Modelo de elemento volumoso - Lumped-element model

O modelo de elemento concentrado (também chamado de modelo de parâmetro concentrado ou modelo de componente concentrado ) simplifica a descrição do comportamento de sistemas físicos espacialmente distribuídos em uma topologia que consiste em entidades discretas que se aproximam do comportamento do sistema distribuído sob certas suposições. É útil em sistemas elétricos (incluindo eletrônicos ), sistemas multicorpos mecânicos , transferência de calor , acústica , etc.

Matematicamente falando, a simplificação reduz o espaço de estado do sistema a uma dimensão finita , e as equações diferenciais parciais (PDEs) do modelo de tempo e espaço contínuo (dimensão infinita) do sistema físico em equações diferenciais ordinárias (EDOs) com um número finito de parâmetros.

Sistemas elétricos

Disciplina de matéria confusa

A disciplina de matéria concentrada é um conjunto de suposições impostas em engenharia elétrica que fornece a base para a abstração de circuito concentrado usada na análise de rede . As restrições autoimpostas são:

1. A mudança do fluxo magnético no tempo fora de um condutor é zero.

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi _ {B}} {\ partial t}} = 0}$

2. A variação da carga no tempo dentro dos elementos condutores é zero.

${\ displaystyle {\ frac {\ partial q} {\ partial t}} = 0}$

3. As escalas de tempo do sinal de interesse são muito maiores do que o atraso de propagação das ondas eletromagnéticas através do elemento concentrado.

As duas primeiras suposições resultam nas leis de circuito de Kirchhoff quando aplicadas às equações de Maxwell e só são aplicáveis ​​quando o circuito está em estado estacionário . A terceira suposição é a base do modelo de elemento concentrado usado na análise de rede . Suposições menos severas resultam no modelo de elemento distribuído , embora ainda não exijam a aplicação direta das equações de Maxwell completas.

Modelo de elemento volumoso

O modelo de elementos concentrados de circuitos eletrônicos faz a suposição simplificadora de que os atributos do circuito, resistência , capacitância , indutância e ganho , estão concentrados em componentes elétricos idealizados ; resistores , capacitores e indutores , etc. unidos por uma rede de fios condutores perfeitos .

O modelo de elemento concentrado é válido sempre que , onde denota o comprimento característico do circuito e denota o comprimento de onda operacional do circuito . Caso contrário, quando o comprimento do circuito for da ordem de um comprimento de onda, devemos considerar modelos mais gerais, como o modelo de elementos distribuídos (incluindo linhas de transmissão ), cujo comportamento dinâmico é descrito pelas equações de Maxwell . Outra maneira de ver a validade do modelo de elemento concentrado é observar que esse modelo ignora o tempo finito que os sinais levam para se propagarem em um circuito. Sempre que esse tempo de propagação não for significativo para a aplicação, o modelo de elemento concentrado pode ser usado. Este é o caso quando o tempo de propagação é muito menor que o período do sinal envolvido. No entanto, com o aumento do tempo de propagação, haverá um erro crescente entre a fase assumida e a fase real do sinal que, por sua vez, resulta em um erro na amplitude assumida do sinal. O ponto exato em que o modelo de elemento concentrado não pode mais ser usado depende, até certo ponto, de quão precisamente o sinal precisa ser conhecido em uma determinada aplicação. ${\ displaystyle L_ {c} \ ll \ lambda}$${\ displaystyle L_ {c}}$${\ displaystyle \ lambda}$

Os componentes do mundo real exibem características não ideais que são, na realidade, elementos distribuídos, mas são frequentemente representados em uma aproximação de primeira ordem por elementos concentrados. Para contabilizar o vazamento em capacitores, por exemplo, podemos modelar o capacitor não ideal como tendo um grande resistor concentrado conectado em paralelo, embora o vazamento seja, na realidade, distribuído por todo o dielétrico. Da mesma forma, um resistor enrolado em fio tem indutância significativa , bem como resistência distribuída ao longo de seu comprimento, mas podemos modelar isso como um indutor concentrado em série com o resistor ideal.

