conjuntos, todos os axiomas, exceto III e o esquema IV, são axiomas ZFC. IV é comprovável em ZFC. Conseqüentemente, o tratamento de Kelley de MK deixa muito claro que tudo o que distingue MK de ZFC são variáveis ​​abrangendo classes adequadas , bem como conjuntos, e o esquema de classificação.

Notas

Referências

• John L. Kelley 1975 (1955) General Topology . Springer. Ed. Anterior, Van Nostrand. Apêndice, "Teoria dos Conjuntos Elementares".
• Lemmon, EJ (1986) Introduction to Aximatic Set Theory . Routledge e Kegan Paul.
• David K. Lewis (1991) Parts of Classes . Oxford: Basil Blackwell.
• Mendelson, Elliott (1997). Introdução à lógica matemática . Chapman & Hall. ISBN 0-534-06624-0.O tratamento definitivo da teoria dos conjuntos intimamente relacionada NBG , seguido por uma página no MK. Mais forte do que Monk ou Rubin.
• Monk, J. Donald (1980) Introdução à Teoria dos Conjuntos . Krieger. Mais fácil e menos completo do que Rubin.
• Morse, AP, (1965) A Theory of Sets . Academic Press.
• Mostowski, Andrzej (1950), "Algumas definições impredicativas na teoria dos conjuntos axiomáticos" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 37 : 111-124, doi : 10.4064 / fm-37-1-111-124.
• Rubin, Jean E. (1967) Set Theory for the Mathematician . São Francisco: Dia Holden. Mais completo do que Monk; a ontologia inclui urelementos .
• Wang, Hao (1949), "On Zermelo's and von Neumann's axiooms for set theory", Proc. Natl. Acad. Sci. EUA , 35 (3): 150–155, doi : 10.1073 / pnas.35.3.150 , JSTOR  88430 , MR  0029850 , PMC  1062986 , PMID  16588874.

links externos

• Baixe Topologia Geral (1955) de John L. Kelley em vários formatos. O apêndice contém o desenvolvimento axiomático de Kelley de MK.

Do grupo de discussão Foundations of Mathematics (FOM):

• Allen Hazen na teoria dos conjuntos com aulas.
• Dúvidas de Joseph Shoenfield sobre MK.