Leis de Mersenne - Mersenne's laws

Uma corda com metade do comprimento (1/2), quatro vezes a tensão (4) ou um quarto da massa por comprimento (1/4) é uma oitava mais alta (2/1).
Se a tensão em uma corda for de dez libras, ela deve ser aumentada para 40 libras. para um tom uma oitava acima.

Uma corda, amarrada em A , é mantida em tensão por W , um peso suspenso e duas pontes, B e a ponte móvel C , enquanto D é uma roda que se move livremente; tudo permitindo demonstrar as leis de Mersenne sobre tensão e comprimento

As leis de Mersenne são leis que descrevem a frequência de oscilação de uma corda esticada ou monocórdio , úteis na afinação musical e na construção de instrumentos musicais .

Visão geral

A equação foi proposta pela primeira vez pelo matemático e teórico musical francês Marin Mersenne em seu trabalho de 1636 Harmonie universelle . As leis de Mersenne regem a construção e operação de instrumentos de cordas , como pianos e harpas , que devem acomodar a força de tensão total necessária para manter as cordas no tom adequado. As cordas mais baixas são mais grossas e, portanto, têm uma massa maior por unidade de comprimento. Eles normalmente têm tensão mais baixa . Guitarras são uma exceção familiar a isso: as tensões das cordas são semelhantes, para a tocabilidade, de modo que o tom das cordas mais baixo é amplamente alcançado com o aumento da massa por comprimento. Cordas mais agudas geralmente são mais finas, têm maior tensão e podem ser mais curtas. "Este resultado não difere substancialmente do de Galileu , mas é corretamente conhecido como a lei de Mersenne", porque Mersenne provou fisicamente sua verdade por meio de experimentos (enquanto Galileu considerou sua prova impossível). "Mersenne investigou e refinou essas relações por experiência, mas não as originou ele mesmo". Embora suas teorias estejam corretas, suas medidas não são muito exatas e seus cálculos foram muito melhorados por Joseph Sauveur (1653-1716) por meio do uso de batidas acústicas e metrônomos .

Equações

A frequência natural é:

• a) Inversamente proporcional ao comprimento da corda (lei de Pitágoras),
• b) Proporcional à raiz quadrada da força de alongamento, e
• c) Inversamente proporcional à raiz quadrada da massa por unidade de comprimento.

${\ displaystyle f_ {0} \ propto {\ tfrac {1} {L}}.}$ (equação 26)

${\ displaystyle f_ {0} \ propto {\ sqrt {F}}.}$ (equação 27)

${\ displaystyle f_ {0} \ propto {\ frac {1} {\ sqrt {\ mu}}}.}$ (equação 28)

Assim, por exemplo, todas as outras propriedades da corda sendo iguais, para tornar a nota uma oitava acima (2/1), seria necessário diminuir seu comprimento pela metade (1/2), para aumentar a tensão ao quadrado ( 4), ou para diminuir sua massa por unidade de comprimento pelo inverso do quadrado (1/4).

Essas leis são derivadas da equação de Mersenne 22:

${\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {\ nu} {\ lambda}} = {\ frac {1} {2L}} {\ sqrt {\ frac {F} {\ mu}}}.}$

A fórmula para a frequência fundamental é:

${\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {1} {2L}} {\ sqrt {\ frac {F} {\ mu}}},}$

onde f é a frequência, L é o comprimento, F é a força e μ é a massa por unidade de comprimento.

Leis semelhantes não foram desenvolvidas para tubos e instrumentos de sopro ao mesmo tempo, uma vez que as leis de Mersenne são anteriores à concepção de que o tom dos instrumentos de sopro depende de ondas longitudinais em vez de "percussão".

Veja também

• Ciclóide
• Instrumento de corda longa
• Conjecturas de Mersenne
• Harmônico
• Onda parada

Notas

Referências

links externos

• Mídia relacionada às leis de Mersenne no Wikimedia Commons

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