Sistemas térmicos

Um modelo de capacitância concentrada , também chamado de análise de sistema concentrado , reduz um sistema térmico a uma série de “pedaços” discretos e assume que a diferença de temperatura dentro de cada pedaço é desprezível. Esta aproximação é útil para simplificar equações diferenciais de calor de outra forma complexas . Ele foi desenvolvido como um análogo matemático da capacitância elétrica , embora também inclua análogos térmicos da resistência elétrica .

O modelo de capacitância concentrada é uma aproximação comum na condução transitória, que pode ser usada sempre que a condução de calor dentro de um objeto for muito mais rápida do que a transferência de calor através dos limites do objeto. O método de aproximação, então, reduz adequadamente um aspecto do sistema de condução transiente (variação de temperatura espacial dentro do objeto) para uma forma mais matematicamente tratável (isto é, assume-se que a temperatura dentro do objeto é completamente uniforme no espaço, embora isso espacialmente o valor uniforme da temperatura muda ao longo do tempo). O aumento da temperatura uniforme dentro do objeto ou parte de um sistema pode então ser tratado como um reservatório capacitativo que absorve calor até atingir um estado térmico estável no tempo (após o qual a temperatura não muda dentro dele).

Um exemplo descoberto anteriormente de um sistema de capacitância concentrada que exibe um comportamento matematicamente simples devido a tais simplificações físicas, são os sistemas que estão em conformidade com a lei de resfriamento de Newton . Essa lei simplesmente afirma que a temperatura de um objeto quente (ou frio) progride em direção à temperatura de seu ambiente de uma maneira exponencial simples. Os objetos seguem esta lei estritamente apenas se a taxa de condução de calor dentro deles for muito maior do que o fluxo de calor para dentro ou para fora deles. Nesses casos, faz sentido falar de uma única "temperatura do objeto" em qualquer momento (uma vez que não há variação de temperatura espacial dentro do objeto) e também as temperaturas uniformes dentro do objeto permitem que seu excesso ou déficit de energia térmica total varie proporcionalmente à temperatura de sua superfície, estabelecendo assim a lei de Newton do requisito de resfriamento de que a taxa de diminuição da temperatura é proporcional à diferença entre o objeto e o ambiente. Isso, por sua vez, leva a um comportamento de aquecimento ou resfriamento exponencial simples (detalhes abaixo).

Método

Para determinar o número de caroços, o número de Biot (Bi), um parâmetro adimensional do sistema, é usado. Bi é definido como a razão entre a resistência condutiva ao calor dentro do objeto e a resistência convectiva à transferência de calor através dos limites do objeto com um banho uniforme de temperatura diferente. Quando a resistência térmica ao calor transferido para o objeto é maior do que a resistência ao calor sendo difundido completamente dentro do objeto, o número de Biot é menor que 1. Neste caso, particularmente para números de Biot que são ainda menores, a aproximação de espacialmente uniforme a temperatura dentro do objeto pode começar a ser utilizada, uma vez que pode-se presumir que o calor transferido para o objeto tem tempo para se distribuir uniformemente, devido à menor resistência em fazê-lo, em comparação com a resistência ao calor que entra no objeto.

Se o número de Biot for menor que 0,1 para um objeto sólido, então todo o material terá quase a mesma temperatura, com a diferença de temperatura dominante estando na superfície. Pode ser considerado "termicamente fino". O número de Biot geralmente deve ser menor que 0,1 para uma aproximação precisa e análise de transferência de calor. A solução matemática para a aproximação do sistema concentrado fornece a lei do resfriamento de Newton .

Um número Biot maior que 0,1 (uma substância "termicamente espessa") indica que não se pode fazer essa suposição, e equações de transferência de calor mais complicadas para "condução de calor transiente" serão necessárias para descrever a temperatura variável no tempo e não espacialmente uniforme campo dentro do corpo material.

A abordagem de capacitância única pode ser expandida para envolver muitos elementos resistivos e capacitivos, com Bi <0,1 para cada protuberância. Como o número de Biot é calculado com base em um comprimento característico do sistema, o sistema pode frequentemente ser dividido em um número suficiente de seções, ou pedaços, de modo que o número de Biot seja aceitavelmente pequeno.

