Medição de um Círculo - Measurement of a Circle

Medição de um círculo ou dimensão do círculo ( grego : Κύκλου μέτρησις , Kuklou metrēsis ) é um tratado que consiste em três proposições de Arquimedes , ca. 250 AC. O tratado é apenas uma fração do que era uma obra mais longa.

Proposições

Proposta um

O círculo e o triângulo são iguais em área.

A proposição um declara: A área de qualquer círculo é igual a um triângulo retângulo em que um dos lados do ângulo reto é igual ao raio e o outro à circunferência do círculo. Qualquer círculo com uma circunferência C e um raio r é igual em área de um triângulo com as duas pernas sendo c e r . Essa proposição é comprovada pelo método da exaustão .

Proposta dois

A proposição dois afirma:

A área de um círculo é para o quadrado em seu diâmetro de 11 a 14.

Esta proposição não poderia ter sido colocada por Arquimedes, pois depende do resultado da terceira proposição.

Proposta três

A proposição três afirma:

A razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro é maior que, mas menor que .

Isso se aproxima do que agora chamamos de constante matemática π . Ele encontrou esses limites no valor de π inscrevendo e circunscrevendo um círculo com dois polígonos regulares semelhantes de 96 lados .

Aproximação às raízes quadradas

Esta proposição também contém aproximações precisas da raiz quadrada de 3 (uma maior e uma menor) e outras raízes quadradas não perfeitas maiores ; no entanto, Arquimedes não dá nenhuma explicação de como ele encontrou esses números. Ele dá os limites superior e inferior para 3 como 1351 / 780 > 3 > 265 / 153 . No entanto, esses limites são familiares a partir do estudo da equação de Pell e os convergentes de uma fração contínua associada , levando a muita especulação sobre quanto dessa teoria dos números poderia ter sido acessível a Arquimedes. A discussão desta abordagem remonta pelo menos a Thomas Fantet de Lagny , FRS (compare a Cronologia da computação de π ) em 1723, mas foi tratada de forma mais explícita por Hieronymus Georg Zeuthen . No início da década de 1880, Friedrich Otto Hultsch (1833–1906) e Karl Heinrich Hunrath ( nascido em 1847) notaram como os limites podiam ser encontrados rapidamente por meio de limites binomiais simples em raízes quadradas perto de um quadrado perfeito modelado nos Elementos II.4 , 7; este método é preferido por Thomas Little Heath . Embora apenas uma rota para os limites seja mencionada, na verdade existem dois outros, tornando os limites quase inevitáveis, independentemente do método ser trabalhado. Mas os limites também podem ser produzidos por uma construção geométrica iterativa sugerida por Stomachion de Arquimedes no cenário do dodecágono regular. Nesse caso, a tarefa é fornecer aproximações racionais para a tangente de π / 12.

Referências