Alguns comprimentos característicos de sistemas térmicos são:

• Placa: espessura
• Aleta : espessura / 2
• Cilindro longo : diâmetro / 4
• Esfera : diâmetro / 6

Para formas arbitrárias, pode ser útil considerar o comprimento característico como volume / área de superfície.

Circuitos térmicos puramente resistivos

Um conceito útil usado em aplicações de transferência de calor, uma vez que a condição de condução de calor em estado estacionário tenha sido atingida, é a representação da transferência térmica pelo que é conhecido como circuitos térmicos. Um circuito térmico é a representação da resistência ao fluxo de calor em cada elemento de um circuito, como se fosse um resistor elétrico . O calor transferido é análogo à corrente elétrica e a resistência térmica é análoga ao resistor elétrico. Os valores da resistência térmica para os diferentes modos de transferência de calor são então calculados como denominadores das equações desenvolvidas. As resistências térmicas dos diferentes modos de transferência de calor são usadas na análise de modos combinados de transferência de calor. A falta de elementos "capacitativos" no exemplo puramente resistivo a seguir significa que nenhuma seção do circuito está absorvendo energia ou mudando na distribuição de temperatura. Isso equivale a exigir que um estado de condução (ou transferência de calor, como na radiação) em estado estacionário já tenha sido estabelecido.

As equações que descrevem os três modos de transferência de calor e suas resistências térmicas em condições de estado estacionário, conforme discutido anteriormente, estão resumidas na tabela abaixo:

Equações para diferentes modos de transferência de calor e suas resistências térmicas.

Modo de transferência	Taxa de transferência de calor	Resistência térmica
Condução	${\ displaystyle {\ dot {Q}} = {\ frac {T_ {1} -T_ {2}} {\ left ({\ frac {L} {kA}} \ right)}}}$	${\ displaystyle {\ frac {L} {kA}}}$
Convecção	${\ displaystyle {\ dot {Q}} = {\ frac {T _ {\ rm {surf}} - T _ {\ rm {envr}}} {\ left ({\ frac {1} {h _ {\ rm {conv }} A _ {\ rm {surf}}}} \ right)}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {h _ {\ rm {conv}} A _ {\ rm {surf}}}}}$
Radiação	${\ displaystyle {\ dot {Q}} = {\ frac {T _ {\ rm {surf}} - T _ {\ rm {surr}}} {\ left ({\ frac {1} {h_ {r} A_ { \ rm {surf}}}} \ right)}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {h_ {r} A}}}$, Onde ${\ displaystyle h_ {r} = \ epsilon \ sigma (T _ {\ rm {surf}} ^ {2} + T _ {\ rm {surr}} ^ {2}) (T _ {\ rm {surf}} + T_ {\ rm {surr}})}$

Nos casos em que há transferência de calor por diferentes meios (por exemplo, por meio de um material compósito ), a resistência equivalente é a soma das resistências dos componentes que compõem o compósito. Provavelmente, nos casos em que existem diferentes modos de transferência de calor, a resistência total é a soma das resistências dos diferentes modos. Usando o conceito de circuito térmico, a quantidade de calor transferida através de qualquer meio é o quociente da mudança de temperatura e a resistência térmica total do meio.

Como exemplo, considere uma parede composta de área transversal . O compósito é constituído por um gesso de cimento longo com coeficiente térmico e fibra de vidro papeleira longa com coeficiente térmico . A superfície esquerda da parede está em e exposta ao ar com um coeficiente de convecção de . A superfície direita da parede está em e exposta ao ar com coeficiente de convecção . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle L_ {1}}$${\ displaystyle k_ {1}}$${\ displaystyle L_ {2}}$${\ displaystyle k_ {2}}$${\ displaystyle T_ {i}}$${\ displaystyle h_ {i}}$${\ displaystyle T_ {o}}$${\ displaystyle h_ {o}}$

Usando o conceito de resistência térmica, o fluxo de calor através do compósito é o seguinte:

${\ displaystyle {\ dot {Q}} = {\ frac {T_ {i} -T_ {o}} {R_ {i} + R_ {1} + R_ {2} + R_ {o}}} = {\ frac {T_ {i} -T_ {1}} {R_ {i}}} = {\ frac {T_ {i} -T_ {2}} {R_ {i} + R_ {1}}} = {\ frac {T_ {i} -T_ {3}} {R_ {i} + R_ {1} + R_ {2}}} = {\ frac {T_ {1} -T_ {2}} {R_ {1}}} = {\ frac {T_ {3} -T_ {o}} {R_ {0}}}}$

Onde

${\ displaystyle R_ {i} = {\ frac {1} {h_ {i} A}}}$, , , E${\ displaystyle R_ {o} = {\ frac {1} {h_ {o} A}}}$${\ displaystyle R_ {1} = {\ frac {L_ {1}} {k_ {1} A}}}$${\ displaystyle R_ {2} = {\ frac {L_ {2}} {k_ {2} A}}}$

Lei de resfriamento de Newton

A lei do resfriamento de Newton é uma relação empírica atribuída ao físico inglês Sir Isaac Newton (1642 - 1727). Esta lei declarada de forma não matemática é a seguinte:

A taxa de perda de calor de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e seus arredores.

Ou, usando símbolos:

${\ displaystyle {\ text {Taxa de resfriamento}} \ sim \! \, \ Delta T}$

Um objeto em uma temperatura diferente de seu entorno acabará atingindo uma temperatura comum com seu entorno. Um objeto relativamente quente esfria à medida que aquece seus arredores; um objeto legal é aquecido pelo ambiente. Ao considerar a rapidez (ou lentidão) com que algo esfria, falamos de sua taxa de resfriamento - a mudança de quantos graus na temperatura por unidade de tempo.

A taxa de resfriamento de um objeto depende de quão mais quente o objeto está do que seu ambiente. A mudança de temperatura por minuto de uma torta de maçã quente será maior se a torta for colocada em um freezer frio do que se for colocada na mesa da cozinha. Quando a torta esfria no freezer, a diferença de temperatura entre ela e o ambiente ao redor é maior. Em um dia frio, uma casa quente vazará calor para o exterior em uma taxa maior quando houver uma grande diferença entre as temperaturas interna e externa. Manter o interior de uma casa em alta temperatura em um dia frio é, portanto, mais caro do que mantê-lo em uma temperatura mais baixa. Se a diferença de temperatura for mantida pequena, a taxa de resfriamento será correspondentemente baixa.

Como a lei de Newton de estados de arrefecimento, a taxa de arrefecimento de um objecto - seja por condução , convecção , ou radiação - é aproximadamente proporcional à diferença de temperatura Δ t . Alimentos congelados aquecem mais rápido em uma sala quente do que em uma sala fria. Observe que a taxa de resfriamento experimentada em um dia frio pode ser aumentada pelo efeito de convecção adicional do vento . Isso é conhecido como sensação térmica . Por exemplo, uma sensação térmica de -20 ° C significa que o calor está sendo perdido na mesma taxa que se a temperatura fosse de -20 ° C sem vento.

Situações aplicáveis

Esta lei descreve muitas situações nas quais um objeto tem uma grande capacidade térmica e grande condutividade e é subitamente imerso em um banho uniforme que conduz o calor de maneira relativamente fraca. É um exemplo de circuito térmico com um elemento resistivo e outro capacitativo. Para que a lei seja correta, as temperaturas em todos os pontos dentro do corpo devem ser aproximadamente as mesmas em cada ponto do tempo, incluindo a temperatura em sua superfície. Assim, a diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente não depende de qual parte do corpo é escolhida, uma vez que todas as partes do corpo têm efetivamente a mesma temperatura. Nessas situações, o material do corpo não age para "isolar" outras partes do corpo do fluxo de calor, e todo o isolamento significativo (ou "resistência térmica") controlando a taxa de fluxo de calor na situação reside no área de contato entre o corpo e seus arredores. Além dessa fronteira, o valor da temperatura salta de forma descontínua.

Em tais situações, o calor pode ser transferido do exterior para o interior de um corpo, através da fronteira isolante, por convecção, condução ou difusão, desde que a fronteira sirva como um condutor relativamente pobre em relação ao interior do objeto. A presença de um isolante físico não é necessária, desde que o processo que serve para passar calor através da fronteira seja "lento" em comparação com a transferência condutiva de calor dentro do corpo (ou dentro da região de interesse - o "caroço" descrito acima).

Em tal situação, o objeto atua como o elemento de circuito "capacitativo" e a resistência do contato térmico no limite atua como o (único) resistor térmico. Em circuitos elétricos, tal combinação carregaria ou descarregaria em direção à tensão de entrada, de acordo com uma lei exponencial simples no tempo. No circuito térmico, essa configuração resulta no mesmo comportamento da temperatura: uma aproximação exponencial da temperatura do objeto à temperatura do banho.

Declaração matemática

A lei de Newton é matematicamente declarada pela equação diferencial simples de primeira ordem:

${\ displaystyle {\ frac {dQ} {dt}} = - h \ cdot A (T (t) -T _ {\ text {env}}) = - h \ cdot A \ Delta T (t) \ quad}$

Onde

Q é a energia térmica em joules

h é o coeficiente de transferência de calor entre a superfície e o fluido

A é a área de superfície do calor sendo transferido

T é a temperatura da superfície e do interior do objeto (uma vez que são iguais nesta aproximação)

T _env é a temperatura do ambiente

Δ T (t) = T (t) - T _env é o gradiente térmico dependente do tempo entre o ambiente e o objeto

Colocar as transferências de calor nesta forma às vezes não é uma aproximação muito boa, dependendo das proporções de condutâncias de calor no sistema. Se as diferenças não forem grandes, uma formulação precisa de transferências de calor no sistema pode exigir a análise do fluxo de calor com base na equação de transferência de calor (transiente) em meios não homogêneos ou pouco condutores.

Solução em termos de capacidade de calor do objeto

Se todo o corpo for tratado como reservatório de calor de capacitância concentrada, com conteúdo de calor total que é proporcional à capacidade de calor total simples e , a temperatura do corpo, ou . Espera-se que o sistema experimente decadência exponencial com o tempo na temperatura de um corpo. ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle Q = CT}$

Da definição de capacidade térmica vem a relação . Diferenciando esta equação com relação ao tempo dá a identidade (válido desde que as temperaturas no objeto são uniformes em um determinado momento): . Esta expressão pode ser usada para substituir a primeira equação que inicia esta seção, acima. Então, se é a temperatura de tal corpo no momento , e é a temperatura do ambiente ao redor do corpo: ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C = dQ / dT}$${\ displaystyle dQ / dt = C (dT / dt)}$${\ displaystyle dQ / dt}$${\ displaystyle T (t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle T_ {env}}$

${\ displaystyle {\ frac {dT (t)} {dt}} = - r (T (t) -T _ {\ mathrm {env}}) = - r \ Delta T (t) \ quad}$

Onde

${\ displaystyle r = hA / C}$é uma característica positiva constante do sistema, o qual deve estar em unidades de , e é, portanto, algumas vezes expressa em termos de uma característica constante de tempo dado por: . Assim, em sistemas térmicos ,. (A capacidade de calor total de um sistema pode ser ainda representada por sua capacidade de calor específica de massa multiplicada por sua massa , de modo que a constante de tempo também é dada por ). ${\ displaystyle s ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle t_ {0} = 1 / r = - \ Delta T (t) / (dT (t) / dt)}$${\ displaystyle t_ {0} = C / hA}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle c_ {p}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle mc_ {p} / hA}$

A solução desta equação diferencial, por métodos padrão de integração e substituição de condições de contorno, dá:

${\ displaystyle T (t) = T _ {\ mathrm {env}} + (T (0) -T _ {\ mathrm {env}}) \ e ^ {- rt}. \ quad}$

Se:

${\ displaystyle \ Delta T (t) \ quad}$é definido como: onde é a diferença de temperatura inicial no tempo 0,${\ displaystyle T (t) -T _ {\ mathrm {env}} \, \ quad}$${\ displaystyle \ Delta T (0) \ quad}$

então a solução newtoniana é escrita como:

${\ displaystyle \ Delta T (t) = \ Delta T (0) \ e ^ {- rt} = \ Delta T (0) \ e ^ {- t / t_ {0}}. \ quad}$

Esta mesma solução é quase imediatamente aparente se a equação diferencial inicial for escrita em termos de , como a única função a ser resolvida. ' ${\ displaystyle \ Delta T (t)}$

${\ displaystyle {\ frac {dT (t)} {dt}} = {\ frac {d \ Delta T (t)} {dt}} = - {\ frac {1} {t_ {0}}} \ Delta T (t) \ quad}$

Formulários

Esse modo de análise foi aplicado às ciências forenses para analisar o tempo de morte de humanos. Além disso, pode ser aplicado a HVAC (aquecimento, ventilação e ar condicionado, que pode ser referido como "controle de climatização de edifícios"), para garantir efeitos quase instantâneos de uma mudança na configuração do nível de conforto.

Sistemas mecânicos

As suposições simplificadoras neste domínio são:

• todos os objetos são corpos rígidos ;
• todas as interações entre corpos rígidos ocorrem por meio de pares cinemáticos ( juntas ), molas e amortecedores .

Acústica

Nesse contexto, o modelo de componentes concentrados estende os conceitos distribuídos da teoria acústica sujeitos à aproximação. No modelo de componente concentrado acústico, certos componentes físicos com propriedades acústicas podem ser aproximados como se comportando de forma semelhante a componentes eletrônicos padrão ou combinações simples de componentes.

• Uma cavidade de parede rígida contendo ar (ou fluido compressível semelhante) pode ser aproximada como um capacitor cujo valor é proporcional ao volume da cavidade. A validade desta aproximação se baseia no menor comprimento de onda de interesse sendo significativamente (muito) maior do que a dimensão mais longa da cavidade.
• Uma porta reflexa pode ser aproximada como um indutor cujo valor é proporcional ao comprimento efetivo da porta dividido por sua área de seção transversal. O comprimento efetivo é o comprimento real mais uma correção final . Esta aproximação se baseia no menor comprimento de onda de interesse sendo significativamente maior do que a dimensão mais longa da porta.
• Certos tipos de material de amortecimento podem ser aproximados como um resistor . O valor depende das propriedades e dimensões do material. A aproximação se baseia nos comprimentos de onda sendo longos o suficiente e nas propriedades do próprio material.
• Uma unidade de acionamento de alto-falante (normalmente um woofer ou unidade de acionamento de subwoofer ) pode ser aproximada como uma conexão em série de uma fonte de tensão de impedância zero , um resistor , um capacitor e um indutor . Os valores dependem das especificações da unidade e do comprimento de onda de interesse.

Transferência de calor para edifícios

Uma suposição simplificadora neste domínio é que todos os mecanismos de transferência de calor são lineares, o que implica que a radiação e a convecção são linearizadas para cada problema.

Podem ser encontradas várias publicações que descrevem como gerar modelos de edifícios com elementos concentrados. Na maioria dos casos, o edifício é considerado uma única zona térmica e, neste caso, transformar paredes de várias camadas em elementos concentrados pode ser uma das tarefas mais complicadas na criação do modelo. O método da camada dominante é um método simples e razoavelmente preciso. Neste método, uma das camadas é selecionada como camada dominante em toda a construção, esta camada é escolhida considerando as frequências mais relevantes do problema. Em sua tese,

Modelos de edifícios com elementos achatados também têm sido usados ​​para avaliar a eficiência de sistemas domésticos de energia, por meio da execução de muitas simulações em diferentes cenários climáticos futuros.

Sistemas de fluidos

Os modelos de elemento achatado podem ser usados ​​para descrever sistemas de fluido usando voltagem para representar a pressão e a corrente para representar o fluxo; equações idênticas da representação do circuito elétrico são válidas após a substituição dessas duas variáveis. Tais aplicações podem, por exemplo, estudar a resposta do sistema cardiovascular humano à implantação de dispositivo de assistência ventricular .

Veja também

• Isomorfismo do sistema
• Redução de pedido de modelo

Referências

links externos

• Técnicas avançadas de modelagem e simulação para componentes magnéticos
• Suplemento IMTEK Mathematica (IMS) , o Suplemento IMTEK Mathematica (IMS) de código aberto para modelagem concentrada